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Geschichte der Brüche: von Ägypten zum Bruchstrich

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Ein Bruch wurde auf verschiedene Arten geschrieben, bevor er seine heutige Form bekam. In Ägypten war er eine Summe von Teilen mit dem Zähler 1, in Mesopotamien schrieb man ihn im Sechzigersystem, und der waagerechte Bruchstrich wird al-Ḥaṣṣār um 1200 zugeschrieben. Der Bruchstrich ist jünger als die Stammbrüche und das Sechzigersystem und älter als das ÷-Zeichen (1659) und die Dezimalzahlen in Europa (Stevin, 1585).

Jeder Meilenstein und die Art seiner Belege
MeilensteinWas behauptet wirdArt der Belege
Papyrus RhindBrüche als Summen von Teilen mit dem Zähler 1, mit Ausnahme von 2/3Schriftlicher Beleg
Basis 60Brüche mit Nennern, die Potenzen von 60 sindSchriftlicher Beleg; warum es die 60 wurde, ist eine Hypothese
BruchstrichTaucht im Werk von al-Ḥaṣṣār auf, um 1200Zuschreibung der Geschichtsschreibung
Liber AbaciVerbreitet die indisch-arabischen Ziffern in Europa (1202)Schriftlicher Beleg
De ThiendeFührt die Dezimalzahlen in die europäische Mathematik ein (1585)Schriftlicher Beleg
÷-ZeichenErster Gebrauch für die Division in einem Buch von Rahn (1659)Schriftlicher Beleg; wer das Zeichen erfand, ist umstritten

Die letzte Spalte zeigt, wie viel Gewicht jede Angabe hat. „Schriftlicher Beleg“ heißt, dass es einen Text gibt, der es zeigt; „Zuschreibung“ und „Hypothese“ sind Deutungen der Historiker. Den ersten Meilenstein kannst du mit dem Rechner für ägyptische Brüche ausprobieren.

Ägypten: Summen von Stammbrüchen

Nach MacTutor verwendeten die Ägypter Stammbrüche, mit Ausnahme von 2/3. Jede andere Menge wurde deshalb als Summe verschiedener Stammbrüche geschrieben. Der Papyrus Rhind zeigt das: Der Schreiber Ahmes verfasste ihn um die Mitte des 16. Jahrhunderts v. Chr. und gibt selbst an, dass er Texte von etwa dreihundert Jahren zuvor wiedergibt. Er enthält eine Tabelle zum Verdoppeln von Stammbrüchen 1/n mit ungeradem n von 5 bis 101.

Welchen Regeln die Schreiber bei der Wahl jeder Zerlegung folgten, darüber sind sich die Historiker nicht einig. Heute lässt sich eine Zerlegung mit dem Greedy-Verfahren finden, das immer den größten Stammbruch nimmt, der noch hineinpasst. Das folgende Beispiel liefert eine.

Rechenbeispiel: 2/5 mit Stammbrüchen

Wie schreibt man 2/5 ohne Zähler größer als 1?

  1. Nimm den größten Stammbruch, der hineinpasst. 1/2 ist zu groß, denn 1/2 > 2/5. Der nächste, 1/3, passt.
  2. Subtrahiere. 2/5 − 1/3 = 6/15 − 5/15 = 1/15, und das ist bereits ein Stammbruch.
  3. Schreibe die Summe. Es ergibt sich 1/3 + 1/15.

Also schreibt man 2/5 als 1/3 + 1/15.

Probe. Addiert ergibt 5/15 + 1/15 = 6/15, und kürzt man mit 3, erhält man den Ausgangsbruch.

Der Rechner für ägyptische Brüche wendet dasselbe Verfahren auf jeden positiven Bruch an und zeigt jede Subtraktion.

Mesopotamien: ein System, in dem 1/3 abbricht

Die Babylonier schrieben Brüche im Stellenwertsystem, so wie man heute Dezimalzahlen schreibt, aber mit Potenzen von 60 statt Potenzen von 10. MacTutor nennt ein Beispiel: 0;7 30 bedeutet 7/60 + 30/3600, also 1/8. Es gab kein Zeichen, das den ganzen Teil vom gebrochenen trennte, also entschied der Zusammenhang.

Der Vorteil dieser Basis: 60 ist durch 2, 3 und 5 teilbar. Ein vollständig gekürzter Bruch hat im Sechzigersystem eine abbrechende Darstellung, wenn sein Nenner nur diese Primfaktoren hat. Ein Drittel ist 20/60 und geht ohne Rest auf, während es in der Basis 10 als 0,3̅ endlos weitergeht. Warum man sich für die 60 entschied, ist nicht bekannt; MacTutor führt mehrere Hypothesen an, von denen keine abschließend überzeugt.

Das heutige Erbe ist dagegen sicher. Eine Stunde hat 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden, und die Babylonier teilten den Kreis in 360 Teile, die Grade. Auch die 45 Minuten einer Dreiviertelstunde stammen aus diesem Erbe. Der Artikel warum eine Stunde 60 Minuten hat erklärt die Teilbarkeit von 60 im Vergleich zu 100.

Der Bruchstrich: von al-Ḥaṣṣār bis Fibonacci

In Indien und in der islamischen Welt schrieb man Brüche mit dem Zähler über dem Nenner und nichts dazwischen. Die englische Wikipedia nennt das für indische Mathematiker wie Brahmagupta (um 628), die spanische Wikipedia für al-Chwarizmi (9. Jahrhundert) und al-Uqlidisi (10. Jahrhundert). Laut der englischen Wikipedia erscheint der waagerechte Bruchstrich erstmals im Werk von al-Ḥaṣṣār, einem Mathematiker aus Fès, der um 1200 wirkte und sich auf Erbschaftsrechnungen spezialisiert hatte. Das ist eine Zuschreibung der Sekundärliteratur und kein Zitat aus einem Text von al-Ḥaṣṣār.

Fibonacci veröffentlichte den Liber Abaci 1202 nach seiner Rückkehr nach Italien. MacTutor beschreibt ihn als ein Buch vor allem über arabische Ziffern, das das indisch-arabische Stellenwertsystem nach Europa brachte. Die spanische Wikipedia ergänzt, dass sich mit ihm die Schreibweise mit Strich zwischen Zähler und Nenner verbreitete. Um 1700 war der Strich, waagerecht oder schräg, allgemein üblich.

Von Stevins Dezimalzahlen zum ÷-Zeichen

Simon Stevin veröffentlichte 1585 La Thiende, eine Schrift von 29 Seiten für Astronomen, Landvermesser, Kaufleute und Münzmeister. MacTutor stellt klar, dass er die Dezimalzahlen nicht erfand, denn Araber und Chinesen nutzten sie viel früher, sondern sie in die europäische Mathematik einführte. Seine Schreibweise wurde mit Clavius und Napier zur heutigen. Mit Dezimalzahlen schreibt man 3/4 als 0,75; den umgekehrten Weg geht der Rechner für Dezimalzahl in Bruch.

Das ÷-Zeichen erscheint als Divisionszeichen in der Teutsche Algebra von Johann Rahn, 1659. Nach der spanischen Wikipedia könnte es John Pell, der Herausgeber des Buchs, eingeführt haben. Zuvor war es eine Randmarkierung, die Aristarch von Samothrake benutzte, um zweifelhafte Stellen bei Homer zu kennzeichnen. Heute liest man ÷ und den Schrägstrich in 3/4 gleich, doch es sind nicht dieselben Zeichen: Der Strich gehört zur Zahl, und ÷ bezeichnet eine Rechenoperation.

Drei Viertel in vier Schreibweisen

Jede Epoche schrieb drei Viertel auf ihre Weise, und alle vier Formen sind genau. Mit der Tabelle zu Brüchen, Dezimalzahlen und Prozent kommst du von einer zur anderen.

Die vier Schreibweisen von drei Vierteln
SchreibweiseDarstellungSo prüfst du es
Stammbrüche (Ägypten)1/2 + 1/42/4 + 1/4 = 3/4
Basis 6045/60 (0;45)45/60 = 3/4, wenn man durch 15 kürzt
Bruchstrich3 über 4Das ist der Bruch selbst
Dezimalzahl (seit Stevin)0,7575/100 lässt sich mit 25 kürzen

Alle vier Zeilen haben denselben Wert, nur welche Rechnung bequem ist, ändert sich. Teile zu addieren ist mit Stammbrüchen leicht, Zeit zu teilen ist im Sechzigersystem leicht, und Mengen zu vergleichen ist mit Dezimalzahlen leicht. Ob eine Dezimalzahl abbricht oder sich wiederholt, siehst du mit Bruch in Dezimalzahl; was jeder Teil bedeutet, erklären die Ratgeber was Brüche sind und Brüche lesen und schreiben von Grund auf.

Üben

Drei Proben

  1. Prüfe, dass 1/4 + 1/6 + 1/12 gleich einem Halben ist.
  2. Schreibe 1/8 Stunde in Minuten.
  3. Schreibe 7/10 als Summe zweier verschiedener Stammbrüche.
Lösungen anzeigen
  1. Mit dem gemeinsamen Nenner 12 ergibt sich 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12, und das ist 1/2.
  2. Es sind 7,5 Minuten, also 7 Minuten und 30 Sekunden, und das stimmt mit dem 0;7 30 der Babylonier überein.
  3. 1/2 + 1/5, denn 5/10 + 2/10 = 7/10.

Quellen

Nächster Schritt

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