Avec des fractions, le PGCD sert à simplifier et le PPCM sert à additionner ou à comparer. Avec 18 et 24, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 72 : 18/24 se réduit à 3/4, et pour additionner 1/18 + 1/24 on passe tout en soixante-douzièmes.
| Votre question | Outil | Avec 18 et 24 |
|---|---|---|
| Par quel nombre diviser en haut et en bas pour simplifier ? | Plus grand commun diviseur | PGCD(18, 24) = 6 |
| Quel dénominateur utiliser pour additionner ou comparer ? | Plus petit dénominateur commun | 72, avec 4/72 et 3/72 |
| Quel est le plus petit multiple qu’ils ont en commun ? | Plus petit commun multiple | PPCM(18, 24) = 72 |
| De quels nombres premiers chaque nombre est-il fait ? | Facteurs premiers | 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3 |
| Quels nombres le divisent exactement ? | Diviseurs | 24 en a 8 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 |
Lisez le tableau par la question que vous vous posez. Le PGCD et le PPCM viennent du même couple de nombres, mais répondent à des questions différentes : l’un cherche un diviseur commun, l’autre un multiple commun. Si l’opération est déjà écrite, la calculatrice de fractions calcule le dénominateur commun à votre place et montre les étapes.
Un même couple de nombres, deux usages
Exemple résolu : PGCD et PPCM de 18 et 24
Vous voulez réduire 18/24 et, séparément, additionner 1/18 + 1/24. De quel nombre avez-vous besoin dans chaque cas ?
- Décomposez chaque nombre en facteurs premiers. 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3.
- Prenez les facteurs communs avec le plus petit exposant. 2 × 3 = 6, c’est le PGCD.
- Prenez tous les facteurs avec le plus grand exposant : 2³ × 3² = 72, c’est le PPCM.
- Réduisez avec le PGCD. On divise 18 et 24 par 6 et l’on obtient 3 et 4, donc 18/24 = 3/4.
- Additionnez avec le PPCM. 72 ÷ 18 = 4 et 72 ÷ 24 = 3, donc 1/18 = 4/72 et 1/24 = 3/72.
- Additionnez les numérateurs : 4/72 + 3/72 = 7/72, qui ne se réduit plus.
Résultat : PGCD = 6, PPCM = 72, 18/24 = 3/4 et 1/18 + 1/24 = 7/72.
Vérification : pour deux entiers positifs, PGCD × PPCM est égal au produit des deux nombres : 6 × 72 = 432 = 18 × 24.
Cette égalité permet de retrouver l’une des deux valeurs si vous connaissez l’autre. Pour voir le calcul par divisions successives plutôt que par facteurs premiers, consultez l’algorithme d’Euclide : 24 = 1 × 18 + 6 et 18 = 3 × 6, donc le dernier reste non nul est 6.
Dénominateurs différents et produit en croix
Deux fractions de dénominateurs différents peuvent s’additionner avec n’importe quel dénominateur commun. Le produit en croix utilise le produit des dénominateurs : 18 × 24 = 432, et alors 1/18 + 1/24 = (24 + 18)/432 = 42/432. La valeur est la même, mais les nombres sont six fois plus grands et il faut réduire à la fin : 42/432 = 7/72. Le PPCM vous épargne cette dernière étape parce qu’il est déjà le plus petit dénominateur possible. Pour décider laquelle de deux fractions est la plus grande, le produit en croix est en revanche commode, et il est expliqué dans comparer des fractions.
Il se passe quelque chose de semblable quand on change les termes d’une fraction. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre, ou les diviser par le même nombre, donne dans les deux cas une fraction équivalente ; la différence est le sens. Passer de 3/4 à 72/96 revient à tout multiplier par 24, et le PGCD vous dit de combien vous pouvez diviser au maximum. Plus de cas dans fractions équivalentes et dans simplifier des fractions.
Où poursuivre
Chaque outil du tableau traite un nombre. Si vous devez choisir entre eux plus calmement ou vous exercer, ces pages vont plus loin :
- Différence entre PGCD et PPCM : un guide pour choisir avec des énoncés qui ne disent pas lequel des deux utiliser.
- Critères de divisibilité : les règles de 2, 3, 5, 9 et 11 pour savoir si un nombre se divise sans faire la division, utiles avant de chercher le PGCD.
- Problèmes de PGCD et de PPCM résolus : partages en groupes égaux et événements qui coïncident à intervalles réguliers, avec le choix raisonné dans chaque cas.
- Opérations sur les fractions : les calculatrices qui utilisent ces résultats pour additionner, soustraire, comparer et simplifier.
- Additionner des fractions : l’étape du dénominateur commun appliquée à une addition complète, avec différents types de cas.
L’outil des diviseurs n’accepte que des entiers positifs, car zéro a une infinité de diviseurs et ne peut pas être listé.