Sejarah pecahan adalah sejarah bagaimana bagian-bagian dari suatu keseluruhan ditulis dan dihitung. Mesir menguraikan 2/5 menjadi pecahan satuan seperti 1/3 + 1/15; matematika Babilonia menghitung dalam basis 60; matematikawan India menuliskan pembilang di atas penyebut, dan garis horizontal datang kemudian.
Intinya
- Notasi berubah agar perhitungan lebih jelas, bukan sekadar lebih singkat.
- Papirus Rhind (Mesir, sekitar 1550 SM, disalin oleh juru tulis Ahmes) memuat tabel yang menguraikan pecahan menjadi pecahan satuan.
- Matematika Babilonia memakai basis 60, asal dari 60 menit dalam satu jam dan 360 derajat dalam satu putaran.
- Matematikawan India menuliskan pembilang di atas penyebut, tanpa garis.
- Garis pecahan horizontal diatribusikan kepada matematikawan Magrib dan al-Andalus pada abad ke-12; al-Ḥaṣṣār adalah nama yang paling sering disebut.
- Fibonacci memakai garis itu dalam Liber Abaci (1202), yang menyebarkan angka Hindu-Arab di Eropa.
Sejarah pecahan dalam enam langkah
Keenam langkah ini merangkum bagaimana cara menulis pecahan sampai kepada kita:
- Mesir. Ditulis jumlah pecahan satuan, seperti 2/5 = 1/3 + 1/15.
- Mesopotamia. Perhitungan dilakukan dalam basis 60, sistem seksagesimal yang mewariskan 60 menit dan 360 derajat.
- India. Pembilang diletakkan di atas penyebut, tanpa garis di antara keduanya.
- Magrib dan al-Andalus. Garis pecahan horizontal diatribusikan kepada matematikawan mereka, pada abad ke-12.
- Eropa abad pertengahan. Fibonacci memakai garis itu dalam Liber Abaci (1202), dan angka Hindu-Arab menyebar bersamanya.
- Eropa modern. Stevin mempromosikan pecahan desimal dalam De Thiende (1585), dan tanda ÷ muncul kemudian.
Setiap langkah menjawab kebutuhan dalam perhitungan. Daftar ini dikembangkan pada bagian berikutnya, lalu dihimpun dalam garis waktu dan tabel.
Mesir: pecahan satuan dalam papirus Rhind
Pecahan satuan adalah pecahan yang pembilangnya 1: 1/2, 1/3, 1/15. Papirus Rhind, yang disalin oleh juru tulis Ahmes sekitar tahun 1550 SM, memuat tabel yang menguraikan pecahan menjadi jumlah pecahan satuan.
Contoh klasiknya adalah 2/5. Bentuk tulisnya bukan 2/5, melainkan 1/3 + 1/15. Pemeriksaannya langsung: 1/3 = 5/15, jadi 5/15 + 1/15 = 6/15, dan 6/15 disederhanakan dengan 3 menjadi 2/5. Kesamaan 2/5 = 1/3 + 1/15 bersifat eksak.
2/5 = 1/3 + 1/15 → 5/15 + 1/15 = 6/15 = 2/5
Mengapa dipakai pecahan satuan?
Karena dengannya cukup mengulang dan membandingkan bagian yang sama: setiap pecahan bersandar pada potongan berjenis 1/n. Alat pecahan Mesir kini menguraikan pecahan positif menjadi pecahan satuan, dan panduan pecahan berlanjut dan Mesir membandingkan penulisan itu dengan representasi lain.
Metodenya bukan sekadar hiasan. Jumlah pecahan satuan langsung memperlihatkan berapa banyak potongan dari tiap ukuran yang terlibat, dan setiap pecahan memiliki setidaknya satu penguraian seperti itu. Karena itu tabel penguraian berguna: tabel itu menghindarkan pengulangan pencarian yang sama.
Mengapa Mesopotamia menghitung dalam basis 60?
Karena matematika Babilonia memakai basis 60, sistem seksagesimal. Asal itulah yang bertahan sampai sekarang dalam pengukuran waktu dan sudut, meski kini kita menghitung dalam basis 10. Nilai tempat pada basis 60 bekerja seperti pada basis 10, dengan enam puluh sebagai satuan tiap tingkat.
Dua warisan sistem itu dipakai setiap hari: 60 menit dalam satu jam dan 360 derajat dalam satu putaran penuh.
Mengapa satu jam 60 menit?
Satu jam 60 menit karena sistem seksagesimal dipertahankan dalam pengukuran waktu. Setengah jam 30 menit, sepertiganya 20 menit, dan seperempatnya 15 menit: ketiga hitungan itu eksak. Alat pecahan jam ke menit melakukan perkalian dengan 60 itu, dan artikel mengapa satu jam 60 menit menjelaskan pembagian 60 dibanding 100.
Mengapa satu putaran penuh 360 derajat?
Satu putaran 360 derajat, ukuran yang berasal dari sistem yang sama. Dengan nilai itu, setengah putaran 180 derajat, sepertiganya 120, dan seperempatnya 90: semuanya bilangan bulat. Pecahan jam dan pecahan putaran mirip karena keduanya memakai sistem yang sama: 45/60 jam adalah 45 menit, dan 3/4 putaran adalah 270 derajat.
India: pembilang ditulis di atas penyebut
Matematikawan India menuliskan pembilang di atas penyebut, tanpa garis di antara kedua bilangan itu. Susunan vertikal dua bilangan inilah yang masih kita kenali sebagai pecahan: di atas bagiannya, di bawah jumlah bagian sama besar yang membagi satuan.
Urutannya penting karena alasan perhitungan: pembilang menghitung berapa bagian yang diambil dan penyebut menyebutkan ukurannya. Dengan menempatkan yang satu di atas yang lain, keduanya dibaca sebagai satu lambang, bukan dua bilangan terpisah. Garis horizontal yang ditambahkan kemudian menjalankan tugas pengelompokan yang sama, tetapi secara berkesinambungan dan bukan hanya lewat posisi.
Garis horizontal: diatribusikan kepada Magrib dan al-Andalus
Garis pecahan horizontal diatribusikan kepada matematikawan Magrib dan al-Andalus pada abad ke-12. Al-Ḥaṣṣār adalah nama yang paling sering disebut untuk pemakaian itu. Sebaiknya dikatakan dengan frasa «diatribusikan»: garis itu tidak muncul di satu tempat maupun dalam satu hari.
Mengapa garis itu memudahkan perhitungan?
Karena garis mengubah pasangan bilangan menjadi satu kesatuan tulisan. Tanpa garis, dalam teks yang mengalir tidak selalu jelas di mana pecahan mulai dan berakhir; dengan garis, pembilang dan penyebut tersambung di atas dan di bawahnya. Tanda itu membantu membaca pembilang dan penyebut sebagai satu besaran, bukan dua bilangan terpisah.
Garis juga memperlihatkan pemfaktoran pengali: ketika atas dan bawah dikalikan dengan bilangan yang sama, garis menjaga kedua perubahan itu tetap menyatu. Rincian notasi ini menopang banyak aturan yang kini diajarkan untuk menjumlahkan dan membandingkan pecahan.
Fibonacci dan garis itu di Eropa abad pertengahan
Leonardo dari Pisa, yang dikenal sebagai Fibonacci, memakai garis pecahan dalam Liber Abaci (1202). Karya itu menyebarkan angka Hindu-Arab di Eropa.
Liber Abaci bukan hanya buku tentang pecahan: karya itu memperkenalkan cara lengkap menulis dan menghitung dengan bilangan di Eropa. Untuk membandingkan nilai yang dihasilkan, alat membandingkan pecahan memakai hasil kali silang yang eksak.
Apa yang Stevin sumbangkan bagi pecahan desimal?
Simon Stevin menerbitkan De Thiende (1585), karya yang mempromosikan pecahan desimal di Eropa. Pecahan desimal adalah pecahan yang penyebutnya pangkat 10: 1/10, 1/100, 1/1000.
Langkah itu mendekatkan aritmetika pecahan dengan aritmetika bilangan biasa. Pecahan seperti 3/4 dapat ditulis 75/100 dan, dengan koma, 0,75. Alat desimal ke pecahan menempuh arah sebaliknya, dan panduan pecahan desimal menjelaskan nilai tempat persepuluhan, perseratusan, dan perseribuan.
Notasi modern: garis miring dan tanda ÷
Tanda ÷ (obelos) pertama kali muncul untuk pembagian dalam Teutsche Algebra (1659) karya Johann Rahn. Itu salah satu notasi modern yang hidup berdampingan dengan notasi sebelumnya. Pecahan kini ditulis dengan tiga cara utama: garis horizontal, garis miring (3/4), dan untuk pembagian, tanda ÷ itu sendiri.
Garis miring memungkinkan pecahan ditulis pada satu baris teks, tanpa naik dan turun. Garis horizontal tetap paling mudah dibaca dalam perhitungan yang dijabarkan. Tanda ÷ bukan pecahan: tanda itu menandai operasi pembagian, sehingga 3 ÷ 4 dan 3/4 terbaca mirip tanpa menjadi lambang yang sama. Untuk berpindah nilai, gunakan tabel pecahan, desimal, dan persen.
Garis waktu notasi
Tabel ini menghimpun tonggak beserta tanggal dan sumbangannya. Mesopotamia dan India tampil tanpa tanggal; keduanya dikenal karena sumbangannya bagi notasi, bukan karena tahun tertentu.
| Tonggak | Tanggal | Sumbangan bagi notasi |
|---|---|---|
| Papirus Rhind (Mesir) | sekitar 1550 SM | Tabel yang menguraikan pecahan menjadi pecahan satuan |
| Mesopotamia | Tanpa tanggal pasti | Perhitungan basis 60; asal 60 menit dan 360 derajat |
| India | Tanpa tanggal pasti | Pembilang ditulis di atas penyebut, tanpa garis |
| Magrib dan al-Andalus | Abad ke-12 | Garis pecahan horizontal, diatribusikan kepada al-Ḥaṣṣār |
| Fibonacci | 1202 | Garis pecahan dalam Liber Abaci; penyebaran angka Hindu-Arab |
| Stevin | 1585 | De Thiende; promosi pecahan desimal |
| Rahn | 1659 | Kemunculan pertama tanda ÷ untuk pembagian |
Nilai yang sama dalam empat notasi
Satu bilangan dapat ditulis dengan beberapa cara, dan setiap notasi lahir pada masa berbeda. Nilai 3/4 memiliki empat tulisan eksak yang merangkum sejarahnya: 3/4 sebagai pecahan, 0,75 sebagai desimal eksak, 45/60 sebagai pecahan jam (45 menit), dan 1/2 + 1/4 sebagai jumlah pecahan satuan.
3/4 = 0,75 = 45/60; 1/2 + 1/4 = 3/4
Notasi desimal bersifat eksak bila penyebut pecahan, dalam bentuk paling sederhana, membagi pangkat 10: 10, 100, 1000, atau pangkat lain. Tiga perempat bisa: 3/4 = 75/100 = 0,75, dan seperenam belas juga: 1/16 = 0,0625. Sepertiga tidak: 1/3 = 0,333…, desimal berulang. Itu titik yang tidak boleh dikacaukan.
3 ÷ 4 = 0,75; 1 ÷ 3 = 0,333…
Coba sendiri: tiga tantangan notasi
- Uraikan 2/5 menjadi dua pecahan satuan yang berbeda. Jawaban: 1/3 + 1/15, karena 5/15 + 1/15 = 6/15 = 2/5.
- Berapa menit 2/3 jam? Jawaban: 40 menit. Hitungannya 2/3 × 60 = (2 × 60)/3 = 120/3 = 40.
- Tulis 3/4 sebagai jumlah dua pecahan satuan yang berbeda. Jawaban: 1/2 + 1/4, karena 2/4 + 1/4 = 3/4.
Tak satu pun dari ketiga hasil bergantung pada bahasa atau sistem tulisan: yang berubah adalah lambangnya, bukan hitungannya.
Apa yang berubah bagi kalkulator: pecahan eksak atau desimal
Notasi mengubah apa yang dapat dihitung dengan nyaman. Desimal eksak seperti 0,75 mewakili 3/4 tanpa galat, tetapi desimal berulang seperti 0,333… tidak pernah berakhir. Kalkulator pecahan menyimpan nilai eksak sebagai pecahan dan menampilkan desimal sebagai hampiran bila desimalnya tidak berakhir.
Mengapa pecahan eksak lebih andal daripada desimal yang dibulatkan?
Karena pecahan mempertahankan nilai sepanjang operasi. Jika 1/3 dibulatkan menjadi 0,333 lalu dijumlahkan tiga kali, hasilnya 0,999, yang bukan 1. Sebaliknya, 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1 secara eksak. Perbedaannya berasal dari pembulatan, bukan dari pecahannya.
Alat pecahan ke desimal menandai kapan desimal berakhir dan kapan berulang, dan alat desimal berulang ke pecahan memulihkan pecahan eksaknya. Kendali itulah yang dibawa notasi modern ke dalam perhitungan pecahan.
Andaikan harus menulis 3/4 tanpa garis
Andaikan garis horizontal tidak ada dan Anda harus menulis 3/4 seperti di India, dengan pembilang di atas penyebut. Nilainya tidak berubah: tetap tiga bagian dari empat. Garis hanya menambahkan tanda yang mengelompokkan kedua bilangan dan memisahkannya dari teks di sekelilingnya.
Hal yang sama berlaku untuk garis miring: 3/4, 3 ÷ 4, dan «tiga perempat» menggambarkan bilangan yang sama. Yang berubah adalah kemudahan menulis dan membaca. Karena itu notasi berkembang demi alasan praktis perhitungan, bukan karena satu penemuan tunggal.
Batas kisah ini
Uraian ini memakai «digunakan» dan «diatribusikan» bila perlu: uraian tidak mengaitkan penemuan pecahan dengan bangsa Mesir atau penulis tunggal dengan garis itu. Mesopotamia, India, dan garis miring tampil tanpa tanggal.
Selain itu, sejarah notasi bukanlah sejarah konsepnya. Seseorang dapat memahami pecahan tanpa mengenal papirus Rhind, dan menghitung dengan pecahan tanpa tahu kapan tanda ÷ muncul. Notasi membantu menghitung; konsepnya hidup terpisah.
Kesimpulan: dari Mesir hingga garis pecahan
Sejarah pecahan memperlihatkan satu gagasan yang ditulis dengan banyak cara. Mesir menuliskannya sebagai jumlah pecahan satuan, Mesopotamia menghitung dalam basis 60, India menaruh pembilang di atas penyebut, dan garis horizontal diatribusikan kepada Magrib serta al-Andalus pada abad ke-12. Fibonacci menggunakan garis pada Liber Abaci (1202), karya yang menyebarkan angka Indo-Arab di Eropa; Stevin memajukan desimal pada 1585, dan Rahn memperkenalkan tanda ÷ pada 1659.
Memahami jalan itu membantu membaca notasi masa kini dengan pertimbangan: pecahan eksak dan desimal bukanlah saingan, melainkan dua cara menulis bilangan yang sama. Portal konversi menghimpun alat untuk berpindah di antaranya
Pertanyaan yang sering diajukan
Kapan garis pecahan muncul?
Garis pecahan horizontal diatribusikan kepada matematikawan Magrib dan al-Andalus pada abad ke-12; al-Ḥaṣṣār adalah nama yang paling sering disebut. Kemudian Fibonacci memakainya dalam Liber Abaci (1202).
Apa isi papirus Rhind?
Papirus Rhind dari Mesir, bertanggal sekitar 1550 SM, disalin oleh juru tulis Ahmes. Isinya tabel yang menguraikan pecahan menjadi pecahan satuan. Salah satu contohnya 2/5 = 1/3 + 1/15, kesamaan eksak yang diperiksa dengan penyebut bersama 15.
Mengapa satu jam 60 menit dan satu putaran 360 derajat?
Karena matematika Babilonia memakai basis 60. Dari sistem seksagesimal itu berasal 60 menit dalam satu jam dan 360 derajat dalam satu putaran.
Bagaimana pecahan ditulis di India?
Matematikawan India menuliskan pembilang di atas penyebut, tanpa garis di antara kedua bilangan. Susunan vertikal itu yang masih kita pakai: di atas jumlah bagian yang diambil dan di bawah berapa bagian sama besar satuan itu dibagi.
Siapa yang mempromosikan pecahan desimal di Eropa?
Simon Stevin menerbitkan De Thiende (1585), karya yang mempromosikan pecahan desimal di Eropa. Jadi 3/4 dapat ditulis 75/100 dan juga 0,75.
Sejak kapan tanda ÷ dipakai?
Tanda ÷ (obelos) pertama kali muncul untuk pembagian dalam Teutsche Algebra (1659) karya Johann Rahn. Tanda itu berdampingan dengan garis horizontal dan garis miring. Tanda itu bukan pecahan, melainkan tanda operasi: 3 ÷ 4 menyatakan pembagian 3 oleh 4.