Gib eine ganze Zahl von 1 bis 1000000000000 (10¹²) ein und wähle „Berechnen“. Die vollständige Liste der Teiler findest du im Rechner für Teiler.
Rechenbeispiel: 360 in Primfaktoren
Schreibe 360 als Produkt von Primzahlen.
- Teile durch 2, solange es geht. 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90 und 90 ÷ 2 = 45. Die 45 ist ungerade, also ist die 2 mit dem Exponenten 3 aufgebraucht.
- Weiter mit der 3. 45 ÷ 3 = 15 und 15 ÷ 3 = 5. Die 3 kommt zweimal vor.
- Übrig bleibt eine Primzahl. Die 5 ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar.
- Fasse gleiche Faktoren zusammen. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5.
Ergebnis: 360 = 2³ × 3² × 5. Im Rechner erscheint es als 2^3 × 3^2 × 5.
Probe: 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360. Die Probe des Rechners wiederholt genau diese Multiplikation.
Das Verfahren bleibt gleich: Du probierst die 2 und danach die ungeraden Zahlen 3, 5, 7, 9, … und hörst auf, wenn das Quadrat des Kandidaten größer ist als der Rest, der noch zu teilen ist. Was dann übrig bleibt, ist eine Primzahl.
Das Ergebnis hängt nicht vom Weg ab
Du kannst auch mit 360 = 36 × 10 beginnen, dann 36 = 4 × 9, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3 und 10 = 2 × 5. Die Blätter des Baums sind wieder drei Zweien, zwei Dreien und eine Fünf. Das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik: Der Baum sieht jedes Mal anders aus, das Produkt der Primzahlpotenzen bleibt gleich. Deshalb kannst du die Zerlegungen zweier Zahlen vergleichen, um ihren ggT oder ihr kgV zu bestimmen.
Prim, zusammengesetzt oder keins von beiden
Eine Zahl ist zusammengesetzt, wenn sie einen Teiler hat, der weder 1 noch die Zahl selbst ist. Um das zu entscheiden, musst du nicht alle ganzen Zahlen probieren: Gilt n = a × b, ist einer der beiden Faktoren höchstens so groß wie die Quadratwurzel von n. Bei 97 liegt die Wurzel zwischen 9 und 10, denn 9² = 81 und 10² = 100. Die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 lassen die Reste 1, 1, 2 und 6, also ist 97 prim. Die Teilbarkeitsregeln schließen 2, 3 und 5 auf einen Blick aus.
| Zahl | Zerlegung | Was sie zeigt |
|---|---|---|
| 97 | 97 | Prim: keine Primzahl bis 7 teilt sie |
| 91 | 7 × 13 | Zusammengesetzt, sieht aber prim aus |
| 1001 | 7 × 11 × 13 | Drei aufeinanderfolgende Primzahlen |
| 1024 | 2^10 | Potenz einer einzigen Primzahl |
| 999999 | 3^3 × 7 × 11 × 13 × 37 | Sechs Ziffern, fünf verschiedene Primzahlen |
| 1 | keine Faktoren | Weder prim noch zusammengesetzt |
Steht in der Liste nur ein einziger Faktor ohne Exponenten, ist die Zahl prim; steht dort nur eine Primzahl mit Exponenten, wie bei 1024, ist die Zahl eine Potenz dieser Primzahl.
Was du aus der Zerlegung ableiten kannst
Mit 18 = 2 × 3² und 24 = 2³ × 3 nimmt der ggT jede gemeinsame Primzahl mit dem kleineren Exponenten, 2 × 3 = 6, und das kgV nimmt alle Primzahlen mit dem größeren, 2³ × 3² = 72. Diese Seite berechnet die beiden Werte nicht; direkt bekommst du sie mit dem ggT-Rechner oder dem kgV-Rechner. Mit dem ggT 6 kürzt du 18/24 zu 3/4 im Rechner zum Brüche kürzen.
Aus den Exponenten lassen sich auch die Teiler zählen: Addiere zu jedem 1 und multipliziere. Bei 360 mit den Exponenten 3, 2 und 1 ergibt sich (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 Teiler; die vollständige Liste steht im Rechner für Teiler. Und wenn alle Exponenten gerade sind, ist die Zahl eine Quadratzahl: 144 = 2⁴ × 3² = (2² × 3)².
Wie der Rechner mit großen Zahlen arbeitet
Die Suche läuft per Probedivision. Kein Kandidat geht über die Quadratwurzel hinaus. An der Grenze von 10¹² sind das höchstens etwa eine halbe Million Proben, weil nur die 2 und die ungeraden Zahlen geprüft werden. Dauert eine Rechnung länger, erscheint die Schaltfläche „Berechnung abbrechen“. Eine Zahl über 10¹² bekommt kein Urteil „prim“ oder „zusammengesetzt“. Als Beispiel: 10¹² = 2^12 × 5^12, und 999999999989 ist prim.
Häufige Fragen
Warum gilt die 1 nicht als Primzahl?
Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler, die 1 und sich selbst; die 1 hat nur einen. Außerdem wäre die Zerlegung von 10 nicht eindeutig, wenn die 1 als Primzahl zählte: 2 × 5, 1 × 2 × 5, 1 × 1 × 2 × 5 und so endlos weiter. Deshalb bleibt die Liste der Primfaktoren der 1 leer.
Kann ich eine negative Zahl, eine Dezimalzahl oder die Null zerlegen?
Nein, erlaubt sind nur positive ganze Zahlen. Bei einer negativen Zahl zerlegst du den Betrag und setzt das Vorzeichen davor: −50 = −(2 × 5²). Die Null hat keine Zerlegung, weil jede Primzahl sie teilt. Eine Dezimalzahl schreibst du zuerst als Bruch (0,6 = 3/5) und zerlegst Zähler und Nenner getrennt.