Teilt man jede Zahl der Fibonacci-Folge durch die vorherige, entstehen die Brüche 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8… und alle nähern sich dem Goldenen Schnitt φ ≈ 1,618034. Sie tun das im Wechsel: Ein Bruch liegt über φ, der nächste darunter. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Verhältnisse zeigt das als genauen Bruch.
Die Quotienten der Fibonacci-Folge
Die Folge beginnt 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, und jede Zahl ist die Summe der beiden vorherigen. Die Biografie von Fibonacci bei MacTutor ordnet sein Kaninchenproblem, das diese Zahlen erzeugt, dem Liber abaci zu, erschienen 1202. Der Quotient einer Zahl durch die vorherige ist ein Verhältnis, und als Bruch geschrieben behält er seinen genauen Wert.
| Verhältnis | Dezimalwert (≈) | Verhältnis − φ (≈) |
|---|---|---|
| 2/1 | 2,000000 | +0,381966 |
| 3/2 | 1,500000 | −0,118034 |
| 5/3 | 1,666667 | +0,048633 |
| 8/5 | 1,600000 | −0,018034 |
| 13/8 | 1,625000 | +0,006966 |
| 21/13 | 1,615385 | −0,002649 |
| 34/21 | 1,619048 | +0,001014 |
| 55/34 | 1,617647 | −0,000387 |
Das Vorzeichen der letzten Spalte wechselt in jeder Zeile, und der Betrag schrumpft mit jedem Schritt auf etwas mehr als ein Drittel des vorigen (≈ 0,38). Die Dezimalwerte sind auf sechs Stellen gerundete Näherungen. Weil 21/13 = 1,615384… ist, wobei sich der Block 615384 wiederholt, wäre 21/13 = 1,615385 eine falsche Gleichung. Der Ratgeber zu endlichen und periodischen Dezimalzahlen erklärt diesen Unterschied.
Warum die Verhältnisse wechseln: die Differenz zweier aufeinanderfolgender Verhältnisse
Der Wechsel folgt aus der Subtraktion aufeinanderfolgender Verhältnisse mit gemeinsamem Nenner. Ein einziges Paar genügt, um den Mechanismus zu sehen.
Rechenbeispiel: 8/5 − 13/8
Subtrahiere zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Verhältnisse und entscheide, welches von beiden größer ist.
- Gemeinsamen Nenner suchen. Das kgV von 5 und 8 ist 40.
- Umwandeln. 8/5 = 64/40 und 13/8 = 65/40.
- Zähler subtrahieren. 64 − 65 = −1, also ist die Differenz −1/40.
- Vorzeichen deuten. Sie ist negativ, das zweite Verhältnis ist also das größere.
Die Differenz ist −1/40 = −0,025.
Probe: 1,6 − 1,625 = −0,025.
Die beiden Zähler unterscheiden sich um eins, und das ist kein Zufall. Mit F(n) für das n-te Glied der Folge besagt die Cassini-Identität F(n+1)² − F(n) · F(n+2) = (−1)ⁿ. Daraus folgt
F(n+1)/F(n) − F(n+2)/F(n+1) = (−1)ⁿ / (F(n) · F(n+1)).
Im Beispiel ist n = 5, F(5) = 5 und F(6) = 8, der Nenner also 40 und das Vorzeichen negativ. Für 21/13 und 34/21 ergibt sich −1/273, für 34/21 und 55/34 ergibt sich +1/714. Der Zähler ist immer ±1 und sein Vorzeichen kehrt sich in jedem Schritt um, deshalb springen die Verhältnisse von einer Seite von φ auf die andere. Weil der Nenner wächst, werden die Sprünge kleiner, und φ bleibt zwischen zwei benachbarten Verhältnissen eingeschlossen.
Woher φ = (1 + √5)/2 kommt
Jedes Verhältnis entsteht aus dem vorigen: F(n+2)/F(n+1) = 1 + 1/(F(n+1)/F(n)). Nähern sich die Verhältnisse einer Zahl L, dann gilt L = 1 + 1/L, also L² = L + 1. Diese Gleichung hat eine positive Lösung, φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034, und auf diesen Wert laufen die Verhältnisse zu. Dieselbe Gleichung φ = 1 + 1/φ erklärt auch, warum φ irrational ist und eine sehr regelmäßige Entwicklung hat, wie der nächste Abschnitt zeigt.
Der Kettenbruch von φ besteht nur aus Einsen
Setzt du φ immer wieder in den eigenen Nenner ein, entsteht φ = [1; 1, 1, 1, …] mit ganzem Anteil 1 und einer unendlichen Kette von Einsen. Die Näherungsbrüche dieses Kettenbruchs sind 1, 2, 3/2 und die übrigen Verhältnisse der Tabelle, also genau die Fibonacci-Verhältnisse. Jedes davon kannst du im Kettenbruch-Rechner entwickeln.
Die deutsche Wikipedia beschreibt diesen Kettenbruch als den mit der langsamsten Konvergenz, sodass φ zu den Zahlen gehört, die sich am schlechtesten durch rationale Zahlen annähern lassen. Der Kontrast zu π liegt in der Größe der Koeffizienten: In π = [3; 7, 15, 1, 292, …] macht der Koeffizient 292 den Bruch 355/113 zu einer ausgezeichneten Näherung, wie der Beitrag Brüche, die π annähern zeigt. Bei φ sind alle Koeffizienten 1, und kein Verhältnis macht einen ähnlichen Sprung. Um zu einer Dezimalzahl den einfachsten nächstliegenden Bruch zu finden, nutze den Rechner Dezimalzahl durch Bruch annähern.
Kein Verhältnis ist genau φ, denn φ ist irrational und jedes Verhältnis ist ein Quotient ganzer Zahlen. Zwei Näherungen, die sich von entgegengesetzten Seiten einem Grenzwert nähern, kommen auch in der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + … vor, nur liegen dort alle Teilsummen darunter.
Übung
- Subtrahiere 3/2 − 5/3 und sag, welcher Bruch größer ist. Prüfe das Ergebnis danach mit der Cassini-Formel.
- Berechne 89/55 − 144/89, ohne Dezimalzahlen zu benutzen.
- Nimm den Rechner zum Vergleichen von Brüchen mit 144/89 und 233/144. Welcher liegt über φ?
Antworten anzeigen
- 3/2 − 5/3 = 9/6 − 10/6 = −1/6, also ist 5/3 größer. Mit n = 3, F(3) = 2 und F(4) = 3 liefert die Formel (−1)³/(2 · 3) = −1/6.
- 89² = 7921 und 55 · 144 = 7920, der Zähler ist also 1 und der Nenner 55 · 89 = 4895. Die Differenz ist 1/4895.
- 144/89 ≈ 1,617978 liegt unter φ und 233/144 ≈ 1,618056 darüber. Das ist das Muster der Tabelle, mit der Differenz 144/89 − 233/144 = −1/12816.
Quellen
- Wikipedia (deutsch), Artikel Goldener Schnitt: Wert von φ, Grenzwert der Fibonacci-Verhältnisse, φ = 1 + 1/φ und Kettenbruch aus Einsen mit der langsamsten Konvergenz (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- J. J. O’Connor und E. F. Robertson, Fibonacci, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, auf Englisch: das Liber abaci von 1202 und das Kaninchenproblem (abgerufen am 17. Oktober 2026).