Una frazione continua semplice finita rappresenta un numero razionale come un intero seguito da una catena di reciproci: 43/19 = 2 + 1/(3 + 1/(1 + 1/4)), in notazione [2; 3, 1, 4]. Scegli «Sviluppa una frazione» per ottenere i coefficienti e i convergenti, oppure «Ricostruisci dai coefficienti» per ritrovare la frazione esatta. L’ultimo convergente restituisce sempre il razionale di partenza.
Come usare la calcolatrice di frazioni continue
- Scegli l’operazione nel menu «Operazione»: «Sviluppa una frazione» oppure «Ricostruisci dai coefficienti».
- Per lo sviluppo, scrivi un razionale in «Numero razionale»:
43/19, un intero, un numero misto come2 1/4, un decimale esatto come3,14159o periodico come0,(3). Ogni parte numerica può avere fino a 100 cifre. - Per la ricostruzione, scrivi i coefficienti in «Coefficienti della frazione continua» nel formato
a0;a1,a2,…, per esempio2;3,1,4. Il primo può essere negativo o zero; tutti quelli successivi devono essere interi positivi e, se ce n’è più di uno, l’ultimo deve essere maggiore di 1. - Premi «Calcola». Il risultato mostra «Frazione esatta: 43/19», «Frazione continua finita: [2;3,1,4]», l’elenco numerato dei «Convergenti:» 2, 7/3, 9/4, 43/19 e «Ricostruzione esatta: 43/19».
Sono ammessi fino a 200 coefficienti di al massimo 100 cifre ciascuno. L’ingresso è razionale: lo strumento non calcola lo sviluppo infinito di un numero irrazionale né ne rileva un eventuale periodo.
Come si calcola la frazione continua di una frazione?
Si eseguono divisioni con resto successive finché il resto è zero; i quozienti sono i coefficienti. Per x = p/q:
- Il coefficiente a0 è la parte intera di p/q, arrotondata per difetto.
- Si prende il reciproco del resto: il nuovo quoziente è quello di q diviso il resto.
- Si ripete fino al resto 0. I quozienti, in ordine, sono a0, a1, a2…
- I convergenti p_k/q_k seguono la ricorrenza p_k = a_k × p_(k−1) + p_(k−2) e q_k = a_k × q_(k−1) + q_(k−2), partendo da 0/1 e 1/0.
Tutti i calcoli usano interi esatti, senza decimali intermedi. Per un razionale lo sviluppo termina sempre, perché i resti diminuiscono strettamente, come nel calcolo del massimo comune divisore.
Esempi svolti
Esempio svolto: 43/19
Prosegui con la divisione euclidea finché il resto è zero. In ordine, i quozienti formano [2;3,1,4], cioè 2 + 1/(3 + 1/(1 + 1/4)).
| Divisione con resto | Coefficiente | Convergente |
|---|---|---|
| 43 = 2 × 19 + 5 | 2 | 2/1 |
| 19 = 3 × 5 + 4 | 3 | 7/3 |
| 5 = 1 × 4 + 1 | 1 | 9/4 |
| 4 = 4 × 1 + 0 | 4 | 43/19 |
Ogni convergente usa tutti i coefficienti fino a quella riga. I primi tre approssimano 43/19 ≈ 2,263; l’ultimo ne recupera il valore esatto. Inserendo 2;3,1,4 nella modalità di ricostruzione si ottiene di nuovo 43/19.
Altri due casi
415/93 = [4; 2, 6, 7], con i convergenti 4, 9/2, 58/13 e 415/93: le divisioni sono 415 = 4 × 93 + 43, 93 = 2 × 43 + 7, 43 = 6 × 7 + 1 e 7 = 7 × 1.
La ricostruzione mostra anche da dove vengono approssimazioni famose: [3; 7, 16] = 355/113 ≈ 3,14159292, un’approssimazione razionale di π. Poiché π è irrazionale, il suo sviluppo è infinito; lo strumento ne tratta solo un tratto iniziale, inserito come coefficienti.
Perché l’ultimo coefficiente deve essere maggiore di 1?
Perché ogni razionale abbia una sola scrittura finita. Una lista che termina in 1 si può abbreviare: [2;3,1] e [2;4] rappresentano lo stesso numero, perché 3 + 1/1 = 4. Per questo, quando ci sono almeno due coefficienti, quello finale deve essere maggiore di 1 e la ricostruzione di 2;3,1 viene rifiutata. Per gli input negativi si usa la divisione con arrotondamento per difetto, non il troncamento verso zero.
Tutti i convergenti coincidono con la frazione inserita?
No. Ogni convergente precedente usa solo una parte iniziale della lista e fornisce un’approssimazione razionale; solo l’ultimo ricostruisce l’intero numero.
Frazioni continue di valori comuni
Ogni riga è stata ottenuta con divisioni esatte e si può verificare con la calcolatrice.
| Valore | Frazione continua | Convergenti |
|---|---|---|
| 1/2 | [0; 2] | 0, 1/2 |
| 3/4 | [0; 1, 3] | 0, 1, 3/4 |
| 7/5 | [1; 2, 2] | 1, 3/2, 7/5 |
| 13/8 | [1; 1, 1, 1, 2] | 1, 2, 3/2, 5/3, 13/8 |
| 41/29 | [1; 2, 2, 2, 2] | 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 |
| 22/7 | [3; 7] | 3, 22/7 |
| 355/113 | [3; 7, 16] | 3, 22/7, 355/113 |
| −1/2 | [−1; 2] | −1, −1/2 |
Le righe 13/8 e 41/29 mostrano due regolarità: i rapporti tra numeri di Fibonacci consecutivi hanno solo coefficienti 1, tranne l’ultimo, e i convergenti di √2 = [1; 2, 2, 2, …] sono 3/2, 7/5, 17/12, 41/29…
Quando usarla e quando no
Usala per studiare le frazioni continue, controllare un esercizio di sviluppo o di ricostruzione, o vedere i convergenti che approssimano un decimale esatto.
Scegli un altro strumento in questi casi:
- Frazione migliore con un denominatore massimo: approssimare un decimale a frazione considera anche le frazioni intermedie tra due convergenti.
- Forma decimale di un convergente: usa da frazione a decimale.
- Un’altra scomposizione di un razionale, come somma di frazioni unitarie: usa le frazioni egizie.
- Numero irrazionale come √2 o π: lo strumento accetta solo razionali; ricostruire un tratto iniziale dello sviluppo dà un’approssimazione, non il valore esatto.
La guida su frazioni continue ed egizie confronta questi due modi di scomporre un razionale.
Domande frequenti
Come si inseriscono i coefficienti per ricostruire una frazione?
Scegli «Ricostruisci dai coefficienti» e scrivi a0, un punto e virgola e poi gli altri coefficienti separati da virgole: 2;3,1,4. Il primo può essere negativo o zero; i successivi sono interi positivi e l’ultimo deve essere maggiore di 1. Dopo «Calcola» compare la frazione esatta 43/19 con tutti i convergenti.
Si può sviluppare in frazione continua un decimale come 3,14159?
Sì, se è esatto. 3,14159 viene letto come 314159/100000 e la sua frazione continua è «3;7,15,1,25,1,7,4». Tra i convergenti compaiono 22/7, 333/106 e 355/113, approssimazioni classiche di π. Sono accettati anche i decimali periodici: 0,(3) dà «0;3» e 0,1(6) dà «0;6».
Come si trasforma a mano una frazione continua in frazione ordinaria?
Si calcola dalla fine verso l’inizio. Per «2; 3, 1, 4»: 1 + 1/4 = 5/4, poi 3 + 4/5 = 19/5 e infine 2 + 5/19 = 43/19. A ogni passaggio si somma un coefficiente al reciproco del risultato precedente. La calcolatrice arriva allo stesso valore con formule ricorsive e mostra ogni convergente.
Che frazione continua ha un numero intero?
Un solo coefficiente: 5 dà «5» e 0 dà «0». Il resto è nullo già alla prima divisione, quindi l’algoritmo si ferma subito. L’unico convergente è l’intero stesso e la regola dell’ultimo coefficiente maggiore di 1 non si applica, perché c’è un solo coefficiente.
Che legame c’è tra frazioni continue e algoritmo di Euclide?
Sono esattamente le stesse divisioni. Cercando il M.C.D. di 43 e 19 si ottengono i quozienti 2, 3, 1 e 4, cioè i coefficienti di 43/19. L’ultimo resto non nullo, 1, conferma che la frazione è ridotta ai minimi termini. La guida all’algoritmo di Euclide spiega queste divisioni passo per passo.
I convergenti di una frazione continua sono uguali al numero?
No, solo l’ultimo restituisce il razionale completo. I precedenti, detti anche ridotte, usano solo un tratto iniziale della lista e cadono alternativamente sotto e sopra il valore. Per 43/19 ≈ 2,263: 2 è sotto, 7/3 ≈ 2,333 è sopra, 9/4 = 2,25 è sotto e 43/19 è esatto.
Perché i convergenti approssimano così bene un numero?
Perché ogni convergente p/q dista dal valore meno di 1/q². Per 3,14159, 22/7 dista meno di 1/49 e 355/113 meno di 1/12.769. Per trovare la frazione migliore con un denominatore massimo fissato, che può essere anche intermedia tra due convergenti, usa approssimare un decimale a frazione.
Come si calcola la frazione continua di un numero negativo?
Con la divisione per difetto, che arrotonda verso il basso e lascia resti positivi. Per −43/19 il primo coefficiente è −3, perché −43 = −3 × 19 + 14, e il risultato è «−3; 1, 2, 1, 4». I convergenti sono −3, −2, −7/3, −9/4 e −43/19.
Perché una lista di coefficienti che termina con 1 viene rifiutata?
Perché non è in forma canonica. Un 1 finale si può assorbire nel coefficiente precedente: «2; 3, 1» vale «2; 4», cioè 9/4. Perché ogni razionale abbia una sola scrittura, la calcolatrice chiede un ultimo coefficiente maggiore di 1 e altrimenti mostra «Il valore inserito non rispetta il formato accettato. Controlla le istruzioni e l’esempio.»
Perché la frazione continua di 1/3 comincia con 0?
Perché il primo coefficiente è la parte intera, e quella di 1/3 è 0. Poi si prende il reciproco del resto: 1/(1/3) = 3, quindi 1/3 = «0; 3». Ogni frazione compresa tra 0 e 1 comincia con 0; per esempio 3/4 = «0; 1, 3» e 2/3 = «0; 1, 2».
Che cosa indica la riga «Ricostruzione esatta» del risultato?
È la prova che l’ultimo convergente coincide con la frazione di partenza. Dopo aver sviluppato 43/19, la calcolatrice ricostruisce il valore da «2;3,1,4» e ritrova 43/19, ridotta ai minimi termini. Se ci fosse una differenza, mostrerebbe un errore invece di uno sviluppo dubbio.
La calcolatrice dà la frazione continua di √2 o di π?
No, perché sono numeri irrazionali e la loro frazione continua è infinita. Puoi però studiarne un tratto iniziale: √2 = «1; 2, 2, 2, …» e ricostruendo 1;2,2,2,2 ottieni 41/29, con i convergenti 1, 3/2, 7/5, 17/12 e 41/29. Questi valori approssimano √2 senza mai raggiungerla.
Quanti coefficienti può avere una frazione continua in questo strumento?
Fino a 200 coefficienti di 100 cifre ciascuno, sia nello sviluppo sia nella ricostruzione. I rapporti tra numeri di Fibonacci consecutivi danno lunghe sequenze di 1: 13/8 = «1; 1, 1, 1, 2». Se uno sviluppo supera i 200 coefficienti, la calcolatrice mostra un messaggio di errore invece di troncarlo.
Lo strumento accetta frazioni continue generalizzate?
No. Gestisce solo frazioni continue semplici, con tutti i numeratori uguali a 1 e i coefficienti dopo il primo interi positivi. Un’espressione come 1 + 2/(3 + 4/5) va calcolata come espressione numerica con le espressioni con frazioni o con le frazioni complesse.