La frazione generatrice di un numero decimale periodico è la frazione irriducibile che, dividendo il numeratore per il denominatore, riproduce quel decimale. Questa pagina percorre la strada dall’infinito al finito: da 0,1666… a una frazione. In Italia 0,75 si scrive con la virgola; la calcolatrice accetta anche il punto, 0.75.
Esempio svolto: 0,1(6)
Quale frazione dà il decimale 0,1666…, in cui il 6 si ripete all’infinito?
- Chiama x il numero. x = 0,1666…
- Sposta la virgola due volte. 10x = 1,666…, con l’antiperiodo (l’1) già nella parte intera, e 100x = 16,666…, con un periodo completo.
- Sottrai. 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, e la coda 666… sparisce: 90x = 15.
- Ricava x e riduci. x = 15/90, e dividendo per 15 resta 1/6.
Risultato: 0,16̅ = 1/6.
Verifica: 10 ÷ 6 = 1 con resto 4; 40 ÷ 6 = 6 con resto 4. Il resto 4 ritorna, quindi la divisione dà 0,1666…
Periodo, antiperiodo e i tre tipi di decimale
Il periodo è il blocco di cifre che si ripete all’infinito, e l’antiperiodo sono le cifre decimali che compaiono prima della ripetizione. In 0,16̅ l’1 è l’antiperiodo e il 6 il periodo. Se il periodo parte subito dopo la virgola il decimale è periodico semplice; se c’è un antiperiodo è periodico misto. La parte intera, quando c’è, non cambia la classificazione.
| Tipo | Decimale | Calcolo | Frazione |
|---|---|---|---|
| Limitato | 0,25 | 25/100 | 1/4 |
| Periodico semplice | 0,7̅ | 7/9 | 7/9 |
| Periodico misto | 0,083̅ | (83 − 8)/900 | 1/12 |
| Misto con parte intera | 2,04̅5̅ | (2045 − 20)/990 | 45/22 |
| Periodo lungo | 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ | 142857/999999 | 1/7 |
Nel denominatore ogni cifra del periodo porta un 9 e ogni cifra dell’antiperiodo porta uno 0 in coda. In 2,04̅5̅ c’è una cifra di antiperiodo e due di periodo, perciò il denominatore è 990 e il numeratore è 2045 − 20. Un decimale limitato, come 0,25, è il caso senza periodo: si scrive su una potenza di 10 e si riduce. Per scrivere il periodo nella calcolatrice si usano le parentesi, come in 2,0(45).
Perché la sottrazione elimina la coda
Moltiplicare per una potenza di 10 sposta soltanto la virgola e lascia uguali le cifre che seguono. Se scegli due potenze la cui differenza lascia la stessa coda periodica nei due numeri, sottraendoli la parte infinita si annulla e resta un’equazione tra interi. È l’idea dell’esempio di 0,16̅.
La regola dei nove e degli zeri è la scorciatoia dello stesso calcolo e serve a controllare il risultato. Il numeratore è il numero formato da tutte le cifre fino alla fine del primo periodo, meno quello formato dalle cifre prima del periodo, senza virgola. Per 0,083̅ si ha (83 − 8)/900 = 75/900 = 1/12. Se il denominatore non ha un 9 per ogni cifra del periodo, qualcosa è andato storto.
Casi che meritano attenzione
Con la parte intera non serve separarla: entra nei due numeri da sottrarre, come il 2045 e il 20 di 2,04̅5̅. Con il segno meno la calcolatrice trova la frazione del valore senza segno e lo applica alla fine, perciò −0,7̅ dà −7/9.
Il caso di 0,9̅ sorprende: la sottrazione dà 9x = 9, quindi 0,9̅ = 1. Ogni decimale con periodo 9 equivale a uno limitato, ed è per questo che la calcolatrice non restituisce mai una frazione «quasi uguale». Se invece il tuo decimale ha una cifra in più o in meno, è un altro numero. Il periodo non si indovina: 0,1666 può essere limitato o continuare con qualsiasi cifra, e solo le parentesi lo dicono. La voce numero decimale periodico di Wikipedia in italiano descrive la stessa regola dei nove e degli zeri (consultata il 16 ottobre 2026).
Quale pagina usare in base al tuo decimale
Ogni tipo di numero ha il suo strumento, e conviene scegliere lo strumento che richiede meno modifiche al numero che hai. La tabella riassume i quattro casi.
| Hai | Esempio | Usa |
|---|---|---|
| Periodo segnato | 0,416̅ | Questa pagina |
| Decimale limitato | 0,375 | Da decimale a frazione |
| Decimale arrotondato di una misura | 0,3333 | Approssimare un decimale con una frazione |
| Una frazione, per vederne il decimale | 5/12 | Da frazione a decimale |
La frazione generatrice esce già ridotta ai minimi termini. Se vuoi vedere come si riduce una frazione come 75/900, lo strumento per semplificare le frazioni mostra il MCD. Quando il risultato è una frazione impropria, la conversione in numero misto lo riscrive, e per esercitarti a mano puoi usare la guida tabella di frazioni, decimali e percentuali. OpenStax presenta i decimali limitati e periodici come numeri razionali in una pagina in inglese (consultata il 16 ottobre 2026).
Domande frequenti
Perché 0,(9) è uguale a 1?
Se x = 0,999…, allora 10x = 9,999…, e sottraendo resta 9x = 9, quindi x = 1. Non c’è arrotondamento: tra 0,999… e 1 non c’è nessun altro numero. La guida sui decimali limitati e periodici sviluppa questa dimostrazione e altre due.
Cosa succede se scrivo 0,333 senza parentesi?
Viene letto come un decimale limitato di tre cifre, che vale 333/1000, e non come 1/3. Se il decimale non si ripete, la conversione è un altro compito: usa da decimale a frazione. Per indicare la ripetizione infinita bisogna segnarla, come in 0,(3).
Quali frazioni danno un decimale periodico?
Quelle irriducibili il cui denominatore ha almeno un fattore primo diverso da 2 e da 5. Per questo 7/30 dà un periodo, mentre 3/40 si ferma a 0,075. La guida sulle frazioni con decimale limitato spiega il criterio con altri casi.
Un numero come √2 = 1,41421… ha una frazione generatrice?
No. Un decimale illimitato in cui nessun blocco si ripete è irrazionale e non si può scrivere come rapporto di due interi. Lo stesso vale per π. La frazione generatrice esiste solo per i decimali limitati e per i periodici.
Come controllo il risultato?
Dividi il numeratore per il denominatore e guarda se ricompare il decimale di partenza. Per 5/12 la divisione dà 0,41666…, ossia 0,41(6). Lo strumento da frazione a decimale esegue la divisione e segna il periodo che trova.