La fraction génératrice d’un nombre décimal périodique est la fraction irréductible qui, en divisant son numérateur par son dénominateur, redonne ce nombre. Cette page suit le chemin de l’infini au fini : de 0,1666… à une fraction. En France, 0,75 s’écrit avec une virgule ; la calculatrice accepte aussi le point, 0.75.
Exemple résolu : 0,1(6)
Quelle fraction donne le nombre 0,1666…, où le 6 se répète sans fin ?
- Appelez x le nombre. x = 0,1666…
- Décalez la virgule deux fois. 10x = 1,666…, avec la partie non périodique (le 1) déjà dans la partie entière, et 100x = 16,666…, avec une période complète.
- Soustrayez. 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, et la suite 666… disparaît : 90x = 15.
- Isolez x et réduisez. x = 15/90, et en divisant par 15 il reste 1/6.
Résultat : 0,16̅ = 1/6.
Vérification : 10 ÷ 6 = 1 et il reste 4 ; 40 ÷ 6 = 6 et il reste 4. Le reste 4 revient, donc la division donne 0,1666…
Période, partie non périodique et les trois types de nombres décimaux
La période est le bloc de chiffres qui se répète sans fin, et la partie non périodique est formée des chiffres décimaux placés avant cette répétition. Dans 0,16̅, le 1 est la partie non périodique et le 6 la période. Si la période commence juste après la virgule, le nombre est périodique simple ; s’il y a une partie non périodique, il est périodique mixte. La partie entière, quand elle existe, ne change pas cette classification.
| Type | Nombre | Calcul | Fraction |
|---|---|---|---|
| Décimal | 0,25 | 25/100 | 1/4 |
| Périodique simple | 0,7̅ | 7/9 | 7/9 |
| Périodique mixte | 0,083̅ | (83 − 8)/900 | 1/12 |
| Mixte avec partie entière | 2,04̅5̅ | (2045 − 20)/990 | 45/22 |
| Longue période | 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ | 142857/999999 | 1/7 |
Au dénominateur, chaque chiffre de la période apporte un 9 et chaque chiffre de la partie non périodique apporte un 0 à la suite. Dans 2,04̅5̅, il y a un chiffre non périodique et deux chiffres périodiques ; le dénominateur est donc 990 et le numérateur est 2045 − 20. Un nombre décimal comme 0,25 est le cas sans période : on l’écrit sur une puissance de 10 et on le réduit. Pour saisir la période dans la calculatrice, on utilise les parenthèses, comme dans 2,0(45).
Pourquoi la soustraction élimine la suite
Multiplier par une puissance de 10 ne fait que déplacer la virgule, sans changer les chiffres qui suivent. Si vous choisissez deux puissances dont l’écart laisse la même suite périodique dans les deux nombres, la soustraction annule la partie infinie et il reste une équation en entiers. C’est l’idée de l’exemple de 0,16̅.
La règle des 9 et des 0 est le raccourci du même calcul et sert à contrôler le résultat. Le numérateur est le nombre formé par tous les chiffres jusqu’à la fin de la première période, moins celui formé par les chiffres avant la période, sans virgule. Pour 0,083̅ : (83 − 8)/900 = 75/900 = 1/12. Si le dénominateur n’a pas un 9 par chiffre de la période, quelque chose s’est mal passé.
Les cas qui demandent de l’attention
Avec une partie entière, inutile de la séparer : elle entre dans les deux nombres à soustraire, comme le 2045 et le 20 de 2,04̅5̅. Avec un signe moins, la calculatrice trouve la fraction de la valeur sans signe et l’applique à la fin ; −0,7̅ donne donc −7/9.
Le cas de 0,9̅ surprend : la soustraction donne 9x = 9, donc 0,9̅ = 1. Tout nombre dont la période est 9 équivaut à un nombre décimal, et c’est pourquoi la calculatrice ne renvoie jamais une fraction « presque égale ». Si votre nombre a un chiffre de plus ou de moins, c’est un autre nombre. La période ne se devine pas : 0,1666 peut s’arrêter là ou continuer avec n’importe quel chiffre, et seules les parenthèses le disent.
Quelle page utiliser selon votre nombre
Chaque type de nombre a son outil, et il vaut mieux choisir celui qui modifie le moins ce que vous avez. Le tableau résume les quatre cas.
| Vous avez | Exemple | Utilisez |
|---|---|---|
| Période marquée | 0,416̅ | Cette page |
| Nombre décimal | 0,375 | Décimal en fraction |
| Nombre arrondi issu d’une mesure | 0,3333 | Approximer un décimal par une fraction |
| Une fraction, pour voir son écriture décimale | 5/12 | Fraction en décimal |
La fraction génératrice sort déjà simplifiée. Si vous voulez voir comment se réduit une fraction comme 75/900, l’outil pour simplifier des fractions affiche le PGCD. Quand le résultat est une fraction supérieure à 1, la conversion en nombre mixte la réécrit, et pour vous entraîner à la main, il y a le guide tableau de fractions, nombres décimaux et pourcentages. OpenStax présente les nombres décimaux et périodiques comme des nombres rationnels sur une page en anglais.
Questions fréquentes
Pourquoi 0,(9) est-il égal à 1 ?
Si x = 0,999…, alors 10x = 9,999…, et en soustrayant il reste 9x = 9, donc x = 1. Il n’y a aucun arrondi : entre 0,999… et 1, il n’y a aucun autre nombre. Le guide des nombres décimaux et périodiques développe cette preuve et deux autres.
Que se passe-t-il si j’écris 0,333 sans parenthèses ?
Il est lu comme un nombre décimal de trois chiffres, qui vaut 333/1000, et non comme 1/3. Si le nombre ne se répète pas, la conversion est une autre tâche : utilisez décimal en fraction. Pour indiquer la répétition infinie, il faut la marquer, comme dans 0,(3).
Quelles fractions donnent un nombre décimal périodique ?
Les fractions irréductibles dont le dénominateur a au moins un facteur premier différent de 2 et de 5. C’est pourquoi 7/30 donne une période, alors que 3/40 s’arrête à 0,075. Le guide des fractions décimales explique le critère avec d’autres cas.
Un nombre comme √2 = 1,41421… a-t-il une fraction génératrice ?
Non. Un développement décimal infini dont aucun bloc ne se répète est irrationnel et ne s’écrit pas comme un quotient de deux entiers. Il en va de même pour π. La fraction génératrice n’existe que pour les nombres décimaux et les décimaux périodiques.
Comment vérifier le résultat ?
Divisez le numérateur par le dénominateur et regardez si le nombre de départ réapparaît. Pour 5/12, la division donne 0,41666…, c’est-à-dire 0,41(6). L’outil fraction en décimal fait cette division et marque la période qu’il trouve.