Desimal berhingga berakhir pada satu angka terakhir, sedangkan desimal berulang mengulang satu blok tanpa henti. Karena itu 0,999 bernilai 999/1000, kurang dari satu, sementara 0,(9), dengan angka 9 yang tidak pernah berhenti, bernilai tepat 1. Tidak ada kata “hampir”: di antara 0,(9) dan 1 tidak ada bilangan lain.
Panduan ini menjelaskan alasannya dan menetapkan cara menulis bagian yang berulang (periode). Untuk mengubah desimal berulang apa pun menjadi pecahan, pakai desimal berulang ke pecahan; untuk tahu lebih dulu apakah suatu pecahan berhenti atau berulang, lihat kriteria faktor 2 dan 5.
Tiga penulisan yang sering tertukar
| Penulisan | Artinya | Nilai |
|---|---|---|
| 0,333 | Tiga angka desimal, lalu selesai | 333/1000, lebih kecil dari sepertiga |
| 0,(3) atau 0,333… | Angka 3 berulang tanpa akhir | Tepat sepertiga |
| ≈ 0,33 | Pembulatan ke dua angka desimal | Perkiraan, bukan kesamaan: selisihnya 1/300 |
Tabel ini memisahkan tiga hal yang berbeda: bilangan yang ditulis lengkap, sebuah periode, dan sebuah pembulatan. Titik-titik tanpa keterangan bisa menimbulkan keraguan tentang blok mana yang berlanjut, jadi tandai periode dengan tanda kurung, seperti 0,(27). Di buku sekolah di Indonesia, periode biasanya ditandai dengan garis di atas angka (0,3̅); di panduan ini dipakai tanda kurung, sama seperti kolom input kalkulator. Di sini desimal memakai koma, seperti di sekolah di Indonesia; kalkulator menerima koma maupun titik.
Contoh soal: membuktikan 0,(9) = 1
Misalkan x = 0,999… dengan angka 9 berulang tanpa akhir. Berapa nilai x?
- Kalikan dengan 10. Maka 10x = 9,999…, dan deretan angka 9 di belakangnya sama persis dengan milik x.
- Kurangkan. 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, karena deretan di belakang koma saling menghapus.
- Selesaikan. 9x = 9, sehingga x = 1.
Jadi, x = 1.
Pemeriksaan: 1/3 = 0,(3). Jika kedua sisi dikalikan 3, 3 × 0,(3) menghasilkan 0,(9) dan 3 × 1/3 menghasilkan 1, nilai yang sama.
Langkah 2 berhasil karena periode tidak punya angka terakhir: saat koma digeser satu tempat, tidak ada angka 9 yang lebih atau kurang.
Mengapa angka 9 yang berhingga tidak pernah sampai 1
Dengan n angka 9, nilainya 1 − 1/10ⁿ, dan setiap tambahan angka 9 memperkecil jaraknya menjadi sepersepuluh tanpa pernah menghilangkannya.
| Penulisan | Nilai | Kurang dari 1 sebesar |
|---|---|---|
| 0,9 | 9/10 | 1/10 |
| 0,99 | 99/100 | 1/100 |
| 0,999 | 999/1000 | 1/1000 |
| 0,(9) | 1 | 0 |
Setiap baris yang berhingga ada di bawah satu: sejumlah angka 9 yang terbatas selalu menyisakan selisih, itulah sebabnya pengurangan pada contoh tidak berlaku untuknya. Pada periode tak berhingga, selisih 1 − 0,(9) akan lebih kecil dari 1/10ⁿ untuk setiap n, dan satu-satunya bilangan tak negatif dengan sifat itu adalah 0.
Apa yang ditampilkan layar
Kalkulator yang diatur dengan sedikit angka desimal bisa menampilkan 1 untuk 0,999 dan 0,67 untuk 2/3. Itu pembulatan tampilan: 0,67 = 67/100 sedikit lebih besar dari 2/3. Untuk kesamaan yang tepat, simpan pecahannya dan bulatkan hanya hasil akhir.
Bacaan lanjutan
- Pecahan ke desimal menunjukkan apakah suatu pecahan menghasilkan desimal berhingga atau berulang.
- Untuk mengubah desimal berhingga menjadi pecahan, seperti 0,5, pakai desimal ke pecahan; jika desimalnya berulang, pakai desimal berulang ke pecahan.
- Artikel tentang 0,1 + 0,2 menjelaskan mengapa komputer tidak menyimpan 0,1 secara tepat.
Latihan
- Berapa nilai 0,(3) + 0,(6)?
- Hitung jarak antara 0,999 dan 1.
- Tulis 0,125 dengan ekor angka 9.
Lihat jawabannya
- 1, karena 1/3 + 2/3 = 1
- 1/1000
- 0,124(9)
Sumber
OpenStax, Prealgebra 2e, bagian 5.3, Decimals and Fractions (dalam bahasa Inggris), diakses 16 Oktober 2026: menjelaskan bahwa desimal berulang disingkat dengan menandai angka yang berulang. Panduan ini menandainya dengan tanda kurung.