Die Uhr zählt in Sechzigern. Dieses Sexagesimalsystem stammt aus Mesopotamien und lebt in der Zeit und in den Winkeln weiter. Willst du einen Bruchteil einer Stunde umrechnen, nimm Stundenbruch in Minuten; das Werkzeug liefert das Ergebnis in Minuten und Sekunden. Zählt man die Teiler, sieht man, dass sich 60 in mehr ganze Stücke teilen lässt als 100.
Gelöstes Beispiel: ein Drittel Stunde und ein Drittel von 100
Du willst eine Stunde in drei gleiche Teile teilen. Wie viele Minuten dauert jeder Teil? Vergleiche mit einer gedachten Uhr, die 100 Minuten pro Stunde hat.
- Multipliziere mit 60. (1/3) × 60 = 60/3.
- Teile. 60 ÷ 3 = 20, ohne Rest.
- Wiederhole mit 100. (1/3) × 100 = 100/3 = 33 Rest 1.
- Schreibe die Dezimalzahl. 100/3 = 33,3̅, eine periodische Dezimalzahl (die 3 wiederholt sich ohne Ende).
Ergebnis: 20 Minuten bei 60 und 33,3̅ Minuten bei 100.
Probe: Drei Teile zu 20 Minuten ergeben 60. Drei Teile zu 33,33 Minuten (≈ 33,3̅) ergeben 99,99, es fehlen 0,01 Minuten. Egal, wie viele Stellen du anhängst: Mit einer abbrechenden Dezimalzahl kommst du nie genau auf 100.
Der Unterschied liegt darin, dass 3 die 60 teilt, aber nicht die 100. Die Tabellen unten zu den Teilern und zu den Stundenbrüchen ergeben sich aus dieser Beobachtung.
Die Teiler von 60 und von 100
Ein Teiler einer Zahl ist eine ganze Zahl, die sie ohne Rest teilt. Die Teiler zu zählen ist der direkteste Weg zu messen, bei wie vielen einfachen Bruchteilen einer Einheit ganze Zahlen herauskommen.
| Zahl | Teiler | Anzahl |
|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | 12 |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
| 360 | 24 Teiler, darunter 8, 9, 40 und 45 | 24 |
Der 100 fehlen sechs der Teiler von 60, darunter 3, 6, 12 und 15. Diese Lücken hinterlassen Reste bei den gängigsten Bruchteilen einer Stunde. Die 60 ist außerdem die kleinste Zahl, die sich durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilen lässt, und taucht deshalb in den Erklärungen zum Ursprung immer wieder auf.
Um Teiler zu zählen, ohne sie aufzulisten, zerlege die Zahl in Primfaktoren, addiere zu jedem Exponenten eins und multipliziere. Aus 60 = 2² × 3 × 5 folgt (2+1)(1+1)(1+1) = 12. Aus 100 = 2² × 5² folgt (2+1)(2+1) = 9. Mit 360 = 2³ × 3² × 5 ergibt sich 4 × 3 × 2 = 24. Willst du das nicht von Hand rechnen, listet das Werkzeug Teiler einer Zahl sie auf, und die Primfaktorzerlegung zeigt die Zerlegung.
Welche Bruchteile einer Stunde ganze Minuten sind
Ein Stammbruch 1/n einer Stunde ergibt eine ganze Zahl von Minuten, wenn n die 60 teilt. Die übrigen Brüche mit diesem Nenner erhältst du durch Addieren: 2/3 einer Stunde sind 40 Minuten und 3/4 sind 45.
| Bruch | Bei 60 Minuten | Bei 100 Minuten |
|---|---|---|
| 1/2 | 30 | 50 |
| 1/4 | 15 | 25 |
| 1/5 | 12 | 20 |
| 1/6 | 10 | 16,6̅ |
| 1/12 | 5 | 8,3̅ |
| 1/15 | 4 | 6,6̅ |
Bei 100 bleiben Viertel und Fünftel ganzzahlig, weil 4 und 5 die 100 teilen. Bei 60 kommen Sechstel, Zwölftel und Fünfzehntel dazu. Das Dezimalsystem punktet bei Preisen und Messungen in Zehnerschritten, die 60 gewinnt, wenn in Dritteln geteilt wird. Für jeden Bruch oder jede Dezimalzahl einer Stunde nimm Stundenbruch in Minuten; für einen Teil einer beliebigen Menge den Bruchteil einer Menge.
Was man über den Ursprung weiß
Die Geschichte der 60 Minuten ist eine Kette von Überlieferungen mit Lücken. Man sollte trennen, was die Quellen sagen und was nur vermutet wird.
- Belegte Zuschreibung. Nach der Geschichte der Mathematik stammt das Sexagesimalsystem von den Sumerern, und die Babylonier übernahmen es. MacTutor von der University of St Andrews hält diesen sumerischen Ursprung für ziemlich sicher.
- Vermutungen zum Warum der 60. Theon von Alexandria vertrat, dass 60 die kleinste durch 1, 2, 3, 4 und 5 teilbare Zahl ist und damit die Teiler maximiert. MacTutor hält das für einen zu gelehrten Grund und merkt an, dass bei dem Ziel möglichst vieler Teiler die 12 die wahrscheinlichere Basis wäre. Weitere Ideen sind das Zählen der Fingerglieder einer Hand mit den Fingern der anderen und das Verschmelzen zweier Völker mit unterschiedlichen Basen, 12 und 5. MacTutor nennt Letzteres die am weitesten akzeptierte Theorie, die aber hypothetisch bleibt. MacTutor erwähnt auch Moritz Cantors Gedanken, die Basis 60 gehe auf ein Jahr von 360 Tagen zurück, und den Einwand, dass die Sumerer sicher wussten, dass das Jahr länger als 360 Tage ist.
- Was man nicht weiß. MacTutor (nach Meinung seines Autors) glaubt nicht, dass jemand die Basis gewählt hat, und verweist darauf, wie das Zählen entstand; eine eigene Theorie von Neugebauer verbindet sie mit Gewichts- und Längenmaßen, die in Drittel geteilt wurden. Wikipedia nennt die vielen Teiler als Erleichterung beim Rechnen mit Brüchen, aber keine der durchgesehenen Quellen belegt, dass dies der Grund für die Wahl war; Theon und Neugebauer bringen es als Hypothese vor.
Die antike Astronomie schrieb Brüche sexagesimal. In dieser Schreibweise gibt Ptolemäus π als 3;08,30 an, also 3 + 8/60 + 30/3600. In der Zeitmessung sind Reste des Sexagesimalsystems geblieben: 60 Minuten in einer Stunde und 60 Sekunden in einer Minute. Einheiten unterhalb der Sekunde sind dezimal.
Warum ein Kreis 360 Grad hat
Die babylonische Tradition teilte den Kreis in 360 gleiche Bögen, die Grade. Laut Wikipedia bekam jeder Bogen den Namen Grad und wurde einem Gott zugeordnet; die Idee des 360-Tage-Jahres wurde oben schon besprochen. Belegbar ist die Arithmetik: 360 hat 24 Teiler, und weil 8 die 360 teilt, ist 1/8 Drehung gleich 360 ÷ 8 = 45 Grad, eine ganze Zahl. Im Ratgeber zu Drehungen und Winkeln steht eine Tabelle von Drehung zu Grad, mit Fällen wie 1/8 Drehung gleich 45°, und der Artikel über Schaltjahre zeigt, wo ein Bruchteil eines Tages (≈ 1/4 Tag pro Jahr) darüber entscheidet, wann dem Kalender ein Tag hinzugefügt wird.
Der Versuch einer Stunde mit 100 Minuten
Die Französische Revolution probierte die Dezimalstunde aus. Ein Dekret vom 5. Oktober 1793 teilte den Tag in zehn Teile und jeden Teil in zehn weitere. Am 24. November 1793 wurden diese Teile Stunden genannt, mit Dezimalminuten von einem Hundertstel Stunde und Dezimalsekunden von einem Hundertstel Minute. Der offizielle Gebrauch begann am 22. September 1794, die Pflicht wurde am 7. April 1795 ausgesetzt.
Die Reform setzte sich nicht durch. Die durchgesehenen Quellen nennen die Teilbarkeit nicht als Grund für das Ende. Die Episode liefert aber einen Vergleich: Ein Tag aus zehn Stunden lässt sich in Hälften und Fünftel teilen, nicht aber in Drittel. Um zu sehen, ob ein Stammbruch eines Tages in Stunden aufgeht, genügt die Frage, ob der Nenner die Stundenzahl teilt.
Prüfe drei Stundenbrüche
Rechne jeden Fall, bevor du die Antworten aufklappst.
Drei Aufgaben
- Wie viele Minuten sind 5/6 einer Stunde?
- Wie viele Minuten sind 2/5 einer Stunde?
- Wie viele Minuten sind 3/10 einer Stunde?
Antworten anzeigen
- 50 Minuten, denn (5/6) × 60 = 300/6 = 50.
- 24 Minuten, denn 1/5 Stunde sind 12 Minuten und 12 × 2 = 24.
- 18 Minuten, denn 60 ÷ 10 = 6 und 6 × 3 = 18.
Quellen
- Wikipedia auf Spanisch, Sistema sexagesimal, abgerufen am 16. Oktober 2026: sumerischer Ursprung, Liste der Teiler von 60, 60 Minuten und 60 Sekunden, Teilung des Kreises in 360 Teile und π bei Ptolemäus als 3;08,30.
- MacTutor, Babylonian numerals (auf Englisch), abgerufen am 16. Oktober 2026: sumerischer Ursprung, Theons Argument zu den Teilern und andere Hypothesen zur 60.
- Wikipedia auf Spanisch, Tiempo decimal, abgerufen am 16. Oktober 2026: Dekret vom 5. Oktober 1793, Namen der Dezimalstunden und -minuten vom 24. November 1793, offizieller Gebrauch ab 22. September 1794 und Aussetzung am 7. April 1795.