Saisissez un nombre décimal et fixez le plus grand dénominateur que vous acceptez : l’outil renvoie la fraction la plus proche et la distance qui la sépare du décimal. Si vous avez besoin de la même valeur que le décimal, utilisez décimal en fraction. Ici, vous acceptez que la fraction diffère un peu, en échange d’une écriture courte.
Exemple résolu : 0,333 avec un dénominateur maximal de 100
Une mesure arrondie indique 0,333. Quelle fraction de dénominateur au plus 100 lui ressemble le plus ?
- Écrivez le décimal sous forme de fraction. 0,333 = 333/1000.
- Cherchez la fraction la plus proche, de dénominateur au plus 100. La meilleure est 1/3.
- Calculez l’écart. 1/3 − 333/1000 = 1000/3000 − 999/3000 = 1/3000.
Résultat : 1/3, avec un écart de 1/3000, soit environ 0,000333 unité.
Vérification : 3 × 0,333 = 0,999, presque 1 mais pas 1. Ce millième qui manque, réparti en trois parts, donne le 1/3000.
Approcher n’est pas convertir
Convertir un nombre décimal donne une fraction de même valeur, dont le dénominateur est toujours une puissance de 10 avant simplification. Approcher change la valeur volontairement, et c’est pourquoi l’écart fait partie de la réponse. Écrire 0,333 = 1/3 sans autre précision est la confusion la plus fréquente ; on la corrige en vérifiant le produit.
Ce que l’outil appelle la « meilleure » fraction
La meilleure fraction est celle qui est la plus proche du décimal parmi toutes celles dont le dénominateur est inférieur ou égal au maximum N. Le résultat est le même que si l’on essayait un à un tous les dénominateurs de 1 à N.
Pour ne pas tous les parcourir, on développe le décimal en fraction continue et l’on compare deux candidates : la dernière réduite autorisée et la plus grande réduite intermédiaire qui respecte la limite. Avec 3,14159 et N = 100, la réduite est 22/7 et la réduite intermédiaire est 311/99, qui est plus de sept fois plus proche. Vous pouvez afficher les réduites de n’importe quelle fraction avec l’outil fractions continues.
Comment choisir le dénominateur maximal
Choisissez le plus petit maximum dont l’écart vous convient. L’augmenter réduit l’écart, mais la fraction devient plus difficile à lire ; le tableau montre ce que l’on gagne à chaque étape avec le décimal 3,14159.
| Dénominateur maximal | Meilleure fraction | Écart en fraction | Écart approché |
|---|---|---|---|
| 10 | 22/7 | 887/700000 | ≈ 0,00127 |
| 100 | 311/99 | 1741/9900000 | ≈ 0,000176 |
| 1000 | 355/113 | 33/11300000 | ≈ 0,0000029 |
Passer du maximum 10 au maximum 1000 réduit l’écart d’environ 430 fois, au prix d’un dénominateur à trois chiffres. Aucune de ces fractions n’est égale à π, qui est irrationnel : le tableau approche le décimal 3,14159, qui est déjà une fraction, 314159/100000. L’histoire de 355/113 et d’autres fractions proches de π se trouve dans fractions qui approchent π.
Tolérance : quand la meilleure fraction ne suffit pas
En mode tolérance, vous fixez l’écart maximal que vous acceptez. L’outil cherche d’abord la meilleure fraction sous le maximum, puis vérifie si son écart respecte la tolérance. Avec 3,14159 et une tolérance de 0,001, le maximum 10 donne 22/7, qui reste à 0,00127 et ne convient pas ; le maximum 100 donne 311/99 et convient.
Quand la tolérance n’est pas respectée, l’outil affiche « Limite atteinte » et montre quand même la meilleure fraction disponible, sans la présenter comme valable. La tolérance ne cherche pas la fraction la plus simple qui la respecte : il faut augmenter le dénominateur maximal jusqu’à ce que l’état change.
Trois cas à comparer
Les trois cas du tableau montrent ce qui se passe quand le décimal semble périodique, quand il a une partie entière et quand le maximum est trop petit.
| Décimal | Maximum | Fraction | Écart |
|---|---|---|---|
| 0,142857 | 10 | 1/7 | 1/7000000 |
| 1,414 | 20 | 24/17 | 19/8500 |
| 0,4 | 2 | 1/2 | 1/10 |
Le premier s’arrête, même s’il rappelle 1/7 (pour un vrai décimal périodique, il y a la fraction génératrice), et c’est pourquoi l’on obtient un écart minuscule plutôt que zéro. Le deuxième a une partie entière et donne 24/17, à 19/8500. Le troisième montre qu’un maximum très bas donne un grand écart, signe qu’il faut l’augmenter.
Autres pages selon votre besoin
- Si vous voulez la valeur exacte du décimal, décimal en fraction la conserve sans limite de dénominateur.
- Si le résultat doit être un multiple d’un pas fixe, comme les huitièmes, arrondir à la fraction la plus proche travaille avec ce pas.
Questions fréquentes
Quelle fraction l'outil choisit-il quand deux fractions sont à égale distance ?
Celle dont le dénominateur est le plus petit et, si les dénominateurs sont égaux aussi, celle dont le numérateur est le plus petit. Avec 0,45 et un maximum de 5, les candidates 2/5 et 1/2 sont toutes deux à 1/20, et l'outil renvoie 1/2. Si vous ne voulez pas laisser l'outil trancher, changez le maximum et comparez.
Peut-on approcher des décimaux négatifs ?
Oui. La recherche se fait sur la valeur absolue et le signe est rétabli à la fin : −0,28 avec un maximum de 10 donne −2/7, avec un écart de 1/175. Seules les égalités dépendent du signe, car entre deux candidates à égale distance, celle dont le numérateur est le plus petit l'emporte.
Le résultat peut-il être 0 ou un nombre entier ?
Oui, quand le maximum est très petit. Avec 0,3 et un maximum de 1, la meilleure option est 0, à 3/10, car 1 est à 7/10. Un entier est une fraction de dénominateur 1 et concourt comme n'importe quelle autre candidate.
Que se passe-t-il si le maximum dépasse le dénominateur du décimal ?
L'outil renvoie la valeur exacte du décimal, déjà simplifiée, et l'écart est 0. Avec 0,125 et un maximum de 50, on obtient 1/8, car 0,125 = 125/1000 se simplifie en 1/8, qui respecte la limite. Augmenter le maximum au-delà de ce point ne change rien.