Paradoks Zeno dengan pecahan diselesaikan oleh deret geometri: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Jumlah parsial 1/2, 3/4, 7/8, dan 15/16 bergerak menuju 1 tanpa melewatinya, dan sisa yang tertinggal adalah 1/2ⁿ, makin kecil setiap kali. Tak hingga suku dapat berjumlah satu nilai berhingga. Kalkulator penjumlahan pecahan memeriksa setiap jumlah parsial dengan hasil eksak.
Yang penting
- Deret 1/2 + 1/4 + 1/8 + … berjumlah tepat 1, meskipun sukunya tak hingga.
- Jumlah parsialnya adalah 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, dan 63/64 untuk n = 1 sampai 6.
- Sisa yang tertinggal setelah n suku adalah 1/2ⁿ: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, dan 1/64.
- Zeno dari Elea, filsuf Yunani kuno, mengemukakan paradoks gerak seperti dikotomi dan Akhilles dan kura-kura.
- Rumus umum deret geometri adalah a/(1 − r), berlaku bila rasionya memenuhi −1 < r < 1.
- Ide yang sama menunjukkan bahwa 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … = 1, yaitu 0,999… = 1.
Apa itu paradoks Zeno dengan pecahan?
Zeno dari Elea adalah filsuf Yunani kuno yang dikenal karena paradoks gerak, termasuk dikotomi dan Akhilles dan kura-kura. Dalam dikotomi, untuk menempuh suatu jarak kita harus lebih dulu melewati separuhnya, lalu separuh dari sisanya, lalu separuh dari sisa berikutnya, dan seterusnya tanpa henti. Setiap bagian adalah pecahan dari keseluruhan: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, diikuti pecahan satuan yang makin kecil. Paradoks Zeno dengan pecahan muncul ketika kita bertanya apakah daftar bagian yang tak hingga dapat diselesaikan.
Jawaban matematisnya adalah jumlah dari tak hingga bagian itu berhingga. Jika jarak totalnya 1, bagian-bagian itu berjumlah 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Tidak ada bagian “terakhir” yang harus ditempuh: nilai 1 dicapai sebagai limit jumlah parsial, yang mendekatinya sejauh yang kita inginkan. Garis bilangan menggambarkan jumlah parsial itu sebagai titik yang maju menuju 1 tanpa melewatinya.
Tabel jumlah parsial untuk n = 1 sampai 6
Jumlah parsial adalah hasil penjumlahan n suku pertama. Tabel ini memuat enam jumlah pertama, dengan pecahan eksak, desimal eksak, dan sisa yang tertinggal sampai 1.
| n | Suku yang dijumlahkan | Pecahan eksak | Sisa sampai 1 | Desimal eksak |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 0,5 |
| 2 | 1/2 + 1/4 | 3/4 | 1/4 | 0,75 |
| 3 | 1/2 + 1/4 + 1/8 | 7/8 | 1/8 | 0,875 |
| 4 | … sampai 1/16 | 15/16 | 1/16 | 0,9375 |
| 5 | … sampai 1/32 | 31/32 | 1/32 | 0,96875 |
| 6 | … sampai 1/64 | 63/64 | 1/64 | 0,984375 |
Setiap baris menambah satu suku baru, setengah dari suku sebelumnya. Aritmetika jumlah pertama bersifat langsung dengan penyebut yang sama: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4; 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8; 7/8 + 1/16 = 14/16 + 1/16 = 15/16. Desimal di kolom terakhir eksak karena setiap penyebut adalah pangkat 2, sehingga pembagiannya berhenti. Sisanya juga menyusut setengah setiap baris. Jumlahnya tidak pernah bernilai 1 dalam bilangan langkah yang berhingga, tetapi jaraknya ke 1 menjadi sekecil apa pun.
1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64 → 1
Mengapa sisanya 1/2ⁿ?
Sisa yang memisahkan jumlah parsial dari 1 adalah tepat 1/2ⁿ, pangkat 2 pada penyebutnya. Alasannya, setiap suku baru menempati setengah dari sisa sebelumnya: setelah menjumlahkan 1/2 tersisa sisa 1/2; setelah menambah 1/4 sisa turun ke 1/4; setelah menambah 1/8 turun ke 1/8. Secara umum, 1 − (1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ) = 1/2ⁿ.
Untuk n = 6 sisanya 1/64 = 0,015625; untuk n = 10 sisanya 1/1024 = 0,0009765625. Kalkulator pangkat pecahan memungkinkan menulis sisa sebagai (1/2)ⁿ dan memperolehnya secara eksak. Membandingkan sisa itu dengan jumlah parsial berguna: jumlah parsialnya 1 − 1/2ⁿ, jadi menjumlahkannya dengan 1/2ⁿ mengembalikan total, 1/2ⁿ + (1 − 1/2ⁿ) = 1.
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16; sisa 1/16; suku berikutnya 1/32.
Mengapa sisa menyusut setengah setiap langkah?
Sisa setelah n suku adalah 1/2ⁿ, dan sisa setelah n + 1 suku adalah 1/2ⁿ⁺¹. Hubungannya langsung: 1/2ⁿ⁺¹ = (1/2)·(1/2ⁿ), jadi sisa baru adalah separuh sisa sebelumnya. Alasan aritmetiknya, suku nomor n + 1 bernilai tepat 1/2ⁿ⁺¹, separuh sisa sebelum suku itu ditambahkan. Dengan angka: sisa setelah 3 suku adalah 1/8, suku keempat adalah 1/16, dan sisa setelah 4 suku menjadi 1/8 − 1/16 = 2/16 − 1/16 = 1/16.
Persegi Zeno: pandangan geometris
Deret ini juga tampak pada persegi bersisi 1. Jika separuhnya diwarnai, lalu separuh dari yang tersisa, dan seterusnya, bagian yang diwarnai adalah 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, dan 1/32 dari persegi. Lima bagian pertama berjumlah 31/32, dan daerah yang tersisa bernilai 1/32. Jika pembagian dilanjutkan, daerah tanpa warna menyusut setengah setiap langkah dan menuju nol.
Mengapa jumlah tak hingga dapat memberi hasil berhingga?
Jumlah dengan tak hingga suku didefinisikan sebagai limit jumlah parsialnya, bukan sebagai penjumlahan yang diselesaikan sampai akhir. Pada deret ini, jumlah parsial setelah n suku adalah 1 − 1/2ⁿ. Saat n bertambah, 1/2ⁿ menjadi sangat kecil, sehingga jumlah parsial mendekati 1 sejauh yang kita inginkan. Nilai limit itu, 1, adalah hasil deretnya.
Kuncinya, suku-sukunya menyusut cukup cepat. Misalkan setiap suku bernilai 1/2 dan tidak menyusut: jumlahnya akan tumbuh tanpa henti, karena setiap langkah menambah jumlah yang sama. Di sini setiap suku adalah setengah suku sebelumnya, dan jumlah n suku pertama selalu di bawah dua kali suku pertama; limitnya tepat dua kali itu. Deret yang rasionya lebih kecil dari 1 dalam nilai mutlak selalu punya jumlah berhingga, meski sukunya tak hingga. “Tak hingga suku” tidak berarti “jumlah tak hingga”.
Cara lain melihatnya: setelah bilangan langkah yang berhingga sisanya positif, tetapi tidak ada sisa positif tertentu yang bertahan pada semua langkah. Satu-satunya nilai yang tidak menyisakan sisa adalah 1.
Rumus umum deret geometri
Deret geometri mengalikan setiap suku dengan rasio tetap r: a + ar + ar² + ar³ + … Jumlah n suku pertamanya adalah S_n = a(1 − rⁿ)/(1 − r). Bila −1 < r < 1, pangkat rⁿ menuju 0 saat n bertambah, sehingga:
a + ar + ar² + … = a/(1 − r)
Syarat −1 < r < 1 sangat penting. Jika |r| ≥ 1, suku-sukunya tidak menyusut dan deretnya tidak punya jumlah berhingga, kecuali kasus khusus seperti a = 0. Rumus itu juga menunjukkan bahwa sisa setelah n suku adalah a·rⁿ/(1 − r), yang juga menjadi kecil.
| Deret | a | r | Jumlah a/(1 − r) |
|---|---|---|---|
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + … | 1/2 | 1/2 | 1 |
| 1/3 + 1/9 + 1/27 + … | 1/3 | 1/3 | 1/2 |
| 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … | 9/10 | 1/10 | 1 |
Deret dengan rasio 1/3: 1/3 + 1/9 + 1/27 + … = 1/2
Di sini suku pertamanya a = 1/3 dan rasionya r = 1/3. Rumusnya memberi (1/3)/(1 − 1/3) = (1/3)/(2/3) = 1/2. Jumlah parsialnya adalah 1/3, 4/9, 13/27, dan 40/81; masing-masing berasal dari penyebut yang sama, misalnya 1/3 + 1/9 = 3/9 + 1/9 = 4/9. Sisa setelah n suku adalah (1/2)·(1/3)ⁿ, yang menyusut menjadi sepertiga setiap langkah. Kalkulator penyebut persekutuan terkecil membantu menjumlahkan suku-suku pertama secara manual.
Deret dengan rasio 1/10: 9/10 + 9/100 + … = 1
Dengan a = 9/10 dan r = 1/10, rumusnya memberi (9/10)/(1 − 1/10) = (9/10)/(9/10) = 1. Jumlah parsialnya adalah 9/10, 99/100, dan 999/1000, dan secara umum 1 − 1/10ⁿ. Menuliskan jumlah tak hingga itu sama persis dengan menulis desimal berulang 0,999…, yang bernilai 1. Panduan desimal berhingga dan berulang menjelaskan mengapa 0,999… = 1, dan kalkulator pecahan asal mengubah periode 0,(9) menjadi pecahan eksak 1.
Jumlah parsial pada garis bilangan dan 0,999…
Setiap jumlah parsial adalah titik pada garis bilangan. Titik-titik pertama deret Zeno adalah 1/2, 3/4, 7/8, dan 15/16, dan jaraknya ke 1 tepat 1/2, 1/4, 1/8, dan 1/16. Garis yang sama melayani deret 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …, yang jumlah parsialnya 0,9, 0,99, dan 0,999, dengan sisa 1/10, 1/100, dan 1/1000. Pada kedua kasus, barisan titik mendekati 1 tanpa menyentuhnya pada langkah berhingga mana pun.
Perbedaan kedua deret terletak pada cara membagi selang: deret pertama memakai separuh dan penyebut berupa pangkat 2; deret kedua memakai persepuluhan dan penyebut berupa pangkat 10. Menulis deret kedua sebagai 0,999… sama dengan menulis jumlah parsialnya satu per satu. Karena itu 0,999… = 1 bukan pengecualian: mekanisme limitnya sama, dengan jumlah parsial 1 − 1/10ⁿ sebagai ganti 1 − 1/2ⁿ.
Deret geometri lain yang diselesaikan: rasio 1/4
Mengubah rasio mengubah totalnya, tetapi metodenya sama. Pada deret 1/4 + 1/16 + 1/64 + …, suku pertama a = 1/4 dan rasionya r = 1/4, karena tiap suku seperempat suku sebelumnya. Rumusnya memberi (1/4)/(1 − 1/4) = (1/4)/(3/4) = 1/3. Jumlahnya 1/3, bukan 1: suku pertamanya sudah lebih kecil dan suku berikutnya menyusut lebih cepat daripada deret berasio 1/2.
Jumlah parsialnya menegaskan nilai itu: 1/4; 1/4 + 1/16 = 4/16 + 1/16 = 5/16; 5/16 + 1/64 = 20/64 + 1/64 = 21/64; 21/64 + 1/256 = 84/256 + 1/256 = 85/256. Sisa setelah n suku adalah (1/3)·(1/4)ⁿ. Untuk n = 1, 1/3 − 1/4 = 4/12 − 3/12 = 1/12 = (1/3)·(1/4). Sisa menyusut menjadi seperempat tiap langkah, sehingga hilang pada limitnya.
Deret dengan rasio 2/3: 2/3 + 4/9 + 8/27 + … = 2
Rasio tidak harus lebih kecil dari 1/2. Pada 2/3 + 4/9 + 8/27 + …, a = 2/3 dan r = 2/3, sehingga rumusnya memberi (2/3)/(1 − 2/3) = (2/3)/(1/3) = 2. Jumlahnya 2, lebih besar dari suku pertama dan lebih besar dari suku mana pun, meskipun sukunya menyusut: 2/3, 4/9, 8/27, 16/81. Jumlah parsialnya 2/3, 10/9, 38/27, dan 130/81, dan jumlah setelah n suku adalah 2·(1 − (2/3)ⁿ). Sisanya 2·(2/3)ⁿ, yang menuju nol karena 2/3 < 1.
Kesalahan umum: suku bukan jumlah
Kesalahan umum adalah melihat besar suku-sukunya lalu menyimpulkan deretnya “kurang”. Misalnya, menyatakan 1/2 + 1/4 + 1/8 + … lebih kecil dari 1 karena tidak ada suku tunggal yang mencapai 1. Itu salah: deretnya bernilai tepat 1. Yang mendekati 1 tanpa mencapainya adalah setiap jumlah parsial, bukan limitnya.
Kesalahan lain adalah mengira sisanya hilang pada suatu langkah berhingga. Setiap suku menutup setengah sisa yang tersisa, sehingga tidak pernah menutupnya sepenuhnya. Pemeriksaan yang berguna adalah pengurangan: 1 − 63/64 = 1/64, sisa yang kecil tetapi tidak nol; hanya limitnya yang menghapus sisa itu. Kalkulator pecahan memungkinkan berlatih pengurangan seperti 1 − 1/2ⁿ dan melihat sisa eksaknya.
Apa bedanya suku ke-n dan jumlah parsial ke-n?
Suku nomor n adalah potongan yang ditambahkan pada langkah n: 1/2ⁿ. Jumlah parsial n adalah total yang terkumpul sampai langkah itu: S_n = 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ = 1 − 1/2ⁿ. Sebuah contoh memisahkan keduanya: suku keempat adalah 1/16, sedangkan jumlah parsial keempat adalah 15/16. Hubungan keduanya, suku ke-n adalah selisih dua jumlah parsial berurutan: S_n − S_{n−1} = 1/2ⁿ.
Cobalah: empat pemeriksaan
Pertanyaan ini dijawab dengan rumus dan tabel di atas. Anda dapat berlatih pecahan dengan penjumlahan dan pengurangan yang serupa.
- Hitung jumlah parsial keempat dan sisanya. Jawaban: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16, dan sisanya 1 − 15/16 = 1/16.
- Cari sisa setelah sepuluh suku. Jawaban: 1/2¹⁰ = 1/1024 = 0,0009765625.
- Jumlahkan deret 1/3 + 1/9 + 1/27 + … Jawaban: a = 1/3 dan r = 1/3, jadi a/(1 − r) = (1/3)/(2/3) = 1/2.
- Cari jumlah 1/4 + 1/16 + 1/64 + … Jawaban: a = 1/4 dan r = 1/4, jadi a/(1 − r) = (1/4)/(3/4) = 1/3.
Batas: kapan rumus tidak berlaku
Rumus a/(1 − r) mensyaratkan −1 < r < 1. Dengan r = 1 deret mengulang suku yang sama dan tumbuh tanpa batas, kecuali a = 0; dengan r = 2, deret seperti 1 + 2 + 4 + 8 + … tidak punya jumlah berhingga. Dengan r negatif antara −1 dan 0 deretnya juga konvergen, tetapi sukunya berganti tanda; rumusnya tetap berlaku karena rⁿ menuju 0.
Rumus ini hanya berlaku untuk deret geometri: kekonvergenan deret lain, atau jumlah yang tanpa limit, dipelajari dengan kriteria lain. Untuk berhitung dengan pecahan eksak, gunakan alat di situs ini; untuk desimal yang tidak berhenti, panduan desimal berhingga dan berulang membedakan desimal berhingga dari yang berulang.
Ringkasan: paradoks Zeno dengan pecahan
Paradoks Zeno dengan pecahan sirna begitu kita menerima bahwa jumlah tak hingga dapat punya nilai berhingga. Deret 1/2 + 1/4 + 1/8 + … memiliki jumlah parsial 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, dengan sisa 1/2ⁿ, dan limitnya 1. Rumus a/(1 − r) menggeneralisasi hasilnya ke rasio lain, seperti 1/3 dan 1/10, dan menghubungkan deret dengan desimal berulang 0,999… = 1. Semua kesamaan diperiksa dengan hasil eksak; hanya hampiran yang memakai tanda ≈.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apakah 1/2 + 1/4 + 1/8 + … tepat 1 atau hanya mendekati 1?
Nilainya tepat 1. Jumlah parsialnya mendekati 1 tanpa mencapainya pada langkah berhingga mana pun, tetapi deret lengkapnya adalah limit jumlah itu, dan limitnya 1. Situasinya sama seperti 0,999… = 1: sisanya menjadi lebih kecil dari kuantitas tetap mana pun yang kita pilih.
Mengapa tak hingga suku dapat dijumlahkan?
Karena jumlah tak hingga tidak dihitung suku demi suku sampai akhir, melainkan sebagai limit jumlah parsial. Di sini jumlah parsial setelah n suku adalah 1 − 1/2ⁿ, yang mendekati 1 sejauh yang kita inginkan. Total yang disumbangkan tak hingga suku sisanya menuju nol.
Bagaimana sisa setelah n suku dihitung?
Sisanya adalah 1/2ⁿ. Untuk n = 1 nilainya 1/2; untuk n = 3 nilainya 1/8; untuk n = 6 nilainya 1/64. Diperoleh dengan mengurangkan jumlah parsial dari 1: 1 − (1 − 1/2ⁿ) = 1/2ⁿ. Pecahannya eksak dan desimalnya berhenti, karena penyebutnya pangkat 2.
Apa yang terjadi jika rasionya lebih besar atau sama dengan 1?
Deretnya berhenti konvergen. Dengan r = 1 sukunya tidak menyusut dan jumlahnya tumbuh tanpa batas; dengan r = 2 tumbuh lebih cepat lagi. Rumus a/(1 − r) hanya berlaku bila rasionya memenuhi −1 < r < 1; di luar selang itu rumus tidak mewakili jumlah berhingga.
Apa hubungan deret ini dengan pecahan asal?
Deret 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … berjumlah 1, dan jumlah parsialnya 9/10, 99/100, dan 999/1000 adalah pemotongan desimal berulang 0,999…. Karena itu periode 0,(9) menjadi pecahan 1: kesamaan yang sama ditulis dengan dua cara, sebagai desimal berulang dan sebagai pecahan.
Bagaimana jika rasio yang sama dimulai dari suku pertama lain?
Dengan rasio 1/2 dan suku pertama a, rumusnya memberi a/(1 − 1/2) = 2a. Jika a = 1/2, jumlahnya 1; jika a = 1/4, jumlahnya 1/2, karena 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = (1/4)/(1/2) = 1/2. Suku pertama menetapkan totalnya dan rasio menentukan cara sisanya dibagi.