Choisissez « Développer une fraction » pour obtenir les coefficients et les convergents, ou « Reconstruire à partir des coefficients » pour faire le chemin inverse. Saisissez la fraction sous la forme a/b (entiers, nombres mixtes et décimaux exacts acceptés) ou les coefficients sous la forme a0;a1,a2,…, par exemple 2;3,1,4. Pour comparer cette écriture à la somme de fractions unitaires, lisez fractions continues et égyptiennes.
Exemple détaillé : développer 43/19
Écrivez cette fraction sous forme de fraction continue et trouvez ses convergents.
- Première division. 43 = 2 × 19 + 5, donc le premier coefficient est 2.
- Inversez le reste. On divise maintenant 19 par 5 : 19 = 3 × 5 + 4, et le coefficient est 3.
- Recommencez. 5 = 1 × 4 + 1 donne le coefficient 1.
- Jusqu’au reste 0. 4 = 4 × 1 + 0 donne le coefficient 4, et le processus s’arrête.
- Coupez la liste après chaque coefficient pour obtenir les convergents : 2, 2 + 1/3, 2 + 1/(3 + 1/1) et, avec les quatre coefficients, la fraction complète.
Résultat : 43/19 = [2; 3, 1, 4], avec les convergents 2, 7/3, 9/4 et la fraction elle-même.
Vérification : de l’intérieur vers l’extérieur, 1 + 1/4 = 5/4 ; 3 + 4/5 = 19/5 ; 2 + 5/19 = 43/19.
Comment se calculent les convergents
Avec les coefficients a0, a1, a2…, une récurrence suffit pour obtenir chaque convergent sans défaire les fractions imbriquées. On part de p₋₁/q₋₁ = 1/0 et de p₀/q₀ = a0/1, puis pk = ak · pk−1 + pk−2 et qk = ak · qk−1 + qk−2. Tous les calculs portent sur des entiers et sont exacts.
| k | Coefficient | pk et qk | Convergent |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 et 1 | 2 |
| 1 | 3 | 3 · 2 + 1 = 7 et 3 · 1 + 0 = 3 | 7/3 |
| 2 | 1 | 1 · 7 + 2 = 9 et 1 · 3 + 1 = 4 | 9/4 |
| 3 | 4 | 4 · 9 + 7 = 43 et 4 · 4 + 3 = 19 | 43/19 |
Chaque ligne n’a besoin que des deux précédentes, et la dernière redonne le numérateur et le dénominateur de départ, ce qui confirme que le développement est correct.
Quelle est la qualité des convergents
Tout convergent p/q, sauf le premier lorsque a1 = 1, est meilleur que toute autre fraction de dénominateur inférieur ou égal à q. L’exception est réelle : 11/4 commence par 2, mais 3 est plus proche de 2,75 et a le même dénominateur. Avec la valeur de l’exemple, ≈ 2,2632 (arrondie à quatre décimales), le convergent 7/3 est à 4/57 ≈ 0,070, et avec un dénominateur 1, 2 ou 3, rien ne fait mieux : 5/2, par exemple, est à 0,237. Le convergent 9/4 n’est qu’à 1/76 ≈ 0,013 et l’emporte sur toute fraction de dénominateur au plus 4.
Les convergents se répartissent de part et d’autre de la valeur : 2 est en dessous, le suivant au-dessus et 9/4 de nouveau en dessous. Entre deux convergents consécutifs, il peut exister des fractions plus proches que le premier, les semi-convergents, que cette liste ne donne pas ; pour chercher avec un dénominateur maximal fixé, utilisez approcher un décimal par une fraction. Un exemple célèbre de cette technique est celui des fractions qui approchent π.
Wikipédia en français, dans son article Fraction continue, indique que le développement en fraction continue d’un nombre réel est fini si et seulement si ce nombre est rationnel, et appelle « réduites » ce que l’on appelle ici convergents (consulté le 17 octobre 2026).
Fractions continues de quelques valeurs
Le tableau réunit des cas que l’on peut vérifier dans la calculatrice, avec les convergents dans l’ordre.
| Valeur | Fraction continue | Convergents |
|---|---|---|
| 3/5 | [0; 1, 1, 2] | 0, 1, 1/2, 3/5 |
| 11/4 | [2; 1, 3] | 2, 3, 11/4 |
| 13/8 | [1; 1, 1, 1, 2] | 1, 2, 3/2, 5/3, 13/8 |
| 41/29 | [1; 2, 2, 2, 2] | 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 |
Deux régularités sautent aux yeux : 13/8 est un quotient de nombres de Fibonacci consécutifs et sa liste ne contient presque que des 1, et 41/29 est un convergent de √2 = [1; 2, 2, 2, …], dont les convergents sont 3/2, 7/5, 17/12, 41/29… Aucun d’eux n’est égal à √2, car √2 est irrationnel et la calculatrice n’accepte que les rationnels.
Nombres négatifs
Avec un nombre négatif, on utilise la division par défaut, qui arrondit vers le bas et laisse un reste positif. Tronquer vers zéro donne un autre résultat, avec un coefficient négatif que la calculatrice n’accepte pas après le premier.
Pour aller plus loin
Les coefficients sont les quotients de l’algorithme d’Euclide, que présente le guide de l’algorithme d’Euclide. Pour comparer cette écriture à celle en somme de fractions unitaires, lisez fractions continues et égyptiennes et consultez la calculatrice de fractions égyptiennes. Si vous avez besoin de la valeur décimale d’un convergent, utilisez fraction en écriture décimale. Une expression dont les numérateurs ne valent pas tous 1, comme 1 + 2/(3 + 4/5), se calcule avec les opérations combinées.
Questions fréquentes
Pourquoi certaines fractions continues commencent-elles par 0 ou n’ont-elles qu’un seul coefficient ?
Le premier coefficient est la partie entière. Une fraction comprise entre 0 et 1, comme 3/10, commence par 0 et s’écrit 0; 3, 3, car 3/10 = 1/(3 + 1/3). Un entier comme 6 ne laisse pas de reste : son développement se réduit à 6 et son seul convergent est 6 lui-même.
Pourquoi une liste qui se termine par 1 équivaut-elle à une autre dont l’avant-dernier coefficient augmente de 1 ?
Parce que an + 1/1 = an + 1 : un dernier coefficient 1 s’ajoute au précédent. Par exemple, la liste 3; 1, 1 vaut 3 + 1/(1 + 1/1) = 3 + 1/2 = 7/2, et la liste 3; 2 vaut aussi 3 + 1/2 = 7/2. Les deux listes représentent la même fraction ; la calculatrice n’affiche que la seconde.
Comment utiliser les convergents pour approcher un décimal comme 3,14 ?
Écrivez 3,14 sous la forme 157/50 et développez-la : 3; 7, 7. Le convergent intermédiaire est 22/7, qui est à 1/350 de 3,14, et aucune fraction de dénominateur inférieur ou égal à 7 n’en est plus proche. Le dernier, 157/50, est exact. Pour fixer un dénominateur maximal quelconque, utilisez approcher un décimal par une fraction.