Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai a/b, dengan a dan b bilangan bulat serta b bukan nol. Karena itu, setiap pecahan dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat yang sah menyatakan bilangan rasional. Bilangan bulat 3 juga rasional karena dapat ditulis sebagai 3/1.
Pecahan adalah salah satu cara menuliskan bilangan tersebut. Nilai yang sama dapat ditulis sebagai 1/2, 2/4, 50/100, atau 0,5. Mengubah tulisan tidak menciptakan bilangan baru. Sebaliknya, √2 tidak dapat ditulis sebagai perbandingan tepat dua bilangan bulat; desimal yang ditampilkan untuknya hanyalah pendekatan.
Satu nilai dapat memiliki banyak bentuk pecahan
Mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan bulat yang sama, selain nol, mempertahankan nilai karena sama dengan mengalikan dengan 1. Misalnya, 1/2 × 2/2 = 2/4, lalu 1/2 × 50/50 = 50/100. Membagi pembilang dan penyebut 50/100 dengan FPB 50 mengembalikannya ke bentuk sederhana 1/2.
| Bentuk | Nilai | Hal yang ditunjukkan |
|---|---|---|
| 1/2 | Setengah | Bentuk sederhana |
| 2/4 | Setengah | Dua dari empat bagian |
| 50/100 | Setengah | Lima puluh perseratus |
| 0,5 | Setengah | Desimal tepat |
Empat bentuk, satu titik
1/2 = 2/4 = 50/100 = 0,5
Nol juga rasional: 0 = 0/1 = 0/7. Pecahan 9/4 lebih besar daripada satu, tetapi tetap rasional karena pembilang dan penyebutnya bilangan bulat dan penyebutnya bukan nol. Tanda negatif pun tidak mengubahnya: −3/5 tetap merupakan hasil bagi dua bilangan bulat.
Apa yang ditunjukkan oleh bentuk desimal?
Desimal dari bilangan rasional akan berhenti atau pada suatu titik mengulang pola digit. Contohnya, 3/8 = 0,375 berhenti. Nilai 1/3 = 0,3333… berulang, sedangkan 1/6 = 0,1666… memiliki digit 1 sebelum angka 6 yang terus berulang.
Desimal berhenti dapat ditulis dengan penyebut berupa pangkat sepuluh. Misalnya, 0,125 = 125/1000 = 1/8. Desimal berulang juga dapat diubah menjadi pecahan tepat. Jika x = 0,3333…, maka 10x = 3,3333…; kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua untuk mendapat 9x = 3, jadi x = 1/3.
Angka 0,333 yang ditulis tanpa tanda berulang adalah desimal terbatas dan tepat sama dengan 333/1000. Nilainya berbeda dari 1/3 sebesar 1/3000. Layar kalkulator mungkin membatasi jumlah digit yang ditampilkan, tetapi pemotongan tampilan tidak mengubah pecahan eksaknya. Simpan 1/3 dan bulatkan hanya untuk penyajian jika perlu.
Apa bedanya bilangan rasional dan irasional?
Bilangan irasional tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi tepat dua bilangan bulat; desimalnya tidak berhenti dan tidak mengulang suatu pola tetap. √2 adalah contoh bilangan irasional. Nilai 1,414 = 707/500 adalah bilangan rasional yang mendekati √2, tetapi keduanya tidak sama.
Contoh tandingan untuk anggapan bahwa desimal tak berakhir selalu irasional: 0,3333… memiliki digit tak berakhir, tetapi pola 3 berulang dan nilainya tepat 1/3. Sebaliknya, desimal 0,1010010001… dengan jarak antarangka 1 yang makin panjang tidak memiliki pola berulang tetap, sehingga nilainya irasional.
Simbol akar saja tidak menentukan jenis bilangan. √4 = 2 = 2/1 adalah rasional, sedangkan √2 irasional. Alat akar pecahan dapat menampilkan akar eksak dan pendekatan desimal untuk nilai yang dihitung.
Contoh klasifikasi bilangan
- 12/18: bagi kedua suku dengan 6 untuk mendapat 2/3. Keduanya bentuk dari bilangan rasional yang sama; desimalnya 0,6666… berulang.
- −6/3: hasilnya −2. Bilangan bulat −2 juga sama dengan −2/1, jadi bilangan bulat termasuk bilangan rasional.
- 0,125: tulis sebagai 125/1000 lalu sederhanakan dengan membagi kedua suku dengan 125. Hasilnya 1/8, sehingga desimalnya tepat.
- √4 dan √2: √4 = 2 adalah rasional. √2 tidak rasional; 1,414 hanya perkiraan, bukan nilai yang sama.
Untuk membandingkan pecahan dengan desimal, gunakan konversi pecahan ke desimal. Penyederhanaan pecahan menampilkan bentuk yang lebih ringkas tanpa mengubah nilai.
Kesalahan saat mengelompokkan bilangan
- Mengharuskan bentuk pecahan terlihat: 5 dan 0,5 tetap rasional karena masing-masing sama dengan 5/1 dan 1/2.
- Mengira desimal berulang itu irasional: 1/3 memiliki desimal tak berakhir yang berulang dan tetap rasional.
- Menganggap pendekatan sama dengan nilai: 1,414 rasional, tetapi tidak sama dengan √2.
- Menerima penyebut nol: a/0 tidak menyatakan bilangan rasional.
- Membandingkan bentuk, bukan nilai: 2/4 dan 50/100 berada pada titik yang sama pada garis bilangan.
Mengapa desimal rasional berhenti atau berulang
Pembagian bersusun menjelaskan polanya. Tuliskan pecahan sebagai a/b dengan b > 0 (jika penyebutnya negatif, pindahkan tandanya ke pembilang), lalu bagi nilai mutlak pembilang dengan b; setiap sisa r adalah bilangan bulat yang memenuhi 0 ≤ r < b, dan hasil desimal mempertahankan tanda pecahan semula. Jika sisanya menjadi 0, pembagian berhenti. Jika berlanjut, hanya ada sejumlah sisa yang terbatas, jadi suatu sisa pasti muncul lagi. Sejak langkah itu, operasi yang sama terulang dan digit desimal yang sama kembali. Misalnya, saat membagi 1 dengan 7, sisanya berturut-turut 1, 3, 2, 6, 4, dan 5; kemudian sisa 1 muncul lagi dan blok digit 142857 dimulai kembali.
Pecahan juga dapat diperoleh kembali dari desimal berulang. Misalkan x = 0,3333…; maka 10x = 3,3333… dan pengurangan menghilangkan bagian yang berulang: 9x = 3, sehingga x = 1/3. Untuk blok sepanjang k digit, kalikan dengan 10^k sebelum mengurangkan. Cara ini tidak mengganti desimal tak berhingga dengan pendekatan: elipsis menunjukkan seluruh blok berlanjut tanpa akhir.
Membatasi bilangan irasional dengan dua bilangan rasional
Skala pada gambar dapat dijelaskan tanpa menganggap pendekatan sebagai nilai eksak. Kuadrat dari kedua batas positif adalah (707/500)² = 499849/250000 = 1,999396 < 2 dan (283/200)² = 80089/40000 = 2,002225 > 2. Karena penguadratan mempertahankan urutan bilangan positif, 707/500 < √2 < 283/200. Gambar memakai 1,4142 hanya untuk menunjukkan perkiraan posisinya; 707/500 tepat sama dengan 1,414 dan bukan √2.
Operasi eksak mempertahankan hasil rasional
Jika a/b dan c/d rasional serta penyebutnya bukan nol, jumlahnya dapat ditulis sebagai (ad + bc)/bd dan hasil kalinya sebagai ac/bd; bd tetap bukan nol. Hasil baginya juga rasional jika c ≠ 0, sebab (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc. Contohnya, 2/3 + 5/4 = (8 + 15)/12 = 23/12. Dengan demikian, hasil dapat diklasifikasikan tanpa terlebih dahulu mengubah pecahan menjadi desimal.
Latihan terselesaikan: klasifikasikan 0,272727… dan 0,272. Bilangan pertama memiliki periode dua digit, sehingga 100x = 27,272727…; setelah dikurangi x, diperoleh 99x = 27 dan x = 27/99 = 3/11. Bilangan kedua berhenti dan nilainya 272/1000 = 34/125. Keduanya rasional, tetapi nilainya berbeda: satu berulang dan yang lain tepat sama dengan desimal berhingga yang ditulis. Banyaknya digit yang ditampilkan tidak menggantikan pemeriksaan kesetaraan.