Une fraction donne un nombre décimal (une écriture qui s’arrête) lorsque, une fois réduite, son dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5. Si un autre nombre premier subsiste, l’écriture décimale est périodique. Par exemple, 6/24 se réduit à 1/4 et donne 0,25, alors que 7/30 a un 3 au dénominateur et que son écriture décimale se répète.
Ce guide sert à en décider sans diviser. Si vous avez déjà la fraction et voulez voir le décimal, utilisez le convertisseur de fraction en décimal. Si vous avez un décimal périodique et cherchez la fraction, consultez la fraction génératrice.
| Dénominateur réduit | Écriture décimale | Exemple |
|---|---|---|
| Seulement 2 et 5 (ou 1) | S’arrête | 9/20 = 0,45 |
| Ni 2 ni 5, mais un autre premier | Périodique pur | 1/3 = 0,3̅ |
| 2 ou 5, et en plus un autre premier | Périodique mixte | 7/30 = 0,23̅ |
Le tableau résume le guide : seul compte le choix des nombres premiers qui restent au dénominateur après simplification. La période se note avec un trait au-dessus des chiffres ; dans un champ de saisie, vous pouvez utiliser des parenthèses, comme 0,2(3).
Si vous aviez décomposé 24 sans réduire, vous auriez vu un 3 et conclu que l’écriture décimale est périodique. Ce 3 se simplifie avec le 6 du numérateur, et c’est pourquoi l’ordre des étapes compte. Pour trouver le PGCD ou les facteurs quand les nombres sont grands, utilisez simplifier des fractions et la décomposition en facteurs premiers.
Pourquoi seuls 2 et 5 comptent
Un décimal avec n chiffres après la virgule est une fraction de dénominateur 10ⁿ, et 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ. Voilà pourquoi une fraction réduite ne donne un nombre décimal que si son dénominateur est fait de 2 et de 5. Réciproquement, si le dénominateur réduit vaut 2ᵃ × 5ᵇ, vous multipliez en haut et en bas par les facteurs qui manquent jusqu’à obtenir 10ⁿ, avec n égal au plus grand de a et b.
Pour 3/40, le dénominateur est 40 = 2³ × 5. Pour arriver à 10³ = 1 000, il manque deux facteurs 5, c’est-à-dire qu’il faut multiplier par 25. Ainsi, 3/40 = 75/1 000 = 0,075. Le décimal compte autant de chiffres que le plus grand exposant, ici trois.
Le critère dépend de la base dix et ne mesure pas quelle fraction est la plus précise : 1/3 est un rationnel aussi précis que 1/4, même si son écriture décimale ne s’arrête pas.
Exemple résolu : 6/24
L’écriture décimale de 6/24 s’arrête-t-elle ?
- Vérifiez le dénominateur. 24 n’est pas nul et il est positif, donc rien à corriger.
- Réduisez. Le PGCD de 6 et 24 est 6, et 6/24 = 1/4.
- Décomposez le dénominateur réduit. 4 = 2 × 2, il n’y a que des facteurs 2.
- Complétez jusqu’à une puissance de 10. 1/4 × 25/25 = 25/100.
Résultat : 6/24 = 0,25, un nombre décimal à deux chiffres.
Vérification : 4 × 0,25 = 1, et 24 × 0,25 = 6.
Quand le décimal est périodique, pur ou mixte
Quand le dénominateur réduit contient un nombre premier autre que 2 et 5, la division posée n’arrive jamais à un reste nul. Tôt ou tard réapparaît un reste déjà obtenu, et à partir de là les mêmes chiffres se répètent. Pour 1/6, le reste 4 revient et engendre de nouveau le 6.
Si le dénominateur n’a ni 2 ni 5, la période commence juste après la virgule et le décimal est périodique pur, comme 1/7 = 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅. S’il a 2 ou 5 et en plus un autre premier, des chiffres initiaux ne se répètent pas et le décimal est périodique mixte, comme 7/30 = 0,23̅. Le trait marque le bloc qui se répète : 0,23̅ et 0,2333… sont le même nombre. En revanche, 0,23 n’est qu’une approximation : 7/30 − 23/100 = 1/300, donc 7/30 ≈ 0,23 avec une erreur de 1/300.
Le tableau suivant réunit tous les dénominateurs réduits jusqu’à 30. Il suffit de voir dans quelle ligne tombe le vôtre.
| Type | Dénominateurs |
|---|---|
| S’arrête | 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 |
| Périodique pur | 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29 |
| Périodique mixte | 6, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 26, 28, 30 |
Le tableau ne vaut que pour les fractions irréductibles. Par exemple, 9/21 se réduit à 3/7 et reste dans la ligne des périodiques purs, tandis que 15/30 se réduit à 1/2 et passe parmi ceux qui s’arrêtent.
Autres exemples
- 9/20 est déjà réduite et 20 = 2² × 5. Vous multipliez par 5 et obtenez 45/100 = 0,45.
- Pour 7/30, 30 = 2 × 3 × 5. Le 3 reste, donc l’écriture ne s’arrête pas. La division posée donne 0,2333…, c’est-à-dire 0,23̅.
- Un entier écrit sous forme de fraction. Pour 12/4 = 3/1, le dénominateur 1 n’a aucun facteur premier et le décimal est 3, sans chiffre après la virgule.
Pour vous entraîner, classez 8/12, 9/40 et 7/28 sans diviser, puis vérifiez avec le convertisseur de fraction en décimal. Si la différence entre une fraction décimale (dénominateur 10, 100, 1 000…) et un nombre décimal vous intéresse, elle est expliquée dans les fractions décimales. La notation 0,9̅ = 1 et l’usage des parenthèses figurent dans décimaux et périodiques.
Sources
LibreTexts Español, Preálgebra (Arnold), 5.6 (en espagnol, consulté le 16 octobre 2026) affirme que, si le dénominateur de la fraction simplifiée se décompose seulement en 2 et/ou 5, la représentation décimale s’arrête. OpenStax, Contemporary Mathematics, 3.4 (en anglais, consulté le 16 octobre 2026) définit le nombre décimal comme celui qui a une dernière décimale et le décimal périodique comme celui qui répète un motif.