Se é preciso repartir ou cortar em partes iguais, as maiores possíveis, o problema é de MDC. Se algo se repete e se quer saber quando volta a coincidir, é de MMC. Por exemplo, um piso de 360 × 270 cm se cobre com ladrilhos quadrados de 90 cm, e dois ônibus que saem a cada 12 e a cada 18 minutos voltam a coincidir após 36 minutos.
| Pergunta do problema | Operação | Exemplo |
|---|---|---|
| Qual é o maior tamanho que cabe um número exato de vezes em todos os dados? | MDC | Ladrilho para 360 × 270 cm, lado de 90 cm |
| Quando vários ciclos voltam a coincidir? | MMC | Ônibus a cada 12 e 18 minutos, após 36 |
| Qual é o menor denominador comum? | MMC | 5/12 + 7/18 usa o denominador 36 |
| Por qual número posso simplificar? | MDC | 18/24 se divide por 6 e fica 3/4 |
As palavras do enunciado ajudam, mas falham com frequência, então observe a lógica. O MDC divide os dados e por isso nunca supera o menor. O MMC é múltiplo dos dados e por isso nunca é menor que o maior. Se o seu resultado quebra uma das duas regras, foi usada a operação contrária.
Dois problemas resolvidos
O primeiro é de MDC e o segundo de MMC. Nos dois, o caminho é o mesmo: decidir, calcular, responder com a unidade e conferir.
Exemplo resolvido: ladrilhos para um piso de 360 × 270 cm
Deseja-se cobrir um piso retangular de 360 cm por 270 cm com ladrilhos quadrados iguais, os maiores possíveis e sem cortar nenhum. Quanto mede o lado e quantos ladrilhos são necessários?
- Decida. O lado deve caber um número exato de vezes em 360 e em 270, e ser o maior possível. Isso é o MDC de 360 e 270.
- Aplique Euclides. 360 = 1 × 270 + 90 e 270 = 3 × 90 + 0, então o MDC é 90.
- Conte os ladrilhos. No comprimento cabem 360 ÷ 90 = 4 e na largura 270 ÷ 90 = 3, ou seja, 4 × 3 = 12.
Resultado: ladrilhos de 90 cm de lado, 12 no total.
Conferência: 12 ladrilhos de 90 × 90 = 8100 cm² cobrem 97.200 cm², e 360 × 270 também dá 97.200. Com 4 e 3 ladrilhos por lado não resta nenhum divisor comum, então não existe ladrilho maior.
Exemplo resolvido: dois ônibus que se encontram
Duas linhas saem do mesmo ponto, uma a cada 12 minutos e outra a cada 18. Acabaram de sair juntas. Quando voltam a coincidir?
- Decida. Procura-se o primeiro momento que é múltiplo de 12 e de 18. Isso é o MMC.
- Fatore. 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Tome cada primo com o maior expoente.
- Multiplique. 2² × 3² = 36.
Resultado: após 36 minutos.
Conferência: 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2, as duas divisões são exatas. Nenhum múltiplo de 18 menor que 36 serve, porque 18 ÷ 12 não é inteiro. Multiplicar 12 × 18 = 216 daria um momento de coincidência, mas não o primeiro.
Para rever como se obtém cada valor, o guia sobre a diferença entre MDC e MMC compara os dois com calma, e o do algoritmo de Euclides explica por que funciona o passo 2 do primeiro exemplo.
Com frações, o mesmo critério
Nas operações com frações aparecem as duas ideias. Para somar 5/12 + 7/18 é preciso o menor denominador comum, que é MMC(12, 18) = 36. Então 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36 e a soma é 29/36, que não se simplifica porque 29 é primo.
Para reduzir uma fração, divide-se numerador e denominador pelo MDC. A ferramenta de mínimo denominador comum prepara as frações para a soma e a de simplificar frações aplica o MDC. Se o problema mistura repartição e frações, veja também os problemas de frações.
Cinco problemas para praticar
Estão misturados de propósito, sem indicar a operação. Decida primeiro se o tamanho cabe nos dados ou se os contém, calcule e escreva a resposta com a unidade.
Pratique
- Uma corda de 45 m e outra de 75 m são cortadas em pedaços iguais, os mais compridos possíveis. Quanto mede cada pedaço e quantos saem?
- Um farol emite um sinal a cada 8 segundos e outro a cada 12. Acabaram de coincidir. Quando voltam a coincidir?
- Há 28 meninos e 42 meninas. Formam-se equipes iguais, cada uma com meninos e meninas, sem sobrar ninguém. Qual é o maior número de equipes e o que leva cada uma?
- Três tarefas se repetem a cada 4, 6 e 9 dias. Hoje coincidem as três. Daqui a quantos dias voltam a coincidir?
- Um relógio avisa a cada 7 minutos e outro a cada 9. Quando tocam juntos de novo?
Ver as respostas
- É de MDC. MDC(45, 75) = 15, então os pedaços medem 15 m e saem 3 + 5 = 8.
- É de MMC. MMC(8, 12) = 24, então coincidem após 24 segundos.
- É de MDC. MDC(28, 42) = 14, então são 14 equipes, cada uma com 2 meninos e 3 meninas.
- É de MMC. MMC(4, 6, 9) = 36, então coincidem daqui a 36 dias.
- É de MMC. 7 e 9 não têm fatores comuns, então MMC(7, 9) = 63 e tocam juntos após 63 minutos.
Como conferir a resposta
Divida cada dado pelo MDC obtido. As divisões devem ser exatas e os quocientes não devem ter nenhum divisor comum. Para um MMC, divida-o por cada dado e confira que o resultado é inteiro. Depois verifique se a resposta responde ao que foi perguntado, porque às vezes o MDC é o número de lotes e outras o conteúdo de cada lote.
As calculadoras de máximo divisor comum e de mínimo múltiplo comum aceitam vários números e servem para conferir as contas. A fatoração em números primos dá os fatores de cada dado, e os critérios de divisibilidade ajudam a encontrá-los de cabeça.