Ao dividir cada termo da sequência de Fibonacci pelo anterior, saem as frações 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8… e todas se aproximam do número de ouro φ ≈ 1,618034. A aproximação é alternada: uma fica acima de φ e a seguinte abaixo. A subtração de duas razões seguidas mostra isso com uma fração exata.
Os quocientes da sequência de Fibonacci
A sequência começa 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 e cada termo é a soma dos dois anteriores. A biografia de Fibonacci no MacTutor situa o problema dos coelhos, que gera esses números, no Liber abaci, publicado em 1202. O quociente de um termo pelo anterior é uma razão e, escrita como fração, conserva seu valor exato.
| Razão | Valor decimal (≈) | Razão − φ (≈) |
|---|---|---|
| 2/1 | 2,000000 | +0,381966 |
| 3/2 | 1,500000 | −0,118034 |
| 5/3 | 1,666667 | +0,048633 |
| 8/5 | 1,600000 | −0,018034 |
| 13/8 | 1,625000 | +0,006966 |
| 21/13 | 1,615385 | −0,002649 |
| 34/21 | 1,619048 | +0,001014 |
| 55/34 | 1,617647 | −0,000387 |
O sinal da última coluna muda a cada linha e seu tamanho cai, a cada passo, para pouco mais de um terço (≈ 0,38 do anterior). Os decimais são aproximações arredondadas em seis casas. Como 21/13 é 1,615384… com o bloco 615384 se repetindo, escrever 21/13 = 1,615385 seria uma falsa igualdade. O guia de decimais exatos e periódicos explica essa diferença.
Por que as razões alternam: a subtração de duas razões seguidas
A alternância sai de subtrair razões consecutivas com denominador comum. Um único par basta para ver o mecanismo.
Exemplo resolvido: 8/5 − 13/8
Subtraia duas razões de Fibonacci seguidas e decida qual das duas é maior.
- Ache o denominador comum. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 5 e 8 é 40.
- Converta. 8/5 = 64/40 e 13/8 = 65/40.
- Subtraia os numeradores. 64 − 65 = −1, então a diferença é −1/40.
- Interprete o sinal. É negativa, logo a segunda razão é a maior.
A diferença é −1/40 = −0,025.
Conferência. 1,6 − 1,625 = −0,025.
Os dois numeradores diferem em uma unidade, e isso não é por acaso. Com F(n) para o termo n da sequência, a identidade de Cassini diz que F(n+1)² − F(n) · F(n+2) = (−1)ⁿ. Daí que
F(n+1)/F(n) − F(n+2)/F(n+1) = (−1)ⁿ / (F(n) · F(n+1)).
No exemplo, n = 5, F(5) = 5 e F(6) = 8, então o denominador é 40 e o sinal é negativo. Para 21/13 e 34/21 a diferença é −1/273, e para 34/21 e 55/34 é +1/714. O numerador vale sempre ±1 e seu sinal se inverte a cada passo, por isso as razões saltam de um lado de φ para o outro. Como o denominador cresce, os saltos encolhem e φ fica preso entre duas razões vizinhas.
De onde sai φ = (1 + √5)/2
Cada razão se obtém da anterior: F(n+2)/F(n+1) = 1 + 1/(F(n+1)/F(n)). Se as razões se aproximam de um número L, então L = 1 + 1/L, ou seja, L² = L + 1. Essa equação tem uma solução positiva, φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034, e é o valor para o qual as razões apontam. A mesma igualdade φ = 1 + 1/φ explica que φ seja irracional e tenha um desenvolvimento muito regular, como se vê a seguir.
A fração contínua de φ é feita só de uns
Se φ for substituído dentro do próprio denominador, uma vez após outra, aparece φ = [1; 1, 1, 1, …], com parte inteira 1 e uma cadeia infinita de uns. Os convergentes dessa fração contínua são 1, 2, 3/2 e as demais razões da tabela, exatamente as razões de Fibonacci. Qualquer uma delas pode ser expandida na ferramenta de frações contínuas.
A Wikipédia em espanhol apresenta essa fração contínua como a mais simples de todas e observa que ela dá a convergência mais lenta, de modo que φ é o número pior aproximável por racionais. O contraste com π se explica pelo tamanho dos coeficientes: em π = [3; 7, 15, 1, 292, …] o coeficiente 292 faz de 355/113 uma aproximação excelente, como contam as frações que aproximam π. Em φ todos os coeficientes são 1, e nenhuma razão dá um salto parecido. Para buscar a fração simples mais próxima de um decimal dado, use a calculadora de aproximar um decimal por fração.
Nenhuma razão vale exatamente φ, porque φ é irracional e toda razão é um quociente de inteiros. Duas aproximações que se aproximam por lados opostos de um limite aparecem também na série 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, embora ali todas as somas parciais fiquem abaixo.
Pratique
- Subtraia 3/2 − 5/3 e diga qual é maior. Depois confira o resultado com a fórmula de Cassini.
- Calcule 89/55 − 144/89 sem passar para decimais.
- Use a calculadora para comparar frações com 144/89 e 233/144. Qual fica acima de φ?
Ver as respostas
- 3/2 − 5/3 = 9/6 − 10/6 = −1/6, logo 5/3 é maior. Com n = 3, F(3) = 2 e F(4) = 3, a fórmula dá (−1)³/(2 · 3) = −1/6.
- 89² = 7921 e 55 · 144 = 7920, então o numerador é 1 e o denominador é 55 · 89 = 4895. A diferença é 1/4895.
- 144/89 ≈ 1,617978 fica abaixo de φ e 233/144 ≈ 1,618056 fica acima. É o padrão da tabela, com a subtração 144/89 − 233/144 = −1/12816.
Fontes
- Wikipédia em espanhol, artigo Número áureo: valor de φ, limite das razões de Fibonacci com alternância acima e abaixo, φ = 1 + 1/φ e fração contínua de uns com a convergência mais lenta (consultado em 16 de outubro de 2026).
- J. J. O’Connor e E. F. Robertson, Fibonacci, MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews, em inglês: o Liber abaci de 1202 e o problema dos coelhos (consultado em 16 de outubro de 2026).