La suma de las mitades sucesivas de una pista vale exactamente 1, aunque tenga infinitos sumandos. Es la respuesta matemática a la dicotomía de Zenón: cada tramo mide la mitad del anterior y, juntos, recorren la distancia entera. Para comprobar sumas parciales con resultado exacto sirve la calculadora de sumar fracciones. Lo que la suma no cierra es la discusión filosófica, y más abajo se separan las dos cosas.
Dos paradojas que suelen mezclarse
Zenón de Elea, filósofo griego del siglo V a. C., discípulo de Parménides, es conocido por argumentos contra el movimiento. Los enunciados de sus cuatro argumentos sobre el movimiento (la dicotomía, Aquiles y la tortuga, la flecha y el estadio) los conserva sobre todo la Física de Aristóteles (VI.9), con aportes de Simplicio y Platón.
En la dicotomía, para recorrer una distancia hay que llegar antes a la mitad, luego a la mitad de lo que queda, y así sin fin. En Aquiles y la tortuga, el corredor veloz da ventaja a la lenta y, cuando llega al punto donde ella estaba, ella ya ha avanzado un poco más. Aristóteles las trata casi como una sola, aunque hay autores que defienden que su estructura es distinta. Las dos conducen a una suma de infinitos tramos cada vez más cortos, y por eso las fracciones sirven para estudiarlas.
La dicotomía con fracciones
Cada tramo es una fracción unitaria de la distancia total. Una suma parcial es lo que llevas recorrido después de n tramos.
Ejemplo resuelto: seis tramos de la dicotomía
Un corredor avanza la mitad de la pista, luego la mitad de lo que queda, y repite seis veces en total. ¿Qué parte de la pista lleva recorrida y cuánto le falta?
- Escribe cada tramo como fracción. Son 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 y 1/64 de la pista.
- Elige el denominador común. El mayor denominador, 64, es múltiplo de los demás, así que los tramos pasan a 32/64, 16/64, 8/64, 4/64, 2/64 y 1/64.
- Suma los numeradores. 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63.
- Calcula lo que falta. 1 − 63/64 = 1/64.
Resultado: lleva 63/64 de la pista y le falta 1/64.
Comprobación: lo que falta es igual al último tramo recorrido, y cada tramo nuevo cubre justo la mitad de lo que faltaba.
La regla que sale de aquí es que, tras n tramos, la suma parcial es (2ⁿ − 1)/2ⁿ y el hueco es 1 sobre 2ⁿ.
| n | Suma parcial | Hueco hasta 1 | Hueco en decimal |
|---|---|---|---|
| 3 | 7/8 | 1/8 | 0,125 |
| 4 | 15/16 | 1/16 | 0,0625 |
| 6 | 63/64 | 1/64 | 0,015625 |
| 10 | 1023/1024 | 1/1024 | 0,0009765625 |
El hueco nunca vale cero en un número finito de pasos, pero se hace menor que cualquier cantidad que elijas. En la recta numérica los puntos de la columna central se amontonan junto al 1 sin pasarlo.
Por qué infinitos sumandos pueden dar un total finito
Una suma infinita se define como el límite de sus sumas parciales. Aquí el hueco se acerca a 0 al crecer n, así que las sumas parciales se acercan a 1 y el límite es 1. Infinitos sumandos no significan una cantidad infinita cuando cada uno es una fracción fija del anterior.
Este patrón se llama serie geométrica: un primer término a y una razón r que multiplica cada paso. Si −1 < r < 1, la suma total es a/(1 − r). La serie de Zenón tiene a igual a la mitad y r igual a la mitad, y da 1. Con a = 1/3 y r = 1/3 sale (1/3)/(2/3), que es la mitad, y las sumas parciales 1/3, 4/9 y 13/27 se acercan a ese valor. Si r vale 1 o más, los términos no se reducen y la suma crece sin tope.
Aquiles y la tortuga con números
La versión de Aquiles también es una serie geométrica. Supón que la tortuga empieza 100 m por delante, Aquiles corre a 10 m/s y la tortuga a 1 m/s. Aquiles recorre primero 100 m, mientras la tortuga avanza 10 m. Luego recorre esos 10 m, y la tortuga avanza 1 m, y así sucesivamente.
Los tramos de Aquiles son 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m y así sucesivamente, con a = 100 y r = 1/10. La suma es 100 ÷ (1 − 1/10) = 1000/9 m, unos 111,1 m (el error del redondeo es menor que 0,05 m). El tiempo se calcula igual: 10 s + 1 s + 0,1 s + … suma 100/9 s, unos 11,1 s (error menor que 0,05 s). Una comprobación sin series lo confirma. Aquiles se acerca 9 m cada segundo y la ventaja es de 100 m, luego tarda 100/9 s, y en ese tiempo recorre 10 · 100/9 = 1000/9 m.
Qué resuelve la matemática y qué queda abierto
La suma de la serie demuestra que la distancia y el tiempo totales son finitos, y que Aquiles sí alcanza a la tortuga. Hasta ahí llega el cálculo. Otra cosa es la objeción filosófica: Zenón puede replicar que la suma se construye tramo a tramo y que esa cuenta nunca llega a terminarse, o que se construye desde el extremo equivocado. La biografía de MacTutor señala que la serie por sí sola no responde a la dicotomía por este motivo, y la Wikipedia en español recoge que el debate sobre si las paradojas están resueltas continúa. Esta página solo afirma el resultado matemático.
Una serie hermana: 0,999… = 1
Con a = 9/10 y r = 1/10 la serie 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … vale (9/10) ÷ (1 − 1/10) = 1. Sus sumas parciales son 0,9, 0,99 y 0,999, y el hueco es 1/10ⁿ. Por eso el decimal periódico 0,(9) es otra forma de escribir 1; la guía de decimales exactos y periódicos lo explica y la calculadora de fracción generatriz lo convierte en fracción. Otro caso de aproximación a un límite, esta vez desde los dos lados, son las razones de Fibonacci y el número áureo.
Practica
- Calcula 1/6 + 1/36 + 1/216 + … con la fórmula a/(1 − r).
- La tortuga empieza 50 m por delante, Aquiles corre a 10 m/s y ella a 2 m/s. ¿Cuántos metros recorre Aquiles hasta alcanzarla?
Ver las respuestas
- 1/5, porque a = 1/6, r = 1/6 y (1/6) ÷ (5/6) = 1/5. Comprobación: 1/6 + 1/36 = 7/36 ya supera 0,19 y 1/5 = 0,2.
- 62,5 m. Los tramos son 50 + 10 + 2 + …, con razón de una quinta parte, y 50 ÷ (1 − 1/5) = 125/2. Comprobación: se acerca 8 m cada segundo, tarda 50/8 = 6,25 s y recorre 10 · 6,25 = 62,5 m.
Fuentes
- Wikipedia en español, artículo Paradojas de Zenón: enunciado de la dicotomía y de Aquiles, cita de la Física VI.9 de Aristóteles, resolución con series convergentes y debate filosófico aún abierto (consultado el 16 de octubre de 2026).
- J. J. O’Connor y E. F. Robertson, Zeno of Elea, MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews, en inglés: Parménides, que Aristóteles en su Física da cuatro de los argumentos y por qué la suma de las mitades no zanja la dicotomía (consultado el 16 de octubre de 2026).