Bei Brüchen dient der ggT zum Kürzen und das kgV zum Addieren oder Vergleichen. Bei 18 und 24 ist der ggT 6 und das kgV 72: 18/24 lässt sich zu 3/4 kürzen, und um 1/18 + 1/24 zu addieren, wird alles in Zweiundsiebzigstel umgeschrieben.
| Deine Frage | Werkzeug | Mit 18 und 24 |
|---|---|---|
| Durch welche Zahl teile ich oben und unten, um zu kürzen? | Größter gemeinsamer Teiler | ggT(18, 24) = 6 |
| Welchen Nenner nehme ich zum Addieren oder Vergleichen? | Kleinster gemeinsamer Nenner | 72, mit 4/72 und 3/72 |
| Was ist das kleinste Vielfache, das beide teilen? | Kleinstes gemeinsames Vielfaches | kgV(18, 24) = 72 |
| Aus welchen Primzahlen besteht jede Zahl? | Primfaktorzerlegung | 18 = 2 × 3² und 24 = 2³ × 3 |
| Welche Zahlen teilen sie ohne Rest? | Teiler | 24 hat 8: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24 |
Lies die Tabelle nach der Frage, die du hast. ggT und kgV entstehen aus demselben Zahlenpaar, beantworten aber verschiedene Fragen: Der eine sucht einen gemeinsamen Teiler, das andere ein gemeinsames Vielfaches. Steht die Rechnung schon da, bildet der Bruchrechner den gemeinsamen Nenner für dich und zeigt die Schritte.
Dasselbe Zahlenpaar, zwei Aufgaben
Lösungsbeispiel: ggT und kgV von 18 und 24
Du möchtest 18/24 kürzen und getrennt davon 1/18 + 1/24 addieren. Welche Zahl brauchst du jeweils?
- Zerlege jede Zahl in Primfaktoren. 18 = 2 × 3² und 24 = 2³ × 3.
- Nimm die gemeinsamen Faktoren mit dem kleineren Exponenten. 2 × 3 = 6, das ist der ggT.
- Nimm alle Faktoren mit dem größeren Exponenten. 2³ × 3² = 72, das ist das kgV.
- Kürze mit dem ggT. 18 ÷ 6 = 3 und 24 ÷ 6 = 4, also ist 18/24 = 3/4.
- Addiere mit dem kgV. 72 ÷ 18 = 4 und 72 ÷ 24 = 3, daher ist 1/18 = 4/72 und 1/24 = 3/72.
- Addiere die Zähler: 4/72 + 3/72 = 7/72, das sich nicht weiter kürzen lässt.
Ergebnis: ggT = 6, kgV = 72, 18/24 = 3/4 und 1/18 + 1/24 = 7/72.
Probe: Für zwei positive ganze Zahlen ist ggT × kgV gleich dem Produkt der beiden Zahlen: 6 × 72 = 432 = 18 × 24.
Mit dieser Gleichheit kannst du einen der beiden Werte bestimmen, wenn du den anderen kennst. Die Rechnung mit fortgesetzter Division statt mit Primfaktoren siehst du im euklidischen Algorithmus: 24 = 1 × 18 + 6 und 18 = 3 × 6, also ist der letzte Rest ungleich null die 6.
Verschiedene Nenner und das Produkt der Nenner
Zwei Brüche mit verschiedenen Nennern lassen sich mit jedem gemeinsamen Nenner addieren. Nimmt man das Produkt der Nenner, rechnet man 18 × 24 = 432, und dann ist 1/18 + 1/24 = (24 + 18)/432 = 42/432. Der Wert ist derselbe, aber die Zahlen sind sechsmal größer, und am Ende muss gekürzt werden: 42/432 = 7/72. Das kgV erspart dir diesen letzten Schritt, denn es ist schon der kleinstmögliche Nenner. Um zu entscheiden, welcher von zwei Brüchen größer ist, ist das Multiplizieren über Kreuz dagegen bequem; es wird bei Brüche vergleichen erklärt.
Ähnlich ist es mit Erweitern und Kürzen. Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, Kürzen heißt, sie durch dieselbe Zahl zu teilen. Beides liefert gleichwertige Brüche; der Unterschied ist die Richtung. Von 3/4 zu 72/96 wird mit 24 erweitert, und der ggT sagt dir, wie weit du höchstens kürzen kannst. Weitere Fälle findest du bei gleichwertigen Brüchen und bei Brüche kürzen.
Wie es weitergeht
Jedes Werkzeug der Tabelle kümmert sich um eine Zahl. Wenn du in Ruhe zwischen ihnen entscheiden oder üben willst, führen dich diese Seiten weiter:
- Unterschied zwischen ggT und kgV: ein Ratgeber zur Wahl bei Aufgaben, in denen nicht gesagt wird, welches von beiden zu verwenden ist.
- Teilbarkeitsregeln: Regeln für 2, 3, 5, 9 und 11, um zu wissen, ob sich eine Zahl ohne Division teilen lässt, nützlich vor der Suche nach dem ggT.
- Gelöste Aufgaben zu ggT und kgV: Aufteilen in gleiche Gruppen und Ereignisse, die in bestimmten Abständen zusammentreffen, mit begründeter Wahl in jedem Fall.
- Mit Brüchen rechnen: die Rechner, die diese Ergebnisse zum Addieren, Subtrahieren, Vergleichen und Kürzen nutzen.
- Brüche addieren: der Schritt zum gemeinsamen Nenner in einer vollständigen Addition, mit verschiedenen Fallarten.
Das Teiler-Werkzeug akzeptiert nur positive ganze Zahlen, weil null unendlich viele Teiler hat und sich nicht auflisten lässt.