Escolha “Expandir uma fração” para obter os coeficientes e os convergentes, ou “Reconstruir a partir dos coeficientes” para o caminho inverso. Escreva a fração como a/b (valem inteiros, números mistos e decimais exatos) ou os coeficientes como a0;a1,a2,…, por exemplo 2;3,1,4. Para comparar esta forma com a soma de frações unitárias, leia outras representações de frações.
Exemplo resolvido: expandir 43/19
Escreva esta fração como fração contínua e ache seus convergentes.
- Primeira divisão. 43 = 2 × 19 + 5, então o primeiro coeficiente é 2.
- Inverta o resto. Agora divide-se 19 por 5: 19 = 3 × 5 + 4, e o coeficiente é 3.
- Repita. 5 = 1 × 4 + 1 dá o coeficiente 1.
- Até o resto 0. 4 = 4 × 1 + 0 dá o coeficiente 4, e o processo termina.
- Corte a lista depois de cada coeficiente para obter os convergentes: 2, 2 + 1/3, 2 + 1/(3 + 1/1) e, com os quatro, a fração completa.
Resultado: 43/19 = [2; 3, 1, 4], com convergentes 2, 7/3, 9/4 e a própria fração.
Conferência: de dentro para fora, 1 + 1/4 = 5/4; 3 + 4/5 = 19/5; 2 + 5/19 = 43/19.
Como se calculam os convergentes
Com os coeficientes a0, a1, a2… basta uma recorrência para obter cada convergente sem desfazer as frações aninhadas. Parte-se de p₋₁/q₋₁ = 1/0 e p₀/q₀ = a0/1, e depois pk = ak · pk−1 + pk−2 e qk = ak · qk−1 + qk−2. Todas as contas são inteiras e exatas.
| k | Coeficiente | pk e qk | Convergente |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 e 1 | 2 |
| 1 | 3 | 3 · 2 + 1 = 7 e 3 · 1 + 0 = 3 | 7/3 |
| 2 | 1 | 1 · 7 + 2 = 9 e 1 · 3 + 1 = 4 | 9/4 |
| 3 | 4 | 4 · 9 + 7 = 43 e 4 · 4 + 3 = 19 | 43/19 |
Cada linha só precisa das duas anteriores, e a última devolve o numerador e o denominador de partida, o que confirma que a expansão está correta.
Quão bons são os convergentes
Todo convergente p/q, exceto o primeiro quando a1 = 1, é melhor que qualquer outra fração com denominador menor ou igual a q. A exceção é real: 11/4 começa com 2, mas 3 fica mais perto de 2,75 e tem o mesmo denominador. Com o valor do exemplo, ≈ 2,2632 (arredondado a quatro casas decimais), o convergente 7/3 está a 4/57 ≈ 0,070, e com denominador 1, 2 ou 3 nada o supera: 5/2, por exemplo, está a 0,237. O convergente 9/4 está a apenas 1/76 ≈ 0,013 e vence qualquer fração de denominador até 4.
Os convergentes se alternam dos dois lados do valor: 2 fica abaixo, o seguinte acima e 9/4 de novo abaixo. Entre dois convergentes consecutivos podem caber frações mais próximas que o primeiro, os semiconvergentes, que esta lista não inclui; para buscar com um denominador máximo dado, use aproximar decimal para fração. Um exemplo famoso dessa técnica são as frações que aproximam π.
O artigo Fração contínua da Wikipédia em português, na seção “Frações Continuadas Simples”, diz que toda fração continuada finita representa um número racional e que todo racional pode ser escrito como fração continuada finita; na seção “Frações Parciais”, chama de convergentes ou frações parciais as frações obtidas ao cortar a lista (consultado em 17 de outubro de 2026).
Frações contínuas de alguns valores
A tabela reúne casos que podem ser conferidos na calculadora, com os convergentes em ordem.
| Valor | Fração contínua | Convergentes |
|---|---|---|
| 3/5 | [0; 1, 1, 2] | 0, 1, 1/2, 3/5 |
| 11/4 | [2; 1, 3] | 2, 3, 11/4 |
| 13/8 | [1; 1, 1, 1, 2] | 1, 2, 3/2, 5/3, 13/8 |
| 41/29 | [1; 2, 2, 2, 2] | 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 |
Dois padrões chamam a atenção: 13/8 é um quociente de números de Fibonacci consecutivos e sua lista é formada quase só por uns, e 41/29 é um convergente de √2 = [1; 2, 2, 2, …], cujos convergentes são 3/2, 7/5, 17/12, 41/29… Nenhum deles é igual a √2, porque √2 é irracional e a calculadora só aceita racionais.
Números negativos
Com um negativo usa-se a divisão com piso, que arredonda para baixo e deixa o resto positivo. Truncar em direção a zero dá outro resultado, com um coeficiente negativo que a calculadora não aceita depois do primeiro.
Para continuar
Os coeficientes são os quocientes do algoritmo de Euclides, que o guia do algoritmo de Euclides explica. Para comparar esta forma com a soma de frações unitárias, veja outras representações de frações e a calculadora de frações egípcias. Se precisar do valor decimal de um convergente, use fração para decimal. Uma expressão com numeradores diferentes de 1, como 1 + 2/(3 + 4/5), calcula-se em expressões com frações.
Perguntas frequentes
Por que algumas frações contínuas começam com 0 ou têm um só coeficiente?
O primeiro coeficiente é a parte inteira. Uma fração entre 0 e 1, como 3/10, começa com 0 e se escreve 0; 3, 3, porque 3/10 = 1/(3 + 1/3). Um inteiro como 6 não deixa resto, então sua expansão é só 6 e seu único convergente é o próprio 6.
Por que uma lista que termina em 1 equivale a outra com o coeficiente anterior aumentado em 1?
Porque an + 1/1 = an + 1: um último coeficiente 1 soma-se ao anterior. Por exemplo, a lista 3; 1, 1 vale 3 + 1/(1 + 1/1) = 3 + 1/2 = 7/2, e a lista 3; 2 vale 3 + 1/2 = 7/2 também. As duas listas são a mesma fração; a calculadora mostra só a segunda.
Como usar os convergentes para aproximar um decimal como 3,14?
Escreva 3,14 como 157/50 e expanda: 3; 7, 7. O convergente intermediário é 22/7, que está a 1/350 de 3,14, e nenhuma fração com denominador até 7 fica mais perto. O último, 157/50, é exato. Para fixar um denominador máximo qualquer, use aproximar decimal para fração.