Quand on divise chaque terme de la suite de Fibonacci par le précédent, on obtient les fractions 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8… et toutes s’approchent du nombre d’or φ ≈ 1,618034. Elles s’en approchent en alternant : l’une reste au-dessus de φ, la suivante en dessous. La différence de deux rapports consécutifs le montre avec une fraction exacte.
Les quotients de la suite de Fibonacci
La suite commence par 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 et chaque terme est la somme des deux précédents. La biographie de Fibonacci sur MacTutor situe son problème des lapins, qui engendre ces nombres, dans le Liber abaci, publié en 1202. Le quotient d’un terme par le précédent est un rapport, et écrit sous forme de fraction il garde sa valeur exacte.
| Rapport | Valeur décimale (≈) | Rapport − φ (≈) |
|---|---|---|
| 2/1 | 2,000000 | +0,381966 |
| 3/2 | 1,500000 | −0,118034 |
| 5/3 | 1,666667 | +0,048633 |
| 8/5 | 1,600000 | −0,018034 |
| 13/8 | 1,625000 | +0,006966 |
| 21/13 | 1,615385 | −0,002649 |
| 34/21 | 1,619048 | +0,001014 |
| 55/34 | 1,617647 | −0,000387 |
Le signe de la dernière colonne change à chaque ligne, et sa taille est multipliée à chaque pas par un peu plus du tiers (≈ 0,38 de la précédente). Les décimales sont des valeurs approchées, arrondies à six chiffres. Comme 21/13 vaut 1,615384… avec le bloc 615384 qui se répète, écrire 21/13 = 1,615385 serait une fausse égalité. Le guide des décimaux finis et périodiques explique cette différence.
Pourquoi les rapports alternent : la différence de deux rapports consécutifs
L’alternance vient de la soustraction de rapports consécutifs, avec un dénominateur commun. Un seul couple suffit pour voir le mécanisme.
Exemple résolu : 8/5 − 13/8
Soustrayez deux rapports de Fibonacci consécutifs et dites lequel des deux est le plus grand.
- Cherchez le dénominateur commun. Le plus petit commun multiple (PPCM) de 5 et 8 est 40.
- Convertissez. 8/5 = 64/40 et 13/8 = 65/40.
- Soustrayez les numérateurs. 64 − 65 = −1, donc la différence est −1/40.
- Interprétez le signe. Elle est négative, donc le second rapport est le plus grand.
La différence est −1/40 = −0,025.
Vérification. 1,6 − 1,625 = −0,025.
Les deux numérateurs diffèrent d’une unité, et ce n’est pas un hasard. Notons F(n) le terme de rang n de la suite : l’identité de Cassini dit que F(n+1)² − F(n) · F(n+2) = (−1)ⁿ. On en déduit que
F(n+1)/F(n) − F(n+2)/F(n+1) = (−1)ⁿ / (F(n) · F(n+1)).
Dans l’exemple, n = 5, F(5) = 5 et F(6) = 8, donc le dénominateur est 40 et le signe est négatif. Pour 21/13 et 34/21, on trouve −1/273 ; pour 34/21 et 55/34, on trouve +1/714. Le numérateur vaut toujours ±1 et son signe s’inverse à chaque pas : c’est pourquoi les rapports passent d’un côté de φ à l’autre. Comme le dénominateur grandit, les sauts se réduisent et φ reste pris entre deux rapports voisins.
D’où vient φ = (1 + √5)/2
Chaque rapport se déduit du précédent : F(n+2)/F(n+1) = 1 + 1/(F(n+1)/F(n)). Si les rapports s’approchent d’un nombre L, alors L = 1 + 1/L, c’est-à-dire L² = L + 1. Cette équation a une seule solution positive, φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034, et c’est la valeur vers laquelle tendent les rapports. La même égalité φ = 1 + 1/φ explique que φ soit irrationnel avec un développement très régulier, comme on le voit ci-dessous.
La fraction continue de φ n’est faite que de uns
Si vous remplacez φ au dénominateur de sa propre expression, encore et encore, vous obtenez φ = [1 ; 1, 1, 1, …] : une partie entière égale à 1 et une chaîne infinie de uns. Les réduites de cette fraction continue sont 1, 2, 3/2 et les autres rapports du tableau, exactement les rapports de Fibonacci. Vous pouvez développer n’importe lequel d’entre eux avec l’outil de fractions continues.
Wikipédia en français note que la fraction continue de φ a la plus petite valeur possible pour chacun de ses coefficients, 1, et que φ est le nombre qui s’approxime le plus mal par des rationnels. Le contraste avec π tient à la taille des coefficients : dans π = [3 ; 7, 15, 1, 292, …], le coefficient 292 fait de 355/113 une excellente approximation, comme le montrent les fractions qui approchent π. Pour φ, tous les coefficients valent 1, et aucun rapport ne fait un bond comparable. Pour chercher la fraction simple la plus proche d’une décimale donnée, utilisez la calculatrice pour approximer une décimale par une fraction.
Aucun rapport ne vaut exactement φ, car φ est irrationnel et tout rapport est un quotient d’entiers. Deux approximations qui s’approchent d’une limite par des côtés opposés apparaissent aussi dans la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, même si toutes les sommes partielles y restent en dessous.
À vous
- Calculez 3/2 − 5/3 et dites laquelle des deux fractions est la plus grande. Vérifiez ensuite le résultat avec la formule de Cassini.
- Calculez 89/55 − 144/89 sans passer par les décimales.
- Utilisez la calculatrice pour comparer des fractions avec 144/89 et 233/144. Laquelle se situe au-dessus de φ ?
Voir les réponses
- 3/2 − 5/3 = 9/6 − 10/6 = −1/6, donc 5/3 est la plus grande. Avec n = 3, F(3) = 2 et F(4) = 3, la formule donne (−1)³/(2 · 3) = −1/6.
- 89² = 7921 et 55 · 144 = 7920, donc le numérateur est 1 et le dénominateur 55 · 89 = 4895. La différence est 1/4895.
- 144/89 ≈ 1,617978 est en dessous de φ et 233/144 ≈ 1,618056 au-dessus. C’est le schéma du tableau, avec la différence 144/89 − 233/144 = −1/12816.
Sources
- Wikipédia en français, article Nombre d’or : relation φ − 1 = 1/φ, fraction continue dont tous les coefficients valent 1 et nombre qui s’approxime le plus mal par des rationnels (consulté le 17 octobre 2026).
- J. J. O’Connor et E. F. Robertson, Fibonacci, MacTutor History of Mathematics, université de St Andrews, en anglais : le Liber abaci de 1202 et le problème des lapins (consulté le 16 octobre 2026).