Wenn du etwas in möglichst große gleiche Teile aufteilen oder zerschneiden sollst, brauchst du den ggT. Wenn sich etwas wiederholt und du wissen willst, wann es wieder zusammentrifft, brauchst du das kgV. Ein Boden von 360 × 270 cm lässt sich zum Beispiel mit quadratischen Fliesen von 90 cm Seitenlänge auslegen, und zwei Busse, die alle 12 und alle 18 Minuten abfahren, treffen nach 36 Minuten wieder zusammen.
| Frage der Aufgabe | Rechnung | Beispiel |
|---|---|---|
| Was ist die größte Größe, die genau in alle Angaben passt? | ggT | Fliese für 360 × 270 cm, Seitenlänge 90 cm |
| Wann treffen mehrere Takte wieder zusammen? | kgV | Busse alle 12 und 18 Minuten, nach 36 |
| Welcher gemeinsame Nenner ist der kleinste? | kgV | 5/12 + 7/18 hat den Nenner 36 |
| Durch welche Zahl kann ich kürzen? | ggT | 18/24 wird durch 6 geteilt und ergibt 3/4 |
Die Wörter in der Aufgabe helfen, führen aber oft in die Irre, also achte auf die Logik. Der ggT teilt die Angaben und ist deshalb nie größer als die kleinste. Das kgV ist ein Vielfaches der Angaben und deshalb nie kleiner als die größte. Verletzt dein Ergebnis eine der beiden Regeln, hast du die falsche Rechnung gewählt.
Zwei Aufgaben gelöst
Die erste Aufgabe ist eine ggT-Aufgabe, die zweite eine kgV-Aufgabe. In beiden gehst du denselben Weg: entscheiden, rechnen, mit Einheit antworten und die Probe machen.
Gelöste Aufgabe: Fliesen für einen Boden von 360 × 270 cm
Du willst einen rechteckigen Boden von 360 cm mal 270 cm mit gleichen quadratischen Fliesen auslegen, die möglichst groß sind und von denen keine zerschnitten wird. Wie lang ist die Seite, und wie viele Fliesen brauchst du?
- Entscheide. Die Seitenlänge muss ohne Rest in 360 und in 270 aufgehen und so groß wie möglich sein. Das ist der ggT von 360 und 270.
- Wende Euklid an. 360 = 1 × 270 + 90 und 270 = 3 × 90 + 0, also ist der ggT 90.
- Zähle die Fliesen. In der Länge passen 360 : 90 = 4 und in der Breite 270 : 90 = 3, das sind 4 × 3 = 12.
Ergebnis: Fliesen mit 90 cm Seitenlänge, insgesamt 12.
Probe: 12 Fliesen von 90 × 90 = 8100 cm² bedecken 97.200 cm², und auch 360 × 270 ergibt 97.200. Bei 4 und 3 Fliesen pro Seite bleibt kein gemeinsamer Teiler übrig, also gibt es keine größere Fliese.
Gelöste Aufgabe: Zwei Busse treffen sich wieder
Zwei Linien fahren von derselben Haltestelle ab, eine alle 12 Minuten und eine alle 18. Gerade sind sie gemeinsam abgefahren. Wann fahren sie wieder gleichzeitig ab?
- Entscheide. Du suchst den ersten Zeitpunkt, der ein Vielfaches von 12 und von 18 ist. Das ist das kgV.
- Zerlege. 12 = 2² × 3 und 18 = 2 × 3². Nimm jede Primzahl mit ihrem höchsten Exponenten.
- Multipliziere. 2² × 3² = 36.
Ergebnis: nach 36 Minuten.
Probe: 36 : 12 = 3 und 36 : 18 = 2, beide Divisionen gehen auf. Kein Vielfaches von 18 unter 36 passt, weil 18 : 12 keine ganze Zahl ist. Das Produkt 12 × 18 = 216 wäre ein Zeitpunkt, an dem sie zusammentreffen, aber nicht der erste.
Wenn du nachlesen möchtest, wie du die beiden Werte bestimmst, vergleicht der Ratgeber zum Unterschied zwischen ggT und kgV sie in Ruhe, und der zum euklidischen Algorithmus erklärt, warum Schritt 2 der ersten Aufgabe funktioniert.
Mit Brüchen gilt dasselbe Kriterium
Beim Rechnen mit Brüchen kommen beide Ideen vor. Um 5/12 + 7/18 zu addieren, brauchst du den kleinsten gemeinsamen Nenner, und der ist kgV(12, 18) = 36. Dann ist 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36, und die Summe ist 29/36. Sie lässt sich nicht weiter kürzen, weil 29 eine Primzahl ist.
Um einen Bruch zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner durch den ggT. Der Rechner für den kleinsten gemeinsamen Nenner bereitet die Brüche für die Addition vor, und Brüche kürzen wendet den ggT an. Wenn die Aufgabe Aufteilen und Brüche verbindet, schau dir auch die Sachaufgaben mit Brüchen an.
Fünf Aufgaben zum Üben
Sie sind absichtlich gemischt, ohne dass die Rechnung genannt wird. Entscheide zuerst, ob die gesuchte Größe in die Angaben passt oder sie enthält, rechne und schreibe die Antwort mit Einheit auf.
Üben
- Ein Seil von 45 m und eines von 75 m werden in möglichst lange gleiche Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück, und wie viele entstehen?
- Ein Leuchtturm sendet alle 8 Sekunden ein Signal, ein anderer alle 12. Gerade haben sie gleichzeitig gesendet. Wann senden sie wieder gleichzeitig?
- Es gibt 28 Jungen und 42 Mädchen. Es werden gleiche Mannschaften gebildet, jede mit Jungen und Mädchen, und niemand bleibt übrig. Wie viele Mannschaften sind es höchstens, und wer gehört zu jeder?
- Drei Aufgaben wiederholen sich alle 4, 6 und 9 Tage. Heute fallen alle drei zusammen. In wie vielen Tagen fallen sie wieder zusammen?
- Eine Uhr piept alle 7 Minuten, eine andere alle 9. Wann piepen sie wieder gemeinsam?
Lösungen anzeigen
- Das ist eine ggT-Aufgabe. ggT(45, 75) = 15, also sind die Stücke 15 m lang, und es entstehen 3 + 5 = 8.
- Das ist eine kgV-Aufgabe. kgV(8, 12) = 24, also senden sie nach 24 Sekunden wieder gleichzeitig.
- Das ist eine ggT-Aufgabe. ggT(28, 42) = 14, also gibt es 14 Mannschaften mit je 2 Jungen und 3 Mädchen.
- Das ist eine kgV-Aufgabe. kgV(4, 6, 9) = 36, also fallen sie in 36 Tagen wieder zusammen.
- Das ist eine kgV-Aufgabe. 7 und 9 haben keinen gemeinsamen Faktor, also ist kgV(7, 9) = 63, und die Uhren piepen nach 63 Minuten gemeinsam.
So machst du die Probe
Teile jede Angabe durch den ggT, den du erhalten hast. Die Divisionen müssen aufgehen, und die Quotienten dürfen keinen gemeinsamen Teiler haben. Beim kgV teilst du es durch jede Angabe und prüfst, dass das Ergebnis eine ganze Zahl ist. Kontrolliere danach, ob die Antwort das beantwortet, was gefragt war, denn manchmal ist der ggT die Zahl der Pakete und manchmal der Inhalt jedes Pakets.
Die Rechner für den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache nehmen mehrere Zahlen an und eignen sich, um deine Rechnungen zu kontrollieren. Die Primfaktorzerlegung liefert die Faktoren jeder Angabe, und die Teilbarkeitsregeln helfen, sie im Kopf zu finden.