Un nombre décimal se termine par un dernier chiffre, alors qu’un décimal périodique répète un bloc sans fin. C’est pourquoi 0,999 vaut 999/1000, moins qu’un, tandis que 0,9̅, avec des 9 qui ne s’arrêtent jamais, vaut exactement 1. Il n’y a pas de « presque » : entre 0,9̅ et 1, il n’y a aucun nombre.
Ce guide répond à cette question et fixe la manière de noter une période. Pour transformer un décimal périodique quelconque en fraction, utilisez la fraction génératrice ; pour savoir d’avance si une fraction s’arrête ou se répète, consultez le critère du 2 et du 5.
Trois écritures que l’on confond
| Écriture | Ce qu'elle dit | Valeur |
|---|---|---|
| 0,333 | Trois décimales, et c'est tout | 333/1000, inférieur à un tiers |
| 0,3̅ ou 0,333… | Le 3 se répète sans fin | Exactement un tiers |
| ≈ 0,33 | Arrondi à deux décimales | Une valeur approchée, pas une égalité : l'erreur est de 1/300 |
Le tableau sépare trois choses différentes : un nombre écrit en entier, une période et un arrondi. Des points de suspension seuls peuvent laisser un doute sur le bloc qui continue ; marquez donc la période par une barre au-dessus des chiffres, comme dans 0,2̅7̅, ou, quand vous ne pouvez pas la tracer, entre parenthèses, 0,(27), forme que la calculatrice accepte aussi. En France, les décimaux s’écrivent avec une virgule ; dans les pays anglo-saxons, avec un point, et la calculatrice accepte les deux.
Exemple résolu : démontrer que 0,9̅ = 1
Soit x = 0,999… avec des 9 répétés sans fin. Que vaut x ?
- Multipliez par 10. On obtient 10x = 9,999…, et la suite de 9 est identique à celle de x.
- Soustrayez. 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, car les suites s’annulent.
- Isolez x. 9x = 9, donc x = 1.
Donc x = 1.
Vérification : 1/3 = 0,3̅. En triplant les deux membres, 3 × 0,3̅ donne 0,9̅ et 3 × 1/3 donne 1, la même valeur.
L’étape 2 fonctionne parce que la période n’a pas de dernier chiffre : en décalant la virgule d’un rang, il ne reste ni ne manque aucun 9.
Pourquoi les 9 en nombre fini n’atteignent pas 1
Avec n chiffres 9, la valeur est 1 − 1/10ⁿ, et chaque 9 supplémentaire divise l’écart par dix sans jamais l’annuler.
| Écriture | Valeur | Il manque pour atteindre 1 |
|---|---|---|
| 0,9 | 9/10 | 1/10 |
| 0,99 | 99/100 | 1/100 |
| 0,999 | 999/1000 | 1/1000 |
| 0,9̅ | 1 | 0 |
Chaque ligne finie reste en dessous de un : un nombre fini de 9 laisse toujours un reste, et c’est pourquoi la soustraction de l’exemple ne marche pas avec eux. Pour la période infinie, la différence 1 − 0,9̅ serait inférieure à 1/10ⁿ pour tout n, et le seul nombre positif ou nul ayant cette propriété est 0.
Ce que montre un écran
Une calculatrice réglée sur peu de chiffres peut afficher 1 pour 0,999 et 0,67 pour 2/3. C’est un arrondi d’affichage : 0,67 = 67/100 est un peu plus grand que 2/3. Pour des égalités exactes, gardez la fraction et n’arrondissez que le résultat final.
Pour aller plus loin
- La fraction en décimal montre si une fraction donne un nombre décimal ou une période.
- Pour transformer un nombre décimal en fraction, comme 0,5, utilisez décimal en fraction ; si le décimal se répète, utilisez la fraction génératrice.
- L’article sur 0,1 + 0,2 explique pourquoi les ordinateurs ne stockent pas 0,1 exactement.
Exercez-vous
- Quelle est la valeur de 0,3̅ + 0,6̅ ?
- Calculez l’écart entre 0,999 et 1.
- Écrivez 0,125 avec une suite de 9.
Voir les réponses
- 1, car 1/3 + 2/3 = 1
- 1/1000
- 0,1249̅
Sources
OpenStax, Prealgebra 2e, section 5.3, Decimals and Fractions (en anglais), consultée le 16 octobre 2026 : explique que les décimaux périodiques s’abrègent en marquant les chiffres qui se répètent. Ce guide les marque d’une barre au-dessus.