Die Summe der aufeinanderfolgenden Hälften einer Strecke ergibt genau 1, obwohl sie unendlich viele Summanden hat. Das ist die mathematische Antwort auf Zenons Dichotomie: Jeder Abschnitt ist halb so lang wie der vorige, und zusammen legen sie die ganze Strecke zurück. Zum Prüfen von Partialsummen mit exaktem Ergebnis eignet sich der Rechner zum Addieren von Brüchen. Was die Summe nicht beendet, ist die philosophische Diskussion; weiter unten sind beide Dinge getrennt.
Zwei Paradoxien, die oft vermischt werden
Zenon von Elea, ein griechischer Philosoph des 5. Jahrhunderts v. Chr. und Schüler des Parmenides, ist für Argumente gegen die Bewegung bekannt. Die Formulierungen seiner vier Bewegungsargumente (die Dichotomie, Achilleus und die Schildkröte, der Pfeil und das Stadion) sind vor allem in der Physik des Aristoteles (VI.9) überliefert, ergänzt durch Simplikios und Platon.
In der Dichotomie muss man für eine Strecke zuerst die Hälfte zurücklegen, dann die Hälfte des Rests, und so ohne Ende. Bei Achilleus und der Schildkröte gibt der schnelle Läufer der langsamen einen Vorsprung, und wenn er den Punkt erreicht, an dem sie stand, ist sie schon ein Stück weiter. Aristoteles behandelt beide fast als eine, auch wenn manche Autoren ihre Struktur für verschieden halten. Beide führen zu einer Summe aus unendlich vielen immer kürzeren Abschnitten, und deshalb eignen sich Brüche, um sie zu untersuchen.
Die Dichotomie mit Brüchen
Jeder Abschnitt ist ein Stammbruch der Gesamtstrecke. Eine Partialsumme ist das, was du nach n Abschnitten zurückgelegt hast.
Beispiel: sechs Abschnitte der Dichotomie
Eine Läuferin legt die Hälfte der Bahn zurück, dann die Hälfte des Rests, und wiederholt das insgesamt sechsmal. Welchen Teil der Bahn hat sie geschafft, und wie viel fehlt noch?
- Schreibe jeden Abschnitt als Bruch. Es sind 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 und 1/64 der Bahn.
- Wähle den gemeinsamen Nenner. Der größte Nenner, 64, ist ein Vielfaches der anderen, also werden die Abschnitte zu 32/64, 16/64, 8/64, 4/64, 2/64 und 1/64.
- Addiere die Zähler. 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63.
- Berechne, was fehlt. 1 − 63/64 = 1/64.
Ergebnis: Sie hat 63/64 der Bahn geschafft, und es fehlt 1/64.
Probe: Was fehlt, ist genauso groß wie der zuletzt zurückgelegte Abschnitt, und jeder neue Abschnitt deckt genau die Hälfte dessen ab, was noch fehlte.
Daraus folgt die Regel: Nach n Abschnitten ist die Partialsumme (2ⁿ − 1)/2ⁿ und die Lücke 1 durch 2ⁿ.
| n | Partialsumme | Lücke bis 1 | Lücke als Dezimalzahl |
|---|---|---|---|
| 3 | 7/8 | 1/8 | 0,125 |
| 4 | 15/16 | 1/16 | 0,0625 |
| 6 | 63/64 | 1/64 | 0,015625 |
| 10 | 1023/1024 | 1/1024 | 0,0009765625 |
Die Lücke ist nach endlich vielen Schritten nie null, wird aber kleiner als jede Größe, die du vorgibst. Auf dem Zahlenstrahl drängen sich die Punkte der mittleren Spalte dicht vor der 1 zusammen, ohne sie zu überschreiten.
Warum unendlich viele Summanden eine endliche Summe ergeben können
Eine unendliche Summe ist als Grenzwert ihrer Partialsummen definiert. Hier nähert sich die Lücke mit wachsendem n der 0, also nähern sich die Partialsummen der 1, und der Grenzwert ist 1. Unendlich viele Summanden bedeuten keine unendliche Menge, wenn jeder ein fester Bruchteil des vorigen ist.
Dieses Muster heißt geometrische Reihe: ein erster Term a und ein Quotient r, mit dem jeder Schritt multipliziert wird. Gilt −1 < r < 1, ist die Gesamtsumme a/(1 − r). Bei der Reihe von Zenon sind a und r jeweils die Hälfte, und das Ergebnis ist 1. Mit a = 1/3 und r = 1/3 ergibt sich (1/3)/(2/3), also die Hälfte, und die Partialsummen 1/3, 4/9 und 13/27 nähern sich diesem Wert. Ist r gleich 1 oder größer, werden die Terme nicht kleiner, und die Summe wächst ohne Grenze.
Achilleus und die Schildkröte mit Zahlen
Auch Achilleus’ Version ist eine geometrische Reihe. Nimm an, die Schildkröte startet 100 m vor ihm, Achilleus läuft 10 m/s und die Schildkröte 1 m/s. Achilleus legt zuerst 100 m zurück, während die Schildkröte 10 m weiterkommt. Dann läuft er diese 10 m, und die Schildkröte kommt 1 m weiter, und so fort.
Die Abschnitte von Achilleus sind 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m und so weiter, mit a = 100 und r = 1/10. Die Summe ist 100 ÷ (1 − 1/10) = 1000/9 m, rund 111,1 m (der Rundungsfehler liegt unter 0,05 m). Die Zeit rechnet man genauso: 10 s + 1 s + 0,1 s + … ergibt 100/9 s, rund 11,1 s (Fehler unter 0,05 s). Eine Kontrolle ohne Reihe bestätigt das: Achilleus holt pro Sekunde 9 m auf, der Vorsprung beträgt 100 m, also braucht er 100/9 s und läuft in dieser Zeit 10 · 100/9 = 1000/9 m.
Was die Mathematik löst und was offen bleibt
Die Summe der Reihe zeigt, dass Gesamtstrecke und Gesamtzeit endlich sind und dass Achilleus die Schildkröte tatsächlich einholt. Soweit reicht die Rechnung. Eine andere Sache ist der philosophische Einwand: Zenon kann entgegnen, die Summe werde Abschnitt für Abschnitt aufgebaut und diese Rechnung komme nie zum Ende, oder sie werde vom falschen Ende her aufgebaut. Die MacTutor-Biografie weist darauf hin, dass die Reihe allein die Dichotomie aus diesem Grund nicht beantwortet, und die spanischsprachige Wikipedia hält fest, dass die Debatte darüber, ob die Paradoxien gelöst sind, andauert. Diese Seite behauptet nur das mathematische Ergebnis.
Eine Schwesterreihe: 0,999… = 1
Mit a = 9/10 und r = 1/10 ergibt die Reihe 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … den Wert (9/10) ÷ (1 − 1/10) = 1. Die Partialsummen sind 0,9, 0,99 und 0,999, und die Lücke ist 1/10ⁿ. Deshalb ist die periodische Dezimalzahl 0,(9) eine andere Schreibweise für 1; der Ratgeber zu endlichen und periodischen Dezimalzahlen erklärt das, und der Rechner für den erzeugenden Bruch macht daraus einen Bruch. Ein weiterer Fall der Annäherung an einen Grenzwert, diesmal von beiden Seiten, sind die Verhältnisse von Fibonacci und dem goldenen Schnitt.
Übung
- Berechne 1/6 + 1/36 + 1/216 + … mit der Formel a/(1 − r).
- Die Schildkröte startet 50 m vor Achilleus, er läuft 10 m/s und sie 2 m/s. Wie viele Meter läuft Achilleus, bis er sie einholt?
Lösungen anzeigen
- 1/5, denn a = 1/6, r = 1/6 und (1/6) ÷ (5/6) = 1/5. Probe: 1/6 + 1/36 = 7/36 liegt schon über 0,19, und 1/5 = 0,2.
- 62,5 m. Die Abschnitte sind 50 + 10 + 2 + … mit dem Quotienten 0,2, und 50 ÷ (1 − 1/5) = 125/2. Probe: Er holt pro Sekunde 8 m auf, braucht 50/8 = 6,25 s und läuft 10 · 6,25 = 62,5 m.
Quellen
- Spanischsprachige Wikipedia, Artikel Paradojas de Zenón: Formulierung der Dichotomie und von Achilleus, Verweis auf die Physik VI.9 des Aristoteles, Auflösung mit konvergenten Reihen und die weiterhin offene philosophische Debatte (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- J. J. O’Connor und E. F. Robertson, Zeno of Elea, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, auf Englisch: Parmenides als Lehrer und Freund, die vier Argumente in der Physik des Aristoteles und warum die Summe der Hälften die Dichotomie nicht erledigt (abgerufen am 17. Oktober 2026).