Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit comme le quotient de deux entiers, le diviseur étant différent de zéro. La fraction est l’écriture et le rationnel est la valeur : −6/3 et −2 sont deux écritures du même rationnel, tout comme 1/2, 2/4 et 0,5. Pour savoir si un décimal est rationnel, regardez s’il s’arrête ou s’il répète un bloc de chiffres (le guide des décimaux finis et périodiques détaille chaque cas). √2 ne fait ni l’un ni l’autre : ce n’est donc pas une fraction.
| Si vous avez… | Alors | Exemple |
|---|---|---|
| Une fraction d’entiers, dénominateur non nul | Il est rationnel | −6/3 = −2 |
| Un décimal qui s’arrête | Il est rationnel, avec une puissance de 10 au dénominateur | 0,375 = 375/1000 = 3/8 |
| Un décimal dont un bloc se répète | Il est rationnel, et une soustraction supprime la partie répétée | 0,2̅7̅ = 3/11 |
| Un décimal sans fin et sans répétition | Il est irrationnel | √2 = 1,41421356… |
Le tableau résume le critère : ce qui décide, c’est la forme du décimal complet, pas le nombre de chiffres que montre l’écran. Un nombre affiché avec beaucoup de chiffres peut être rationnel, et un autre affiché avec peu de chiffres peut être tronqué. Cette définition rejoint celle de Wikipédia en français, qui décrit les rationnels comme des quotients d’entiers et leur développement décimal comme fini ou périodique.
Un même nombre, plusieurs fractions
Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même entier non nul conserve la valeur, car on multiplie par une fraction qui vaut un. Ainsi 1/2 devient 2/4 avec le facteur 2/2, et diviser 2 et 4 par leur PGCD ramène à 1/2. Aucune de ces écritures n’est un nombre différent des autres.
Les entiers font aussi partie de l’ensemble : 5 = 5/1 et 0 = 0/1. Le signe ne change pas la classe, donc −3/5 est rationnel. La seule valeur exclue est le dénominateur zéro, dont la raison est expliquée dans le guide pourquoi le dénominateur ne peut pas être zéro.
Comment passer d’un décimal périodique à une fraction
Pour passer d’un décimal périodique à une fraction, on utilise une soustraction. Pour 0,2̅7̅, que l’on lit « zéro virgule vingt-sept périodique », la période compte deux chiffres.
Exemple résolu. 0,2̅7̅ en fraction
Quelle est la fraction irréductible égale à x = 0,272727… ?
- Décalez d’une période. Le bloc compte deux chiffres : multipliez par 100, ce qui donne 100x = 27,2727…
- Soustrayez pour supprimer la partie répétée. 100x − x = 27, c’est-à-dire 99x = 27.
- Isolez x. x = 27/99.
- Simplifiez. Le PGCD de 27 et 99 est 9, et il reste 3/11.
Résultat. 0,2̅7̅ = 3/11.
Vérification. En divisant 3 par 11, on obtient 0,2727…, le décimal de départ.
Si le décimal a des chiffres avant la période, comme 0,583̅, on multiplie d’abord par la puissance de 10 qui les place à gauche de la virgule, puis on applique la même méthode. Le résultat est 7/12. Le convertisseur de décimal périodique en fraction fait le même calcul pour n’importe quelle période (saisissez 0,58(3) avec la période entre parenthèses), et le guide des décimaux finis et périodiques explique quand un décimal relève de chaque type.
Quel développement décimal pour chaque dénominateur
Le décimal de a/b, la fraction étant déjà irréductible, ne dépend que de b. Si b n’a pour facteurs premiers que 2 et 5, le décimal s’arrête. Sinon il est périodique : on retire de b les facteurs 2 et 5, et la longueur de la période est le plus petit k tel que 10k − 1 soit un multiple de ce qui reste. Elle ne dépasse jamais b − 1.
| Fraction | Décimal | Période |
|---|---|---|
| 3/8 | 0,375 | S’arrête, car 8 = 2³ |
| 1/3 | 0,3̅ | 1 chiffre |
| 1/11 | 0,0̅9̅ | 2 chiffres |
| 1/7 | 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ | 6 chiffres |
| 1/13 | 0,0̅7̅6̅9̅2̅3̅ | 6 chiffres |
| 7/12 | 0,583̅ | 1 chiffre après 2 chiffres sans répétition |
Dans 7/12, le dénominateur 12 = 4 × 3 contient deux facteurs 2, d’où deux chiffres avant que le 3 ne commence à se répéter. Pour 1/7 et 1/13, la période est 6 parce que 10⁶ − 1 est le premier nombre de la forme 10k − 1 divisible par 7 et par 13. Pour voir ces étapes sur une autre fraction, utilisez fraction en décimal ou revoyez le cas du développement décimal qui s’arrête dans les fractions dont le décimal s’arrête.
Où commencent les irrationnels
Un irrationnel ne peut pas s’écrire comme un quotient exact de deux entiers, et son décimal ne s’arrête pas et ne se répète pas. √2 en est l’exemple classique : aucune fraction élevée au carré ne donne exactement 2. Écrire 1,414 comme approximation n’en fait pas un rationnel, car 1,414 = 707/500 est un rationnel proche mais différent, et son écart avec √2 est inférieur à 0,0003. La preuve complète se trouve dans l’article pourquoi √2 n’est pas une fraction.
Qu’un décimal ait une infinité de chiffres ne suffit pas pour qu’il soit irrationnel : 0,3̅ en a une infinité et vaut un tiers. Le symbole de racine ne décide pas non plus à lui seul, puisque √4 = 2 est rationnel et que √2 ne l’est pas. Classez la valeur une fois calculée, pas la façon dont elle est écrite.
Pour aller plus loin
Pour une définition brève d’un terme, le glossaire des fractions réunit les termes dans un tableau. Pour manipuler un rationnel directement comme quotient d’entiers, la calculatrice de fractions calcule sur les fractions sans passer par les décimaux. Et si vous voulez passer d’un décimal à sa fraction, le convertisseur de décimal en fraction le fait pas à pas.
Sources
- Wikipédia en français, article Nombre rationnel, avec la définition comme quotient d’entiers et un développement décimal qui s’arrête ou devient périodique.