A soma das metades sucessivas de uma pista vale exatamente 1, mesmo com infinitas parcelas. É a resposta matemática à dicotomia de Zenão: cada trecho mede metade do anterior e, juntos, cobrem a distância inteira. Para conferir somas parciais com resultado exato, serve a calculadora de somar frações. O que a soma não encerra é a discussão filosófica, e mais abaixo as duas coisas ficam separadas.
Dois paradoxos que costumam se misturar
Zenão de Eleia, filósofo grego do século V a.C., discípulo de Parmênides, ficou conhecido por argumentos contra o movimento. Os enunciados de seus quatro argumentos sobre o movimento (a dicotomia, Aquiles e a tartaruga, a flecha e o estádio) foram conservados sobretudo pela Física de Aristóteles (VI.9), com contribuições de Simplício e Platão.
Na dicotomia, para percorrer uma distância é preciso chegar antes à metade, depois à metade do que resta, e assim sem fim. Em Aquiles e a tartaruga, o corredor veloz dá vantagem à lenta e, quando chega ao ponto onde ela estava, ela já avançou um pouco mais. Aristóteles trata os dois quase como um só, embora haja autores que defendam que a estrutura é diferente. Ambos levam a uma soma de infinitos trechos cada vez mais curtos, e por isso as frações servem para estudá-los.
A dicotomia com frações
Cada trecho é uma fração unitária da distância total. Uma soma parcial é o que já foi percorrido depois de n trechos.
Exemplo resolvido: seis trechos da dicotomia
Um corredor avança metade da pista, depois metade do que resta, e repete isso seis vezes no total. Que parte da pista já foi percorrida e quanto falta?
- Escreva cada trecho como fração. São 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 e 1/64 da pista.
- Escolha o denominador comum. O maior denominador, 64, é múltiplo dos demais, então os trechos passam a 32/64, 16/64, 8/64, 4/64, 2/64 e 1/64.
- Some os numeradores. 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63.
- Calcule o que falta. 1 − 63/64 = 1/64.
Resultado: já foram percorridos 63/64 da pista e falta 1/64.
Conferência: o que falta é igual ao último trecho percorrido, e cada trecho novo cobre justamente metade do que faltava.
A regra que sai daqui é que, após n trechos, a soma parcial é (2ⁿ − 1)/2ⁿ e a diferença que falta para 1 é 1 sobre 2ⁿ.
| n | Soma parcial | Falta até 1 | Falta em decimal |
|---|---|---|---|
| 3 | 7/8 | 1/8 | 0,125 |
| 4 | 15/16 | 1/16 | 0,0625 |
| 6 | 63/64 | 1/64 | 0,015625 |
| 10 | 1023/1024 | 1/1024 | 0,0009765625 |
O que falta nunca vale zero em um número finito de passos, mas fica menor que qualquer quantidade que se escolha. Na reta numérica, os pontos da coluna central se amontoam junto ao 1 sem ultrapassá-lo.
Por que infinitas parcelas podem dar um total finito
Uma soma infinita é definida como o limite de suas somas parciais. Aqui, o que falta se aproxima de 0 quando n cresce, então as somas parciais se aproximam de 1 e o limite é 1. Infinitas parcelas não significam quantidade infinita quando cada uma é uma fração fixa da anterior.
Esse padrão se chama série geométrica: um primeiro termo a e uma razão r que multiplica cada passo. Se −1 < r < 1, a soma total é a/(1 − r). A série de Zenão tem a igual à metade e r igual à metade, e dá 1. Com a = 1/3 e r = 1/3 sai (1/3)/(2/3), que é a metade, e as somas parciais 1/3, 4/9 e 13/27 se aproximam desse valor. Se r vale 1 ou mais, os termos não diminuem e a soma cresce sem limite.
Aquiles e a tartaruga com números
A versão de Aquiles também é uma série geométrica. Suponha que a tartaruga comece 100 m à frente, Aquiles corra a 10 m/s e a tartaruga a 1 m/s. Aquiles percorre primeiro 100 m, enquanto a tartaruga avança 10 m. Depois percorre esses 10 m, e a tartaruga avança 1 m, e assim por diante.
Os trechos de Aquiles são 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m e assim sucessivamente, com a = 100 e r = 1/10. A soma é 100 ÷ (1 − 1/10) = 1000/9 m, cerca de 111,1 m (o erro do arredondamento é menor que 0,05 m). O tempo se calcula do mesmo modo: 10 s + 1 s + 0,1 s + … soma 100/9 s, cerca de 11,1 s (erro menor que 0,05 s). Uma conferência sem séries confirma. Aquiles se aproxima 9 m a cada segundo e a vantagem é de 100 m, logo leva 100/9 s e, nesse tempo, percorre 10 · 100/9 = 1000/9 m.
O que a matemática resolve e o que fica em aberto
A soma da série demonstra que a distância e o tempo totais são finitos e que Aquiles de fato alcança a tartaruga. O cálculo vai até aí. Outra coisa é a objeção filosófica: Zenão pode replicar que a soma é construída trecho a trecho e que essa conta nunca termina, ou que é construída pela ponta errada. A biografia do MacTutor assinala que a série, por si só, não responde à dicotomia por esse motivo, e a Wikipédia em espanhol registra que o debate sobre se os paradoxos estão resolvidos continua. Esta página afirma apenas o resultado matemático.
Uma série irmã: 0,999… = 1
Com a = 9/10 e r = 1/10, a série 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … vale (9/10) ÷ (1 − 1/10) = 1. Suas somas parciais são 0,9, 0,99 e 0,999, e o que falta é 1/10ⁿ. Por isso a dízima periódica 0,(9) é outra forma de escrever 1; o guia de decimais exatos e periódicos explica isso e a calculadora de dízima periódica para fração a converte em fração. Outro caso de aproximação a um limite, desta vez pelos dois lados, são as razões de Fibonacci e o número de ouro.
Pratique
- Calcule 1/6 + 1/36 + 1/216 + … com a fórmula a/(1 − r).
- A tartaruga começa 50 m à frente, Aquiles corre a 10 m/s e ela a 2 m/s. Quantos metros Aquiles percorre até alcançá-la?
Ver as respostas
- 1/5, porque a = 1/6, r = 1/6 e (1/6) ÷ (5/6) = 1/5. Conferência: 1/6 + 1/36 = 7/36 já supera 0,19 e 1/5 = 0,2.
- 62,5 m. Os trechos são 50 + 10 + 2 + …, com razão de um quinto, e 50 ÷ (1 − 1/5) = 125/2. Conferência: ele se aproxima 8 m a cada segundo, leva 50/8 = 6,25 s e percorre 10 · 6,25 = 62,5 m.
Fontes
- Wikipédia em espanhol, artigo Paradojas de Zenón: enunciado da dicotomia e de Aquiles, citação da Física VI.9 de Aristóteles, resolução com séries convergentes e debate filosófico ainda aberto (consultado em 17 de outubro de 2026).
- J. J. O’Connor e E. F. Robertson, Zeno of Elea, MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews, em inglês: Parmênides, os quatro argumentos que Aristóteles apresenta na Física e por que a soma das metades não encerra a dicotomia (consultado em 17 de outubro de 2026).