Qual è la differenza tra approssimare e convertire un decimale?
Convertire un decimale finito dà una frazione esatta con una potenza di 10 al denominatore: 0,333 = 333/1000. Approssimarlo risponde a un’altra domanda: quale frazione più semplice gli si avvicina, entro un denominatore massimo o una tolleranza? Il valore cambia; per questo il risultato è sempre accompagnato dal suo errore.
Usa questa pagina per ottenere una frazione semplice vicina a una misura. Se il decimale è esatto e deve restarlo, la conversione da decimale a frazione ne dà il valore esatto; se è periodico, usa da decimale periodico a frazione.
Come usare la calcolatrice
- Scrivi un decimale finito in «Decimale finito», per esempio
0,333. Vanno bene la virgola o il punto, con al massimo 100 cifre in tutto. - Scegli la «Modalità di approssimazione». In «Denominatore massimo» inserisci un intero da
1a1.000.000; il valore proposto è100. - In «Tolleranza» inserisci una «Tolleranza positiva», come
0,001, e il denominatore massimo, che qui parte da1.000.000. Compaiono solo i campi della modalità scelta. - Premi «Calcola l’approssimazione». Per
0,333con massimo100la risposta è 1/3, seguita da «Valore decimale esatto: 333/1000» e «Errore esatto: 1/3000». - Leggi l’etichetta di stato: «Esatto» se l’errore è zero, «Approssimazione migliore» o «Tolleranza rispettata» se l’approssimazione va bene, «Limite raggiunto» se la tolleranza non è rispettata.
La frazione più vicina e le regole di parità
La frazione migliore è quella con l’errore assoluto minore rispetto al decimale tra tutte le frazioni con denominatore minore o uguale al massimo; il limite è inclusivo. Il calcolo confronta le candidate con l’aritmetica razionale esatta e non arrotonda mai il decimale inserito in un numero binario. Se più frazioni hanno lo stesso errore, viene scelta prima quella con il denominatore minore; a parità di denominatore si confrontano i numeratori con il loro segno: −1 è minore di 0.
| Decimale di partenza | Frazioni a pari distanza | Approssimazione scelta |
|---|---|---|
+0,5 | 0/1 e 1/1Errore assoluto: 1/2 per entrambe | 0/10 è minore di 1 |
−0,5 | −1/1 e 0/1Errore assoluto: 1/2 per entrambe | −1/1−1 è minore di 0 |
Con denominatore massimo 2 sono ammesse +1/2 e −1/2: entrambi i valori hanno una rappresentazione esatta e un errore nullo.
Come si calcola l’approssimazione?
Lo strumento sviluppa il decimale in frazione continua e ne usa le ridotte, cioè le migliori approssimazioni successive del numero:
- Converte il decimale in frazione esatta:
3,14159 = 314159/100000. - Calcola i quozienti con divisioni successive e poi le ridotte:
3,22/7,333/106,355/113… - Si ferma alla prima ridotta con denominatore maggiore del massimo
N. - Confronta due candidate: l’ultima ridotta ammessa e la ridotta intermedia (semiconvergente) più grande con denominatore non superiore a
N. ConN = 100le candidate sono22/7e311/99. - Sceglie quella con l’errore esatto minore, con le regole di parità viste sopra: qui 311/99.
Tutti i confronti avvengono tra frazioni esatte. Il risultato coincide con quello che si otterrebbe provando uno per uno tutti i denominatori da 1 a N, senza doverli percorrere. Per vedere ridotte e quozienti di un razionale usa il calcolatore di frazioni continue.
Esempi svolti
Un terzo letto sul display. Il decimale finito 0,333 vale esattamente 333/1000. Con denominatore massimo 100 la frazione più vicina è 1/3. L’errore assoluto esatto è:
|1/3 − 333/1000| = |1000/3000 − 999/3000| = 1/3000, cioè circa 0,000333.
1/3 − 333/1000 = 1000/3000 − 999/3000 = 1/3000
La frazione 1/3 è quindi un’approssimazione del valore scritto, non un’altra forma esatta di 0,333: se la usi al suo posto, indicala come approssimazione.
Una misura in sedicesimi. 0,5625 = 9/16. Con denominatore massimo 8 la frazione migliore è 4/7, con errore 1/112. Anche se la misura viene da un righello diviso in sedicesimi, il risultato non è per forza un ottavo: 1/2 e 5/8 distano 1/16. Per imporre un multiplo di 1/8 usa lo strumento per arrotondare al multiplo frazionario più vicino.
Approssimazioni di 3,14159. La tabella mostra come cambia la frazione migliore quando il limite cresce. Gli errori decimali sono letture approssimate; l’errore esatto è la frazione.
| Denominatore massimo | Frazione migliore | Errore esatto | Errore approssimato |
|---|---|---|---|
| 10 | 22/7 | 887/700000 | ≈ 0,00127 |
| 100 | 311/99 | 1741/9900000 | ≈ 0,000176 |
| 1000 | 355/113 | 33/11300000 | ≈ 0,0000029 |
Passare da 22/7 a 355/113 riduce l’errore di oltre 400 volte, al prezzo di un denominatore a tre cifre.
Tolleranza e stato «Limite raggiunto»
La tolleranza è l’errore assoluto massimo accettato e deve essere strettamente positiva. Con 0,333 e denominatore massimo 100, una tolleranza di 0,001 accetta 1/3, perché 1/3000 ≤ 1/1000. Una tolleranza di 0,0001 non è rispettata: 1/3000 > 1/10000. La risposta resta 1/3, la migliore frazione disponibile entro il limite, accompagnata da «Raggiunto il denominatore massimo senza rispettare la tolleranza.»
1/10000 < 1/3000 < 1/1000 → rispetta 0,001; con 0,0001 e massimo 100, limite raggiunto
La tolleranza non cambia la frazione cercata: prima si trova la frazione migliore entro il denominatore massimo, poi se ne confronta l’errore. Per 0,333, alzare il denominatore massimo avvicina la frazione; ridurre la tolleranza senza cambiare il limite non la migliora.
|1/2 − 333/1000| = 167/1000; |1/3 − 333/1000| = 1/3000; 333/1000 è il valore esatto
Quando approssimare un decimale e quando no?
Approssima un decimale quando viene da una misura o da un arrotondamento e ti basta una frazione leggibile: 0,333 mostrato da un display al posto di un terzo, oppure 2,718, che diventa 106/39 con denominatore massimo 100 se un errore di 1/19500 è accettabile. Lo strumento aiuta anche a scegliere un rapporto o una scala con numeri piccoli.
Non usarlo in questi casi:
- Il decimale è esatto e deve restarlo, come un importo in euro o un dato contabile: usa da decimale a frazione.
- Il decimale è periodico, come
0,(3): usa da decimale periodico a frazione, che dà esattamente1/3. - La frazione deve essere un multiplo di un passo fisso, come gli ottavi di pollice: usa arrotondare al multiplo frazionario più vicino.
Per il percorso inverso, dalla frazione alla scrittura decimale con il suo periodo, usa la conversione da frazione a decimale.
Domande frequenti
Come si approssima un decimale con una frazione dal denominatore piccolo?
Inserisci il decimale, lascia la modalità «Denominatore massimo», indica il limite e premi «Calcola l’approssimazione». Per 0,5625 con massimo 8 la risposta è 4/7, con errore esatto 1/112. Nessuna frazione con denominatore da 1 a 8 è più vicina: 1/2 e 5/8 distano 1/16, 3/5 dista 3/80.
Quale denominatore massimo conviene scegliere?
Il più piccolo che dà un errore accettabile. Per 3,14159, con massimo 10 ottieni 22/7, con errore 887/700000, circa 13 decimillesimi; con massimo 1000 ottieni 355/113, con errore 33/11300000, circa 3 milionesimi. Un denominatore più grande riduce l’errore ma rende la frazione meno leggibile.
Come funziona la modalità tolleranza?
Scegli «Tolleranza», inserisci l’errore massimo accettato, per esempio 0,001, e il denominatore massimo. Lo strumento trova la frazione migliore entro il limite e ne confronta l’errore: se rientra, il riquadro mostra «Tolleranza rispettata», altrimenti «Limite raggiunto». Con 0,333, massimo 100 e 0,001 ottieni 1/3, perché 1/3000 < 1/1000.
Il decimale va scritto con la virgola o con il punto?
Vanno bene entrambi, 0,333 come 0.333, ma non mescolati nello stesso numero. Sono ammessi anche il segno e i numeri interi. Il decimale deve essere finito e avere al massimo 100 cifre. Un periodico come 0,(3) non è accettato qui: convertilo con lo strumento da decimale periodico a frazione.
Perché 0,333 non è esattamente uguale a 1/3?
Perché 0,333 ha tre cifre decimali e vale esattamente 333/1000, mentre 1/3 = 0,(3) ripete la cifra 3 senza fine. La differenza, 1/3000, è piccola ma non nulla. La calcolatrice la mostra perché tu possa decidere se l’approssimazione basta, invece di presentare 1/3 come una conversione esatta.
Che legame c’è tra questo strumento e le frazioni continue?
La ricerca segue le ridotte della frazione continua del decimale, che ne sono le migliori approssimazioni successive. Per 0,333 = 333/1000 la frazione continua è 0 + 1/(3 + 1/333), con ridotte 0, 1/3 e 333/1000. Con massimo 100 l’ultima ammessa è 1/3. L’elenco completo è nel calcolatore di frazioni continue.
Che cos’è una ridotta intermedia e perché conta?
È una frazione compresa tra due ridotte consecutive, talvolta più vicina dell’ultima ridotta ammessa. Per 3,14159 con massimo 100, la ridotta 22/7 dista 887/700000, mentre la ridotta intermedia 311/99 dista 1741/9900000, circa sette volte meno. Per questo lo strumento confronta sempre le due candidate.
Come sceglie lo strumento tra due frazioni ugualmente vicine?
Sceglie quella con il denominatore minore e, a parità di denominatore, il numeratore minore tenendo conto del segno. Con 0,875 e massimo 4, 3/4 e 1 distano entrambe 1/8: vince 1, con denominatore 1. Con −0,5 e massimo 1, −1 e 0 sono alla pari e vince −1.
Perché in modalità tolleranza esce 333/1000 e non 1/3?
Perché in questa modalità il denominatore massimo parte da 1.000.000 e, con quel limite, la frazione più vicina a 0,333 è 333/1000 stessa, con errore zero. La tolleranza viene controllata solo dopo e non fa cercare la frazione più semplice. Per ottenere 1/3, abbassa il denominatore massimo a 100.
Che cosa significa «Limite raggiunto»?
Significa che la frazione migliore consentita dal denominatore massimo non rispetta la tolleranza richiesta. Con 0,333, massimo 100 e tolleranza 0,0001, lo strumento mostra 1/3 con errore 1/3000, maggiore di 1/10000. Ridurre la tolleranza non cambia nulla; aumentare il denominatore massimo può migliorare il risultato.
L’errore mostrato dalla calcolatrice è esatto?
Sì. L’errore viene calcolato con frazioni esatte e mostrato come frazione, per esempio 1/3000. Il decimale che può accompagnarlo nel testo, come ≈ 0,000333, è solo una lettura approssimata. Anche il confronto con la tolleranza è esatto, senza arrotondamenti binari.
Perché non basta convertire il decimale in frazione?
Perché la conversione mantiene il valore esatto: 0,333 = 333/1000. Qui invece il denominatore è limitato e la frazione ottenuta può differire dal valore di partenza. Se ti serve l’uguaglianza esatta usa da decimale a frazione; se basta una frazione leggibile e vicina, resta qui e controlla l’errore.
Che cosa succede se il decimale corrisponde già a una frazione semplice?
Lo strumento la trova con errore zero e mostra «Esatto». Per esempio, 0,375 con denominatore massimo 8 dà 3/8, perché 0,375 = 375/1000 = 3/8. Con massimo 7, 3/8 non è più ammessa e si ottiene 2/5, un’approssimazione con errore 1/40.
L’approssimazione può essere 0 o un numero intero?
Sì, se il denominatore massimo è molto piccolo. Con 0,1 e massimo 3 la scelta migliore è 0, con errore 1/10, perché 1/3 dista 7/30. Con 2,96 e massimo 1 il risultato è 3. Un intero è una frazione con denominatore 1 e partecipa come le altre.
Si può approssimare un decimale negativo con una frazione?
Sì. La ricerca lavora sul valore assoluto e rimette il segno alla fine: −0,333 con massimo 100 dà −1/3, con lo stesso errore 1/3000. Solo le parità dipendono dal segno, perché vince il numeratore minore: con −0,5 e massimo 1 lo strumento sceglie −1, non 0.
È la stessa cosa che arrotondare a 1/8?
No. Un passo fisso ammette solo i suoi multipli, mentre il denominatore massimo ammette frazioni diverse. Con 0,5625 e massimo 8 ottieni 4/7, che non è un multiplo di 1/8. Per arrotondare a un incremento scelto usa lo strumento per arrotondare al multiplo frazionario più vicino.