Un numero razionale è un valore che si può scrivere come a/b, con a e b interi e b diverso da zero. Ogni frazione valida con termini interi rappresenta un numero razionale; anche 3 è razionale perché 3 = 3/1. La barra non è necessaria perché un numero appartenga a questo insieme.
Un numero può avere più scritture
Una frazione è una rappresentazione del valore, non un numero nuovo per ogni coppia di termini. Per esempio, 1/2 = 2/4 = 50/100 = 0,5. Moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso intero non nullo conserva il valore perché equivale a moltiplicare per 1.
| Scrittura | Valore | Che cosa mostra |
|---|---|---|
| 1/2 | Metà | Forma ridotta |
| 2/4 | Metà | Due quarti dell’unità |
| 50/100 | Metà | Cinquanta centesimi |
| 0,5 | Metà | Decimale esatto |
Quattro scritture, uno stesso punto
1/2 = 2/4 = 50/100 = 0,5
Anche zero è razionale: 0 = 0/1. Le frazioni maggiori di uno e quelle negative restano razionali: 9/4 = 2 1/4 e −3/5 sono entrambe divisioni tra interi con denominatore non nullo. Una scrittura con denominatore zero, come 3/0, non rappresenta invece un numero.
Che cosa mostrano i decimali?
Il decimale di un razionale termina oppure, dopo un certo punto, ripete una sequenza di cifre. Per esempio, 3/8 = 0,375 è finito; 1/3 = 0,3333… ha un 3 che si ripete; 1/6 = 0,1666… ha una cifra iniziale seguita da 6 periodici.
Ogni decimale finito si può scrivere come frazione con denominatore 10, 100, 1000 e così via: 0,125 = 125/1000 = 1/8. Anche un decimale periodico ha una frazione esatta. Se x = 0,3333…, allora 10x = 3,3333…; sottraendo la prima equazione dalla seconda si ottiene 9x = 3, dunque x = 1/3.
Attenzione alla differenza tra il decimale finito 0,333 e il periodico 0,3333… Il primo vale esattamente 333/1000, non 1/3; la differenza è 1/3000. Una calcolatrice può abbreviare la visualizzazione senza cambiare la frazione esatta. La conversione da frazione a decimale aiuta a riconoscere un periodo o un’approssimazione.
In che cosa si distingue un numero irrazionale?
Un irrazionale non si può scrivere come rapporto esatto di due interi. Il suo decimale non termina e non diventa periodico. √2 è irrazionale; 1,414 è soltanto un’approssimazione e vale esattamente 707/500, un numero razionale diverso da √2.
Un decimale infinito non è necessariamente irrazionale: 0,3333… ha infinite cifre ma è esattamente 1/3, quindi razionale. È la presenza di un periodo che conta, non la lunghezza della scrittura. Anche il simbolo di radice non basta a classificare un numero: √4 = 2 = 2/1 è razionale, mentre √2 è irrazionale.
Quattro classificazioni
- 12/18: dividendo entrambi i termini per 6 si ottiene 2/3. Le due frazioni sono rappresentazioni dello stesso razionale.
- −6/3: il valore è −2; poiché −2 = −2/1, è un intero e anche un numero razionale.
- 0,125: il decimale finito è 125/1000 = 1/8, quindi rappresenta un razionale esatto.
- √4 e √2: √4 = 2 è razionale; √2 non è il rapporto esatto di due interi. Il valore 1,414 si avvicina a √2 ma non coincide con esso.
Per mantenere la frazione esatta mentre controlli la forma decimale, usa frazione in decimale. La calcolatrice di frazioni esegue le operazioni sui valori razionali; le frazioni continue offrono un’altra rappresentazione esatta con la calcolatrice dedicata.
Perché il decimale di un razionale termina o si ripete
La divisione in colonna spiega il modello. Scrivi la frazione come a/b con b > 0 (se il denominatore è negativo, sposta il segno al numeratore) e dividi il valore assoluto del numeratore per b; ogni resto r è un intero con 0 ≤ r < b e il risultato decimale mantiene il segno della frazione originale. Se il resto diventa 0, la divisione termina. Se prosegue, i resti possibili sono in numero finito, quindi uno deve ricomparire. Da quel passaggio si ripetono gli stessi calcoli e le stesse cifre decimali. Per esempio, dividendo 1 per 7 si ottengono i resti 1, 3, 2, 6, 4 e 5; poi torna il resto 1 e ricomincia il blocco 142857.
Si può anche ricavare una frazione da un periodo. Sia x = 0,3333…; allora 10x = 3,3333… e la sottrazione elimina la parte ripetuta: 9x = 3, quindi x = 1/3. Per un blocco di k cifre, si moltiplica per 10^k prima di sottrarre. Il ragionamento non approssima il decimale infinito: i puntini indicano che l’intero blocco continua senza fine.
Racchiudere un irrazionale tra due razionali
La scala della figura si può giustificare senza considerare esatto il valore approssimato. I quadrati degli estremi positivi sono (707/500)² = 499849/250000 = 1,999396 < 2 e (283/200)² = 80089/40000 = 2,002225 > 2. Poiché elevare al quadrato conserva l’ordine tra numeri positivi, 707/500 < √2 < 283/200. Il disegno usa 1,4142 solo per collocare √2 nell’intervallo; 707/500 vale esattamente 1,414 e non è √2.
Le operazioni esatte mantengono razionali i risultati
Se a/b e c/d sono razionali e i denominatori sono diversi da zero, la somma si può scrivere come (ad + bc)/bd e il prodotto come ac/bd; anche bd è diverso da zero. Il quoziente è razionale quando c ≠ 0, perché (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc. Per esempio, 2/3 + 5/4 = (8 + 15)/12 = 23/12. Così si classifica il risultato senza convertire prima le frazioni in decimali.
Esercizio svolto: classifica 0,272727… e 0,272. Il primo numero ha un periodo di due cifre; quindi 100x = 27,272727…; sottraendo x, si ottiene 99x = 27 e x = 27/99 = 3/11. Il secondo termina e vale 272/1000 = 34/125. Entrambi sono razionali, ma hanno valori diversi: uno è periodico e l’altro è esattamente il decimale finito mostrato. Molte cifre visualizzate non sostituiscono una verifica di equivalenza.