Scrivi i numeri nella casella, uno per riga, e premi «Calcola». La prima riga del risultato dà il mcm e sotto compare il calcolo a coppie, con il MCD di ogni passaggio. Con 12 e 18 vedrai MCD(12, 18) = 6 e, nella riga dopo, il calcolo |(12 / 6) × 18| = 36 che dà il mcm. Per due numeri, quella riga è il risultato combinato di MCD e mcm; se ti serve solo il divisore c’è la calcolatrice del MCD, e se lavori con le frazioni la calcolatrice del minimo comune denominatore mostra le frazioni già riscritte.
Esempio svolto: due autobus che coincidono
Un autobus passa dalla fermata ogni 12 minuti e un altro ogni 18. Partono insieme alle 8:00. Quando passano di nuovo insieme?
- Trova il MCD. MCD(12, 18) = 6.
- Dividi un numero per il MCD. 12 ÷ 6 = 2.
- Moltiplica per l’altro. 2 × 18 = 36.
Risultato: mcm(12, 18) = 36, quindi coincidono di nuovo alle 8:36.
Verifica: 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2 sono divisioni esatte, e nessun numero minore di 36 è divisibile per entrambi.
Si divide prima di moltiplicare per lavorare con numeri più piccoli. Moltiplicare 12 × 18 = 216 e poi dividere per 6 dà lo stesso risultato, ma con cifre più grandi.
Tre metodi per calcolare il mcm a mano
Ogni metodo si adatta meglio a una situazione. Per vedere che portano allo stesso risultato, qui ciascuno usa una coppia diversa.
| Metodo | Quando conviene | Esempio |
|---|---|---|
| Elenco dei multipli | Numeri piccoli | 4 e 6: 4, 8, 12 e 6, 12; mcm = 12 |
| Fattori primi | Se hai già la scomposizione | 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3; mcm = 2³ × 3² = 72 |
| Formula con il MCD | Numeri grandi | 28 e 42: MCD = 14; (28 ÷ 14) × 42 = 84 |
L’elenco dei multipli si ferma al primo numero che compare in entrambe le righe. Con i fattori primi si prende ogni primo con l’esponente maggiore; il mcm è multiplo di ciascun numero, quindi non è mai minore del più grande. Qui si applica la formula, che non richiede di scomporre.
mcm(4, 6) = 12
Tre numeri o più
Si procede due numeri alla volta, usando ogni volta il risultato precedente. Per 8, 12 e 20: mcm(8, 12) = 24 e poi mcm(24, 20) = 120. Il risultato è divisibile per ogni numero dell’elenco, come confermano 120 ÷ 8 = 15, 120 ÷ 12 = 10 e 120 ÷ 20 = 6. Nella casella entrano fino a 20 interi di al massimo 100 cifre ciascuno.
Casi da riconoscere
| Caso | Esempio | Che cosa succede |
|---|---|---|
| Nessun fattore in comune | mcm(5, 8) = 40 | È il prodotto, 5 × 8 |
| Uno è multiplo dell'altro | mcm(3, 12) = 12 | È il maggiore dei due |
| Uno dei numeri è 1 | mcm(9, 1) = 9 | È l'altro numero |
| Un numero negativo | mcm(−6, 8) = 24 | Si usa il valore assoluto |
| Uno zero | mcm(0, 8) = 0 | Convenzione: l'unico multiplo di 0 è 0 |
Lo zero è l’unico caso che non risponde a «il più piccolo multiplo positivo», perché non esiste un multiplo positivo comune. Per questo un mcm uguale a 0 non può fare da denominatore, che non è mai 0.
A che cosa serve il mcm
Nei problemi di cicli, come quello degli autobus, il mcm dice quando coincidono due eventi che si ripetono. Con le frazioni, il mcm dei denominatori è il minimo comune denominatore: per 3/10 + 1/4, mcm(10, 4) = 20 e la somma diventa 6/20 + 5/20 = 11/20. La calcolatrice del minimo comune denominatore fa direttamente questa riscrittura, e somma di frazioni la applica ai denominatori diversi. Perché non si sommano i denominatori ne spiega il motivo.
Il mcm serve anche a portare una frazione a un denominatore dato, ottenendo una frazione equivalente grazie alla proprietà invariantiva: si moltiplicano numeratore e denominatore per lo stesso numero. Il procedimento è spiegato in frazioni equivalenti; il contrario, semplificare, usa il MCD. Per confrontare due frazioni senza cercare un denominatore comune, confrontare frazioni mostra il prodotto in croce. Se ti servono i fattori di ciascun numero, usa la scomposizione in fattori primi. OpenStax presenta il mcm con l’elenco dei multipli e con i fattori primi in inglese.
Coppie frequenti: mcm e MCD insieme
La tabella raccoglie le coppie più cercate, come «mcm tra 12 e 18», con il mcm e il MCD di ciascuna.
| Numeri | mcm | MCD |
|---|---|---|
| 4 e 6 | 12 | 2 |
| 6 e 9 | 18 | 3 |
| 8 e 12 | 24 | 4 |
| 9 e 12 | 36 | 3 |
| 10 e 15 | 30 | 5 |
| 12 e 16 | 48 | 4 |
| 12 e 18 | 36 | 6 |
| 14 e 21 | 42 | 7 |
| 15 e 20 | 60 | 5 |
| 18 e 24 | 72 | 6 |
| 20 e 30 | 60 | 10 |
| 7 e 9 | 63 | 1 |
Quando il MCD è 1, il mcm è il prodotto, come in 7 e 9. Nelle altre righe è minore del prodotto, e più grande è il MCD, più il mcm risulta piccolo rispetto a esso.
Domande frequenti
Come capisco se un problema chiede il mcm o il MCD?
Chiediti che cosa cerchi. Se qualcosa si ripete e vuoi sapere quando coincide, oppure serve un numero che sia raggiunto da tutti i valori, cioè un multiplo di tutti, è il mcm. Se devi dividere o tagliare in parti uguali, le più grandi possibile, è il MCD. La guida sulla differenza e i problemi risolti esercitano proprio questa scelta.
MCD × mcm è sempre uguale al prodotto dei numeri?
Solo con due numeri. Per 10 e 35, il MCD è 5 e il mcm è 70, e 5 × 70 = 350 = 10 × 35. Con tre o più numeri in generale non vale più: per 9, 15 e 21 il MCD è 3 e il mcm è 315, e 3 × 315 = 945, mentre 9 × 15 × 21 = 2835.
Quanto vale il mcm di due numeri primi diversi?
È il loro prodotto: mcm(11, 13) = 143. L'eccezione si ha quando un numero è primo e l'altro è un suo multiplo: condividono quel primo e il mcm è il maggiore, mcm(11, 33) = 33. Per riconoscere i primi usa la calcolatrice della scomposizione in fattori primi.