Um decimal exato termina em um último algarismo, e uma dízima periódica repete um bloco sem fim. Por isso 0,999 vale 999/1000, menos que um, enquanto 0,9̅, com noves que nunca terminam, vale exatamente 1. Não existe um “quase”: entre 0,9̅ e 1 não cabe nenhum número.
Este guia responde a essa pergunta e fixa como se marca um período. Para passar qualquer dízima periódica a fração, use a fração geratriz; para saber de antemão se uma fração termina ou se repete, veja o critério do 2 e do 5.
Três escritas que se confundem
| Escrita | O que diz | Valor |
|---|---|---|
| 0,333 | Três casas decimais e pronto | 333/1000, menor que um terço |
| 0,3̅ ou 0,333… | O 3 se repete sem fim | Exatamente um terço |
| ≈ 0,33 | Arredondamento a duas casas decimais | Uma aproximação, não uma igualdade: o erro é 1/300 |
A tabela separa três coisas diferentes: um número escrito por inteiro, um período e um arredondamento. Reticências soltas podem deixar dúvida sobre qual bloco continua; por isso, marque o período com um traço sobre os algarismos, como em 0,2̅7̅. Onde não der para escrever o traço, use parênteses, 0,(27), que é também a forma que a calculadora aceita. Em português os decimais levam vírgula; nos países de língua inglesa escreve-se ponto, e a calculadora aceita os dois.
Exemplo resolvido: demonstrar que 0,9̅ = 1
Seja x = 0,999… com os noves repetidos sem fim. Quanto vale x?
- Multiplique por 10. Então 10x = 9,999…, e a cauda de noves é idêntica à de x.
- Subtraia. 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, porque as caudas se cancelam.
- Isole x. 9x = 9, logo x = 1.
Portanto, x = 1.
Verificação: um terço escreve-se 0,3̅. Ao triplicar os dois lados, 3 × 0,3̅ dá 0,9̅ e 3 × 1/3 dá 1, o mesmo valor.
O passo 2 funciona porque o período não tem último algarismo: ao deslocar a vírgula uma posição, não sobra nem falta nenhum nove.
Por que os noves em quantidade finita não chegam a 1
Com n noves o valor é 1 − 1/10ⁿ, e cada nove a mais reduz a distância a um décimo, sem anulá-la.
| Escrita | Valor | Falta para 1 |
|---|---|---|
| 0,9 | 9/10 | 1/10 |
| 0,99 | 99/100 | 1/100 |
| 0,999 | 999/1000 | 1/1000 |
| 0,9̅ | 1 | 0 |
Cada linha com quantidade finita de noves fica abaixo de um: uma quantidade finita de noves sempre deixa um resto, e por isso a subtração do exemplo não funciona com elas. Na dízima infinita, a diferença 1 − 0,9̅ seria menor que 1/10ⁿ para todo n, e o único número não negativo com essa propriedade é 0.
O que o visor mostra
Uma calculadora configurada com poucas casas pode mostrar 1 para 0,999 e 0,67 para 2/3. Isso é arredondamento de exibição: 0,67 = 67/100 é um pouco maior que 2/3. Para igualdades exatas, mantenha a fração e arredonde só o resultado final.
Para continuar
- A fração para decimal mostra se uma fração dá um decimal exato ou uma dízima periódica.
- Para passar um decimal exato a fração, como 0,5, use decimal para fração; se o decimal se repete, use a fração geratriz.
- O artigo sobre 0,1 + 0,2 explica por que os computadores não guardam 0,1 exato.
Pratique
- Qual é o valor de 0,3̅ + 0,6̅?
- Calcule a distância entre 0,999 e 1.
- Escreva 0,125 com uma cauda de noves.
Ver as respostas
- 1, porque 1/3 + 2/3 = 1
- 1/1000
- 0,1249̅
Fontes
OpenStax, Prealgebra 2e, seção 5.3, Decimals and Fractions (em inglês), consultada em 16 de outubro de 2026: explica que as dízimas periódicas se abreviam marcando os algarismos que se repetem. Este guia os marca com um traço sobre eles.