Un decimale limitato termina con una cifra finale, mentre un decimale periodico ripete un blocco senza fine. Per questo 0,999 vale 999/1000, meno di uno, mentre 0,9̅, con i nove che non finiscono mai, vale esattamente 1. Non esiste un «quasi»: tra 0,9̅ e 1 non c’è nessun numero.
Questa guida risponde alla domanda e fissa come si segna il periodo. Per trasformare un decimale periodico qualsiasi in frazione usa la frazione generatrice; per sapere in anticipo se una frazione si ferma o si ripete, guarda il criterio del 2 e del 5.
Tre scritture che si confondono
| Scrittura | Che cosa dice | Valore |
|---|---|---|
| 0,333 | Tre decimali e basta | 333/1000, minore di un terzo |
| 0,3̅ o 0,333… | Il 3 si ripete senza fine | Esattamente un terzo |
| ≈ 0,33 | Arrotondamento a due decimali | Un'approssimazione, non un'uguaglianza: l'errore è 1/300 |
La tabella separa tre cose diverse: un numero scritto per intero, un periodo e un arrotondamento. I puntini da soli possono lasciare dubbi su quale blocco continui, perciò segna il periodo con il tratto sopra le cifre, come in 0,2̅7̅; dove non puoi scriverlo, usa le parentesi, 0,(27), che è anche la forma che la calcolatrice accetta. In Italia i decimali si scrivono con la virgola; nei paesi anglosassoni con il punto, e la calcolatrice accetta tutti e due.
Esempio svolto: dimostrare che 0,9̅ = 1
Sia x = 0,999… con i nove ripetuti senza fine. Quanto vale x?
- Moltiplica per 10. Allora 10x = 9,999…, e la coda di nove è identica a quella di x.
- Sottrai. 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, perché le code si annullano.
- Ricava x. 9x = 9, quindi x = 1.
Quindi x = 1.
Verifica: un terzo si scrive 0,3̅. Triplicando i due membri, 3 × 0,3̅ dà 0,9̅ e 3 × 1/3 dà 1, lo stesso valore.
Il passo 2 funziona perché il periodo non ha una cifra finale: spostando la virgola di un posto non avanza e non manca nessun nove.
Perché i nove in numero finito non arrivano a 1
Con n nove il valore è 1 − 1/10ⁿ, e ogni nove in più riduce la distanza a un decimo senza annullarla.
| Scrittura | Valore | Manca a 1 |
|---|---|---|
| 0,9 | 9/10 | 1/10 |
| 0,99 | 99/100 | 1/100 |
| 0,999 | 999/1000 | 1/1000 |
| 0,9̅ | 1 | 0 |
Ogni riga con nove in numero finito resta sotto uno: una quantità finita di nove lascia sempre un resto, e per questo la sottrazione dell’esempio non funziona con loro. Nel decimale periodico la differenza 1 − 0,9̅ sarebbe minore di 1/10ⁿ per ogni n, e l’unico numero non negativo con questa proprietà è 0.
Che cosa mostra uno schermo
Una calcolatrice impostata con poche cifre può mostrare 1 per 0,999 e 0,67 per 2/3. È un arrotondamento di visualizzazione: 0,67 = 67/100 è un po’ più grande di 2/3. Per le uguaglianze esatte conserva la frazione e arrotonda solo il risultato finale.
Per continuare
- La frazione in decimale mostra se una frazione dà un decimale limitato o un periodo.
- Per trasformare un decimale limitato in frazione, come 0,5, usa decimale in frazione; se il decimale si ripete, usa la frazione generatrice.
- L’articolo su 0,1 + 0,2 spiega perché i computer non memorizzano 0,1 esatto.
Esercitati
- Quanto vale 0,3̅ + 0,6̅?
- Calcola la distanza tra 0,999 e 1.
- Scrivi 0,125 con una coda di nove.
Vedi le risposte
- 1, perché 1/3 + 2/3 = 1
- 1/1000
- 0,1249̅
Fonti
OpenStax, Prealgebra 2e, sezione 5.3, Decimals and Fractions (in inglese), consultata il 16 ottobre 2026: spiega che i decimali periodici si abbreviano segnando le cifre che si ripetono. Questa guida le segna con un tratto sopra.