La somme des moitiés successives d’une piste vaut exactement 1, même avec une infinité de termes. C’est la réponse mathématique à la dichotomie de Zénon : chaque tronçon mesure la moitié du précédent et, mis bout à bout, ils couvrent toute la distance. Pour vérifier des sommes partielles avec un résultat exact, la calculatrice pour additionner des fractions convient. Ce que la somme ne règle pas, c’est la discussion philosophique, et la suite sépare les deux questions.
Deux paradoxes que l’on mélange souvent
Zénon d’Élée, philosophe grec du Ve siècle av. J.-C. et disciple de Parménide, est connu pour ses arguments contre le mouvement. Les énoncés de ses quatre arguments sur le mouvement (la dichotomie, Achille et la tortue, la flèche et le stade) nous viennent surtout de la Physique d’Aristote (VI, 9), avec des apports de Simplicius et de Platon.
Dans la dichotomie, pour parcourir une distance, il faut d’abord atteindre la moitié, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi sans fin. Dans Achille et la tortue, le coureur rapide laisse de l’avance à la lente et, quand il arrive à l’endroit où elle se trouvait, elle a déjà avancé un peu plus loin. Aristote les traite presque comme une seule, même si certains auteurs soutiennent que leur structure est différente. Toutes deux mènent à une somme d’une infinité de tronçons de plus en plus courts, et c’est pourquoi les fractions permettent de les étudier.
La dichotomie avec des fractions
Chaque tronçon est une fraction unitaire de la distance totale. Une somme partielle est ce que vous avez parcouru après n tronçons.
Exemple résolu : six tronçons de la dichotomie
Un coureur avance de la moitié de la piste, puis de la moitié de ce qui reste, et recommence six fois en tout. Quelle part de la piste a-t-il parcourue et combien lui reste-t-il ?
- Écrivez chaque tronçon sous forme de fraction. Ce sont 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 de la piste.
- Choisissez le dénominateur commun. Le plus grand dénominateur, 64, est un multiple des autres, donc les tronçons deviennent 32/64, 16/64, 8/64, 4/64, 2/64 et 1/64.
- Additionnez les numérateurs. 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63.
- Calculez ce qui reste. 1 − 63/64 = 1/64.
Résultat : il a parcouru 63/64 de la piste et il lui reste 1/64.
Vérification : ce qui reste est égal au dernier tronçon parcouru, et chaque nouveau tronçon couvre exactement la moitié de ce qui restait.
La règle qui s’en dégage est qu’après n tronçons, la somme partielle vaut (2ⁿ − 1)/2ⁿ et le reste vaut 1 sur 2ⁿ.
| n | Somme partielle | Reste jusqu'à 1 | Reste en décimal |
|---|---|---|---|
| 3 | 7/8 | 1/8 | 0,125 |
| 4 | 15/16 | 1/16 | 0,0625 |
| 6 | 63/64 | 1/64 | 0,015625 |
| 10 | 1023/1024 | 1/1024 | 0,0009765625 |
Le reste ne vaut jamais zéro en un nombre fini d’étapes, mais il devient plus petit que n’importe quelle quantité que vous choisissez. Sur la droite graduée, les points de la colonne centrale s’entassent près de 1 sans le dépasser.
Pourquoi une infinité de termes peut donner un total fini
Une somme infinie se définit comme la limite de ses sommes partielles. Ici, le reste se rapproche de 0 quand n grandit, donc les sommes partielles se rapprochent de 1 et la limite est 1. Une infinité de termes ne donne pas une quantité infinie quand chacun est une fraction fixe du précédent.
Ce schéma s’appelle une série géométrique : un premier terme a et une raison r qui multiplie chaque étape. Si −1 < r < 1, la somme totale vaut a/(1 − r). La série de Zénon a pour a un demi et pour r un demi, et donne 1. Avec a = 1/3 et r = 1/3, on obtient (1/3)/(2/3), soit un demi, et les sommes partielles 1/3, 4/9 et 13/27 s’approchent de cette valeur. Si r vaut 1 ou plus, les termes ne diminuent pas et la somme croît sans limite.
Achille et la tortue en chiffres
La version d’Achille est aussi une série géométrique. Supposons que la tortue démarre 100 m devant, qu’Achille court à 10 m/s et la tortue à 1 m/s. Achille parcourt d’abord 100 m, pendant que la tortue avance de 10 m. Puis il parcourt ces 10 m, et la tortue avance de 1 m, et ainsi de suite.
Les tronçons d’Achille sont 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m et ainsi de suite, avec a = 100 et r = 1/10. La somme est 100 ÷ (1 − 1/10) = 1000/9 m, soit environ 111,1 m (l’erreur d’arrondi est inférieure à 0,05 m). Le temps se calcule de la même façon : 10 s + 1 s + 0,1 s + … donne 100/9 s, soit environ 11,1 s (erreur inférieure à 0,05 s). Une vérification sans série le confirme. Achille rattrape 9 m chaque seconde sur la tortue et l’avance est de 100 m, donc il met 100/9 s, et pendant ce temps il parcourt 10 · 100/9 = 1000/9 m.
Ce que règlent les mathématiques et ce qui reste ouvert
La somme de la série montre que la distance et le temps totaux sont finis, et qu’Achille rattrape bien la tortue. Le calcul s’arrête là. L’objection philosophique est autre chose : Zénon peut répliquer que la somme se construit tronçon après tronçon et que ce décompte n’arrive jamais à son terme, ou qu’elle se construit par le mauvais bout. La biographie de MacTutor souligne que la série seule ne répond pas à la dichotomie pour cette raison, et Wikipédia en espagnol rappelle que le débat sur la résolution des paradoxes se poursuit. Cette page n’affirme que le résultat mathématique.
Une série voisine : 0,999… = 1
Avec a = 9/10 et r = 1/10, la série 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … vaut (9/10) ÷ (1 − 1/10) = 1. Ses sommes partielles sont 0,9, 0,99 et 0,999, et le reste est 1/10ⁿ. Le décimal périodique 0,9̅ (« zéro virgule neuf périodique ») est donc une autre écriture de 1 ; le guide des décimaux finis et périodiques l’explique et la calculatrice de fraction génératrice le transforme en fraction. Autre cas d’approche d’une limite, cette fois des deux côtés : les rapports de Fibonacci et le nombre d’or.
Pratiquez
- Calculez 1/6 + 1/36 + 1/216 + … avec la formule a/(1 − r).
- La tortue démarre 50 m devant, Achille court à 10 m/s et elle à 2 m/s. Combien de mètres Achille parcourt-il avant de la rattraper ?
Voir les réponses
- 1/5, car a = 1/6, r = 1/6 et (1/6) ÷ (5/6) = 1/5. Vérification : 1/6 + 1/36 = 7/36 dépasse déjà 0,19 et 1/5 = 0,2.
- 62,5 m. Les tronçons sont 50 + 10 + 2 + …, de raison un cinquième, et 50 ÷ (1 − 1/5) = 125/2. Vérification : il réduit l’écart de 8 m chaque seconde, met 50/8 = 6,25 s et parcourt 10 · 6,25 = 62,5 m.
Sources
- Wikipédia en espagnol, article Paradojas de Zenón : énoncé de la dichotomie et d’Achille, citation de la Physique VI, 9 d’Aristote, résolution par les séries convergentes et débat philosophique toujours ouvert (consulté le 16 octobre 2026).
- J. J. O’Connor et E. F. Robertson, Zeno of Elea, MacTutor History of Mathematics, université de St Andrews, en anglais : Parménide, les quatre arguments que donne Aristote dans sa Physique, et pourquoi la somme des moitiés ne tranche pas la dichotomie (consulté le 16 octobre 2026).