Escreva os números na calculadora: a primeira linha do resultado traz o MDC e, abaixo, aparecem as divisões do algoritmo de Euclides, uma por linha. Um único exemplo basta para ver os três caminhos que levam ao mesmo valor.
Exemplo resolvido: o MDC de 18 e 48
Simplificar 18/48 e cortar duas tábuas de 18 cm e 48 cm em pedaços iguais, os mais longos possíveis: quanto mede cada pedaço?
- Com os divisores. Os de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18; os de 48 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48. Os comuns são 1, 2, 3 e 6.
- Com os fatores primos. 18 = 2 × 3² e 48 = 2⁴ × 3. De cada primo comum toma-se o menor expoente: 2 × 3 = 6.
- Com Euclides. 48 = 18 × 2 + 12; 18 = 12 × 1 + 6; 12 = 6 × 2 + 0. O último divisor antes do resto 0 é 6.
- Use o valor. Cada pedaço mede 6 cm. Além disso, 18 ÷ 6 = 3 e 48 ÷ 6 = 8, então 18/48 = 3/8.
Resultado: MDC(18, 48) = 6.
Conferência: 6 cabe 3 vezes em 18 e 8 vezes em 48, e 3 e 8 já não têm divisor comum maior que 1. Se o MDC fosse maior, esses quocientes continuariam a se simplificar.
Os divisores servem com números pequenos, e os fatores primos quando já se tem a decomposição; com números grandes, Euclides é o caminho curto, porque só usa divisões. Para ver a decomposição de cada número, use a página de fatoração em números primos.
Quando se usa o MDC e quando o MMC
Os dois aparecem em problemas parecidos, mas respondem a perguntas opostas. O MDC reparte o que há em partes iguais, as maiores possíveis; o MMC procura o primeiro ponto em que várias medidas coincidem.
| Pergunta | Cálculo | Exemplo |
|---|---|---|
| Simplificar uma fração | MDC | 36/60: MDC 12, fica 3/5 |
| Cortar peças iguais, as mais longas possíveis | MDC | Tiras de 42 cm e 56 cm: pedaços de 14 cm |
| Repartir sem sobrar nada, no maior número de grupos | MDC | 30 lápis e 45 borrachas: 15 grupos |
| Somar frações com denominadores diferentes | MMC | 1/4 + 1/6: denominador comum 12 |
| Saber quando dois ciclos coincidem | MMC | A cada 4 e a cada 6 dias: aos 12 dias |
A tabela já indica por onde começar: se é preciso dividir, é MDC; se é preciso juntar, é MMC. Para os problemas em texto, o guia de problemas de MDC e MMC os classifica com mais casos, e a diferença entre MDC e MMC explica a regra para escolher.
Esta calculadora mostra só o MDC. Para dois números, o MMC se obtém a partir dele: MMC = produto ÷ MDC. Com 18 e 48, é 864 ÷ 6 = 144. Se preferir calculá-lo diretamente, escreva os mesmos números na calculadora de MMC. Em Portugal escreve-se m.d.c. e m.m.c., com o mesmo significado.
O que aparece no resultado
O resultado mostra uma linha por divisão. Escrevendo 18 e 48 nessa ordem, a primeira linha é 18 = 48 × 0 + 18: como o primeiro número é menor, essa divisão apenas troca o par e não altera o MDC. Escrevendo 48 e 18, essa linha não aparece. Nos dois casos o resultado é o mesmo, porque o MDC não depende da ordem.
Quando os números são o numerador e o denominador de uma fração, divida os dois pelo MDC e o resultado é a fração irredutível. Se quiser o resultado direto, a calculadora para simplificar frações o faz sem passos intermediários. Dividir pelo MDC simplifica; multiplicar numerador e denominador por um mesmo número gera uma fração equivalente, e em frações equivalentes as duas operações aparecem juntas.
Perguntas frequentes
Como se calcula o MDC de três números?
Calcule o MDC dos dois primeiros e depois o MDC desse resultado com o terceiro. Com 20, 28 e 44: MDC(20, 28) = 4 e MDC(4, 44) = 4. A calculadora faz esses pares, com até 20 inteiros, e deixa as divisões numeradas.
O que acontece se um dos números for 0?
O 0 é divisível por qualquer inteiro, então MDC(0, 9) = 9: o zero não altera o resultado. Se todos os números forem 0, não existe um maior divisor comum, e a calculadora devolve 0 por convenção e avisa isso na resposta.
O MDC pode ser negativo?
Não. A calculadora usa os valores absolutos, porque o sinal não muda quais números dividem exatamente: MDC(−35, 14) = 7. Escreva o sinal de menos colado ao número, como -35, e cada inteiro na sua própria linha.
Quantas divisões são necessárias com números muito grandes?
Pouquíssimas. Pelo teorema de Lamé, o algoritmo de Euclides faz no máximo cinco vezes a quantidade de algarismos do menor dos dois números. Por isso não é preciso fatorar, nem com cem algarismos. O guia do algoritmo de Euclides explica o motivo.