Une même fraction peut s’écrire comme somme de fractions unitaires ou comme quotient emboîté. Pour 5/8, on obtient un demi plus un huitième en écriture égyptienne et [0 ; 1, 1, 1, 2] en écriture continue. Les deux disent la même chose, mais chacune sert à une tâche différente : partager en parts unitaires ou approcher pas à pas. Ici, vous les comparez sur une seule valeur. Pour convertir une fraction quelconque et voir ses réduites, utilisez l’outil fractions continues ; pour en décomposer une autre par la méthode gloutonne, l’outil fractions égyptiennes.
Une valeur, deux écritures
Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires (numérateur 1) de dénominateurs distincts. Une fraction continue est un entier plus un inverse, qui contient lui-même un autre inverse, et ainsi de suite jusqu’à la fin. Chaque troncature de cette structure s’appelle une réduite (ou convergent).
Exemple résolu : deux écritures d’une même valeur
Écrivez 5/8 comme somme égyptienne et comme fraction continue simple.
- Égyptienne : prenez la plus grande fraction unitaire qui tient. Comme 8 ÷ 5 est compris entre 1 et 2, le dénominateur est 2 et l’on retire ce demi. Il reste 5/8 − 4/8 = 1/8.
- Le reste 1/8 est déjà une fraction unitaire, donc la décomposition s’arrête.
- Continue : divisez et recommencez. 5 = 0 × 8 + 5, 8 = 1 × 5 + 3, 5 = 1 × 3 + 2, 3 = 1 × 2 + 1 et 2 = 2 × 1.
- Les quotients sont 0, 1, 1, 1 et 2, c’est-à-dire [0 ; 1, 1, 1, 2].
- Reconstruisez depuis la droite. La partie la plus intérieure, 1 plus un demi, donne 3/2 ; ensuite 1 + 2/3 = 5/3 et 1 + 3/5 = 8/5 ; l’inverse de 8/5 redonne la fraction de départ.
Résultat : l’écriture égyptienne additionne un demi et un huitième, et l’écriture continue est [0 ; 1, 1, 1, 2].
Vérification : 4/8 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625, et 5 divisé par 8 donne la même valeur.
Les étapes de la fraction continue sont celles de la division euclidienne ; cette relation est expliquée dans le guide sur l’algorithme d’Euclide. Les termes de la somme égyptienne sont des fractions unitaires, notion développée dans le guide sur les fractions unitaires.
Les réduites successives de la fraction continue donnent des valeurs de plus en plus proches :
| Réduite | Fraction | Valeur décimale |
|---|---|---|
| [0] | 0 | 0 |
| [0 ; 1] | 1 | 1 |
| [0 ; 1, 1] | 1/2 | 0,5 |
| [0 ; 1, 1, 1] | 2/3 | 0,666… |
| [0 ; 1, 1, 1, 2] | 5/8 | 0,625 |
Les valeurs montent et descendent autour de 0,625 jusqu’à ce que la dernière réduite coïncide avec lui. Une somme égyptienne n’offre pas cette suite d’approximations : chaque terme s’ajoute, et le total n’est correct que lorsque la liste est complète.
Quelle écriture choisir selon la question
| Question | Écriture | Outil |
|---|---|---|
| Comment partager une quantité en parts unitaires distinctes ? | Égyptienne | Fractions égyptiennes |
| Quelle fraction simple ressemble le plus à cette valeur ? | Continue | Fractions continues |
| Quelle fraction correspond à un décimal mesuré, avec un dénominateur maximal ? | Aucune des deux directement | Approximer un décimal par une fraction |
L’écriture égyptienne convient quand il importe de diviser en parts de taille 1/n, comme dans les problèmes de partage. L’écriture continue convient quand vous cherchez une fraction à petit dénominateur qui s’approche d’une valeur. Pour un rationnel, les deux s’arrêtent. Chacune a ses règles : les dénominateurs de l’égyptienne ne se répètent pas, et dans la continue les quotients qui suivent le premier sont des entiers positifs.
Règles à retenir
Une décomposition avec un dénominateur répété cesse d’être égyptienne, même si la somme est juste : 2/3 = 1/3 + 1/3 est une égalité vraie, mais elle n’est pas égyptienne, car elle répète le 1/3 ; en revanche, 2/3 = 1/2 + 1/6 l’est. La forme continue a aussi un détail. Une liste qui se termine par un 1 peut se réécrire en augmentant d’une unité le coefficient précédent, et la forme canonique est celle qui ne finit pas par 1. Les deux outils, liés plus haut, appliquent ces étapes à tout rationnel.
À vous de jouer
- Calculez la valeur de [0 ; 1, 3].
- Écrivez 7/12 comme somme de deux fractions unitaires distinctes.
- Vérifiez que 1/4 + 1/28 vaut 2/7.
Voir les réponses
- 1/(1 + 1/3) = 1/(4/3) = 3/4.
- 7/12 = 1/3 + 1/4, car 4/12 + 3/12 = 7/12.
- 7/28 + 1/28 = 8/28 = 2/7.
Sources
Les définitions de la fraction continue et de la fraction égyptienne, y compris la non-unicité de l’écriture égyptienne et la finitude de la fraction continue d’un rationnel, concordent avec Fraction continue, Wikipédia et Fraction égyptienne, Wikipédia, consultés le 17 octobre 2026.