Escreva os números na caixa, um por linha, e clique em “Calcular”. A primeira linha do resultado traz o MMC e, abaixo, aparece o cálculo por pares, com o MDC de cada passo. Com 12 e 18 aparecem MDC(12, 18) = 6 e MMC = |(12 / 6) × 18| = 36. Para dois números, essa linha é o resultado combinado de MDC e MMC; se só interessa o divisor, há a calculadora de MDC, e para trabalhar com frações a calculadora de mínimo denominador comum mostra as frações já convertidas.
Exemplo resolvido: dois ônibus que coincidem
Um ônibus sai do ponto a cada 12 minutos e outro a cada 18. Saem juntos às 8h00. Quando voltam a coincidir?
- Ache o MDC. MDC(12, 18) = 6.
- Divida um dos números pelo MDC. 12 ÷ 6 = 2.
- Multiplique pelo outro. 2 × 18 = 36.
Resultado: MMC(12, 18) = 36, então coincidem de novo às 8h36.
Conferência: 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2 dão resultado exato, e nenhum número menor que 36 é divisível pelos dois.
Divide-se antes de multiplicar para trabalhar com números menores. Multiplicar 12 × 18 = 216 e dividir por 6 dá o mesmo resultado, mas com algarismos maiores.
Três formas de calcular o MMC à mão
Cada método serve melhor numa situação. Para mostrar que levam ao mesmo resultado, aqui cada um usa um par diferente.
| Método | Quando convém | Exemplo |
|---|---|---|
| Lista de múltiplos | Números pequenos | 4 e 6: 4, 8, 12 e 6, 12; MMC = 12 |
| Fatores primos | Se a decomposição já está feita | 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3; MMC = 2³ × 3² = 72 |
| Fórmula com o MDC | Números grandes | 28 e 42: MDC = 14; (28 ÷ 14) × 42 = 84 |
A lista de múltiplos termina no primeiro número que aparece nas duas linhas. Com fatores primos, toma-se cada primo com o maior expoente; o MMC é múltiplo de cada número, por isso nunca é menor que o maior deles. Aqui se aplica a fórmula, que dispensa a fatoração.
MMC(4, 6) = 12
Três números ou mais
Resolve-se de dois em dois, com o resultado acumulado. Para 8, 12 e 20: MMC(8, 12) = 24 e depois MMC(24, 20) = 120. O resultado é divisível por cada número da lista, e 120 ÷ 8 = 15, 120 ÷ 12 = 10 e 120 ÷ 20 = 6 confirmam. Cabem até 20 inteiros de até 100 algarismos cada um.
Casos que convém reconhecer
| Caso | Exemplo | O que acontece |
|---|---|---|
| Sem fatores comuns | MMC(5, 8) = 40 | É o produto, 5 × 8 |
| Um é múltiplo do outro | MMC(3, 12) = 12 | É o maior dos dois |
| Um dos números é 1 | MMC(9, 1) = 9 | É o outro número |
| Um número negativo | MMC(−6, 8) = 24 | Usa-se o valor absoluto |
| Um zero | MMC(0, 8) = 0 | Convenção: o único múltiplo de 0 é 0 |
O zero é o único caso que não segue “o menor múltiplo positivo”, porque não existe múltiplo positivo comum. Por isso um MMC igual a 0 não serve como denominador, que nunca pode ser 0.
Onde o MMC é usado
Nos problemas de ciclos, como o dos ônibus, o MMC mostra quando dois eventos que se repetem coincidem. Com frações, o MMC dos denominadores é o mínimo denominador comum: para 3/10 + 1/4, MMC(10, 4) = 20, e a soma fica 6/20 + 5/20 = 11/20. A calculadora de mínimo denominador comum faz essa reescrita diretamente, e somar frações a aplica a denominadores diferentes, as chamadas frações heterogêneas. Por que não se somam os denominadores explica o motivo.
O MMC também serve para passar uma fração a outra equivalente com um denominador dado. Esse processo, chamado de amplificação, é explicado em frações equivalentes; o inverso, simplificar, usa o MDC. Para comparar duas frações sem procurar denominador comum, comparar frações mostra a multiplicação em cruz. Se for preciso conhecer os fatores de cada número, use a fatoração em números primos. A OpenStax apresenta o MMC por lista de múltiplos e por fatores primos em inglês.
Pares frequentes: MMC e MDC juntos
A tabela reúne os pares mais consultados, com o MMC e o MDC de cada um. Em Portugal, as siglas escrevem-se m.m.c. e m.d.c.; o cálculo é o mesmo.
| Números | MMC | MDC |
|---|---|---|
| 4 e 6 | 12 | 2 |
| 6 e 9 | 18 | 3 |
| 8 e 12 | 24 | 4 |
| 9 e 12 | 36 | 3 |
| 10 e 15 | 30 | 5 |
| 12 e 16 | 48 | 4 |
| 12 e 18 | 36 | 6 |
| 14 e 21 | 42 | 7 |
| 15 e 20 | 60 | 5 |
| 18 e 24 | 72 | 6 |
| 20 e 30 | 60 | 10 |
| 7 e 9 | 63 | 1 |
Quando o MDC é 1, o MMC é o produto, como em 7 e 9. Nas demais linhas é menor que o produto, e quanto maior o MDC, menor resulta o MMC em relação a ele.
Perguntas frequentes
Como saber se um problema pede o MMC ou o MDC?
Pergunte o que se procura. Se algo se repete e a dúvida é quando vai coincidir, ou se é preciso um número que todos alcancem, é o MMC. Se for para repartir ou cortar em partes iguais, as maiores possíveis, é o MDC. O guia sobre a diferença entre MDC e MMC e os problemas resolvidos treinam essa escolha.
MDC × MMC é sempre igual ao produto dos números?
Só com dois números. Para 10 e 35, o MDC é 5 e o MMC é 70, e 5 × 70 = 350 = 10 × 35. Com três ou mais números isso já não vale em geral: para 9, 15 e 21 o MDC é 3 e o MMC é 315, e 3 × 315 = 945, enquanto 9 × 15 × 21 = 2835.
Quanto é o MMC de dois números primos diferentes?
É o produto deles: MMC(11, 13) = 143. A exceção aparece quando um é primo e o outro é múltiplo dele, porque então compartilham esse primo e o MMC é o maior: MMC(11, 33) = 33. Para reconhecer primos, use a calculadora de fatoração em números primos.