La fraction 355/113 (dénominateur à trois chiffres) n’est qu’à ≈ 2,67 × 10⁻⁷ de π, soit environ 4740 fois plus près que 22/7 (≈ 1,26 × 10⁻³). Aucune fraction n’égale π, mais aucune fraction de dénominateur inférieur à 16 604 ne fait mieux. Vous voyez ici quelle fraction choisir selon le dénominateur que vous pouvez employer, et pourquoi celle à trois chiffres est si efficace.
La meilleure fraction selon le dénominateur maximal
« Meilleure » demande un critère. Ici, c’est la fraction d’erreur minimale dont le dénominateur ne dépasse pas une limite N. La réponse change par paliers, et l’outil pour approcher un décimal par une fraction fait cette recherche avec la limite que vous choisissez.
| Dénominateur maximal N | Meilleure fraction | Erreur par rapport à π |
|---|---|---|
| de 7 à 56 | 22/7 ≈ 3,142857 | ≈ 1,26 × 10⁻³, au-dessus |
| de 99 à 105 | 311/99 ≈ 3,141414 | ≈ 1,79 × 10⁻⁴, en dessous |
| de 106 à 112 | 333/106 ≈ 3,141509 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵, en dessous |
| de 113 à 16 603 | 355/113 ≈ 3,141593 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷, au-dessus |
| de 33 102 à 33 214 | 103993/33102 ≈ 3,14159265 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰, en dessous |
Le tableau laisse de côté les limites de 1 à 6 et de 57 à 98. Entre 57 et 98, ce sont des fractions intermédiaires comme 289/92 qui l’emportent, et entre 99 et 105, c’est 311/99, qui n’est pas une réduite de π. Le palier de 355/113 est très long : sur plus de 16 000 dénominateurs possibles, rien ne l’améliore de façon sensible. La suivante qui la dépasse, 52163/16604, ne fait passer l’erreur que de ≈ 2,668 × 10⁻⁷ à ≈ 2,662 × 10⁻⁷. Entre 16 604 et 33 101, d’autres fractions l’emportent, et pour N = 33 101 la meilleure est 103638/32989 (erreur ≈ 1,49 × 10⁻⁹), pas 103993/33102, qui n’entre qu’à N = 33 102. Elle ne reste pas non plus la meilleure : à partir de N = 33 215, 104348/33215 la dépasse, avec une erreur de ≈ 3,32 × 10⁻¹⁰.
L’écart entre les deux plus connues
On peut soustraire ces deux fractions exactement, sans passer par π.
Exemple résolu : la distance entre les deux
De combien la fraction scolaire et celle de dénominateur 113 s'écartent-elles l'une de l'autre ?
- Cherchez le dénominateur commun. 7 et 113 n’ont aucun facteur commun, donc 7 × 113 = 791 convient.
- Convertissez. 22/7 = 2486/791 et l’autre, 2485/791.
- Soustrayez les numérateurs. 2486 − 2485 = 1.
La distance est 1/791 ≈ 0,00126.
Vérification : 3,142857 − 3,141593 = 0,001264, et 1 ÷ 791 ≈ 0,001264.
La différence 1/791 a aussi la forme 1 sur le produit des dénominateurs (7 × 113), mais la fraction scolaire et celle à trois chiffres ne sont pas des réduites voisines : 333/106 se trouve entre elles. En revanche, 355/113 et 333/106 le sont, et leur différence est donc 1/11978, avec 11 978 = 106 × 113. Comme la première est au-dessus de π et la seconde en dessous, π est pris entre les deux, et l’on sait ainsi que l’erreur de chacune est inférieure à cet écart.
Les réduites de π
Une réduite est ce qui reste quand on coupe la fraction continue de π, [3 ; 7, 15, 1, 292, …], et que l’on calcule la valeur du morceau. Les points de suspension indiquent que la chaîne ne s’arrête pas et ne se répète pas. La calculatrice de fractions continues fait cette coupe pour tout rationnel.
| Coefficients | Réduite | Erreur par rapport à π | Côté |
|---|---|---|---|
| [3] | 3 | ≈ 1,42 × 10⁻¹ | en dessous |
| [3 ; 7] | 22/7 | ≈ 1,26 × 10⁻³ | au-dessus |
| [3 ; 7, 15] | 333/106 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵ | en dessous |
| [3 ; 7, 15, 1] | 355/113 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷ | au-dessus |
| [3 ; 7, 15, 1, 292] | 103993/33102 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ | en dessous |
Les réduites tombent tantôt d’un côté de π, tantôt de l’autre, et l’erreur se réduit à chaque fois. Le passage de 333/106 à la suivante est le plus rentable, car l’erreur descend de ≈ 8,32 × 10⁻⁵ à ≈ 2,67 × 10⁻⁷ alors que le dénominateur grandit à peine, de 106 à 113.
Le 292 et la précision de la fraction à trois chiffres
L’erreur d’une réduite vaut à peu près 1 divisé par son dénominateur et par le suivant. Pour celle de dénominateur 113, le dénominateur suivant est celui de 103993/33102, et 1 ÷ (113 × 33 102) ≈ 2,67 × 10⁻⁷, ce qui coïncide avec l’erreur réelle. Un grand coefficient fait bondir le dénominateur suivant : avec le 292, on passe de 113 à 33 102, et c’est pourquoi la réduite précédente colle autant à π. Avec un petit coefficient, comme le 1 qui précède le 292, le dénominateur suivant croît peu et le gain est faible.
Côté mesures, un cercle de diamètre 1000 a une circonférence de 3141,592654 unités. Avec la fraction de dénominateur 113, on obtient 3141,592920, soit une différence de ≈ 0,000267. Avec la fraction scolaire, on obtient 3142,857143, qui dépasse d’environ 1,26.
3,14 est moins bon que la fraction scolaire
3,14 est la fraction 157/50, et on l’écrit tellement qu’il paraît plus fin qu’il ne l’est. Son erreur est de ≈ 1,59 × 10⁻³, supérieure à celle de la fraction scolaire (≈ 1,26 × 10⁻³). Il reste en dessous de π, alors que la fraction scolaire est au-dessus. Pour passer des décimaux aux fractions et inversement, il y a la conversion de fraction en décimal et celle de décimal en fraction. Elles transforment 3,14 en 157/50 exactement. Le guide sur les décimaux finis et périodiques explique pourquoi le décimal 3,(142857) de la fraction scolaire se répète et pourquoi celui de π ne se répète pas.
Aucune fraction n’est égale à π
Johann Heinrich Lambert a démontré que π est irrationnel, en 1761 selon Wikipédia en espagnol (qui donne aussi 1767 comme autre date). Irrationnel signifie qu’aucune fraction d’entiers n’est égale à π ; toute approximation a donc une erreur supérieure à zéro, et c’est pourquoi il faut écrire ≈ et non = entre l’une de ces fractions et π.
Wikipédia en espagnol rapporte qu’Archimède a placé π entre 3 10/71 et 3 1/7, c’est-à-dire entre 223/71 et la fraction scolaire. Le même article attribue à Zu Chongzhi les fractions 22/7 et celle de dénominateur 113, et précise que cette dernière n’a été égalée que plus de neuf siècles plus tard, au XVe siècle.
Laquelle choisir selon l’usage
Pour estimer de tête, 3 ou la fraction scolaire. Pour un calcul à la main avec six bonnes décimales, celle à trois chiffres. Pour un programme qui exige une fraction très précise, 103993/33102 (avec des dénominateurs jusqu’à 33 214 ; si vous en admettez davantage, 104348/33215 fait mieux). Si le résultat final doit être exact, laissez le symbole π dans l’expression au lieu de le remplacer. Un autre irrationnel qui s’approche aussi par des fractions est le nombre d’or, présenté dans l’article sur le nombre d’or et Fibonacci.
Cette page s’appuie sur l’article Número π, sections sur l’Antiquité classique, les mathématiques chinoises et le nombre irrationnel, de Wikipédia en espagnol (consulté le 16 octobre 2026).