Uma fração foi escrita de várias maneiras antes de chegar à forma atual. No Egito era uma soma de partes com numerador 1, na Mesopotâmia escrevia-se em base 60, e a barra horizontal é atribuída a al-Ḥaṣṣār, por volta de 1200. A barra horizontal é posterior às frações unitárias e à base 60, e anterior ao sinal ÷ (1659) e aos decimais na Europa (Stevin, 1585).
| Marco | O que se afirma | Tipo de apoio |
|---|---|---|
| Papiro de Rhind | Frações escritas como somas de partes com numerador 1, com a exceção de 2/3 | Evidência documental |
| Base 60 | Frações com denominadores que são potências de 60 | Evidência documental; o porquê do 60 é hipótese |
| Barra horizontal | Aparece na obra de al-Ḥaṣṣār, por volta de 1200 | Atribuição da historiografia |
| Liber Abaci | Difunde na Europa os numerais indo-arábicos (1202) | Evidência documental |
| De Thiende | Introduz os decimais na matemática europeia (1585) | Evidência documental |
| Sinal ÷ | Primeiro uso para dividir em um livro de Rahn (1659) | Evidência documental; a autoria do sinal é discutida |
A última coluna indica quanto pesa cada dado. “Evidência documental” significa que existe um texto que o mostra, e “atribuição” ou “hipótese” que é uma leitura dos historiadores. O primeiro marco pode ser testado com a ferramenta de frações egípcias.
Egito: somas de frações unitárias
Segundo o MacTutor, os egípcios usavam frações unitárias, com a exceção de 2/3, de modo que qualquer outra quantidade era escrita como soma de frações unitárias distintas. O papiro de Rhind mostra isso: foi escrito pelo escriba Ahmes por volta de meados do século XVI a.C. e, segundo o próprio Ahmes, reúne textos de cerca de trezentos anos antes. Contém uma tabela para dobrar frações unitárias 1/n, com n ímpar de 5 a 101.
Os historiadores não concordam sobre as regras que os escribas seguiam para escolher cada decomposição. Uma forma de obter uma decomposição hoje é o método guloso, que toma sempre a maior fração unitária que cabe. O exemplo a seguir obtém uma.
Exemplo resolvido: 2/5 com frações unitárias
Como se escreve 2/5 sem numeradores maiores que 1?
- Tome a maior unitária que cabe. 1/2 é grande demais, pois 1/2 > 2/5. A seguinte, 1/3, cabe.
- Subtraia. 2/5 − 1/3 = 6/15 − 5/15 = 1/15, que já é unitária.
- Escreva a soma. Fica 1/3 + 1/15.
Assim, 2/5 se escreve como 1/3 + 1/15.
Verificação. Ao somar, 5/15 + 1/15 = 6/15, e ao dividir por 3 em cima e em baixo resulta a fração de partida.
A ferramenta de frações egípcias aplica esse mesmo método a qualquer fração positiva e mostra cada subtração.
Mesopotâmia: uma base em que 1/3 termina
Os babilônios escreviam as frações com valor posicional, como hoje se escrevem os decimais, mas com potências de 60 em vez de potências de 10. O MacTutor dá um exemplo: 0;7 30 vale 7/60 + 30/3600, ou seja, 1/8. Não havia sinal para separar a parte inteira da fracionária, de modo que o contexto decidia.
A vantagem dessa base é que 60 se divide por 2, 3 e 5: uma fração irredutível tem escrita finita em base 60 se o denominador tiver só esses fatores primos. Um terço é 20/60 e se escreve sem resto, enquanto em base 10 fica 0,333… sem fim. Por que se escolheu o 60 não se sabe, e o MacTutor examina várias hipóteses sem que nenhuma seja conclusiva.
A herança atual, essa sim, é segura. Uma hora tem 60 minutos e um minuto, 60 segundos, e os babilônios dividiam o círculo em 360 partes, os graus. Os 45 minutos de três quartos de hora vêm dessa herança. O artigo sobre por que uma hora tem 60 minutos desenvolve a divisibilidade de 60 em comparação com 100.
A barra horizontal: de al-Ḥaṣṣār a Fibonacci
Na Índia e no mundo islâmico as frações eram escritas com o numerador sobre o denominador e nada no meio. A Wikipédia em inglês registra isso para matemáticos indianos como Brahmagupta (por volta de 628), e a Wikipédia em espanhol o cita em al-Khwarizmi (século IX) e al-Uqlidisi (século X). Segundo a Wikipédia em inglês, a barra horizontal aparece pela primeira vez na obra de al-Ḥaṣṣār, matemático de Fez ativo por volta de 1200. É uma atribuição da bibliografia secundária, não uma citação de um texto de al-Ḥaṣṣār.
Fibonacci publicou o Liber Abaci em 1202, ao voltar à Itália. O MacTutor o descreve como um livro sobretudo de numerais arábicos, que levou à Europa o sistema posicional indo-arábico. A Wikipédia em espanhol acrescenta que com ele se difundiu a notação com barra entre numerador e denominador. Por volta de 1700, a barra, horizontal ou inclinada, era de uso geral.
Dos decimais de Stevin ao sinal ÷
Simon Stevin publicou em 1585 La Thiende, um folheto de 29 páginas dirigido a astrônomos, agrimensores, comerciantes e responsáveis pela cunhagem de moeda. O MacTutor esclarece que ele não inventou os decimais, que árabes e chineses usavam muito antes, mas os introduziu na matemática europeia. Sua notação se transformou, com Clavius e Napier, na atual. Com decimais, 3/4 se escreve 0,75; o caminho contrário é feito pela ferramenta de decimal para fração.
O sinal ÷ aparece como símbolo de divisão na Teutsche Algebra de Johann Rahn, de 1659. Segundo a Wikipédia em espanhol, talvez tenha sido John Pell, editor do livro, quem o introduziu. Antes era uma marca de edição, e Aristarco de Samotrácia a usava para assinalar trechos duvidosos de Homero. Hoje ÷ e a barra inclinada de 3/4 se leem da mesma forma, mas não são o mesmo sinal, porque a barra faz parte do número e ÷ indica uma operação.
Três quartos em quatro escritas
Cada época escreveu três quartos a seu modo, e as quatro formas são exatas. A tabela de frações, decimais e porcentagens serve para passar de uma a outra.
| Notação | Escrita | Como se verifica |
|---|---|---|
| Unitárias (Egito) | 1/2 + 1/4 | 2/4 + 1/4 = 3/4 |
| Base 60 | 45/60 (0;45) | 45/60 = 3/4 ao dividir por 15 |
| Barra horizontal | 3 sobre 4 | É a própria fração |
| Decimal (desde Stevin) | 0,75 | 75/100 se simplifica por 25 |
As quatro linhas valem o mesmo e só muda qual operação fica cômoda. Somar partes é fácil com unitárias, dividir o tempo é fácil em base 60 e comparar quantidades é fácil com decimais. Para ver quando um decimal termina e quando se repete, use fração para decimal; para entender o que significa cada parte, o guia o que são frações e o de ler e escrever frações partem do zero.
Pratique
Três verificações
- Verifique que 1/4 + 1/6 + 1/12 é igual a um meio.
- Escreva 1/8 de hora em minutos.
- Escreva 7/10 como soma de duas frações unitárias distintas.
Ver as respostas
- Com denominador comum 12 resulta 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12, que é 1/2.
- São 7,5 minutos, ou seja, 7 minutos e 30 segundos, o que coincide com o 0;7 30 dos babilônios.
- 1/2 + 1/5, porque 5/10 + 2/10 = 7/10.
Fontes
- MacTutor (Universidade de St Andrews), Egyptian mathematical papyri, em inglês: frações unitárias e tabela de frações unitárias dobradas (consultado em 16 de outubro de 2026).
- Wikipédia em espanhol, Papiro de Rhind: data, escriba Ahmes e textos mais antigos (consultado em 16 de outubro de 2026).
- MacTutor, Babylonian numerals, em inglês: frações em base 60 e hipóteses sobre sua origem (consultado em 16 de outubro de 2026).
- Wikipédia em espanhol, Sistema sexagesimal: uso no tempo e nos ângulos (consultado em 16 de outubro de 2026).
- Wikipédia em espanhol, artigo sobre fração: notação no mundo islâmico, Fibonacci e a barra (consultado em 16 de outubro de 2026).
- Wikipédia em inglês, Fraction: notação indiana, al-Ḥaṣṣār e a barra horizontal (consultado em 16 de outubro de 2026).
- MacTutor, Fibonacci, em inglês: Liber Abaci, 1202 (consultado em 16 de outubro de 2026).
- MacTutor, Stevin, em inglês: La Thiende, 1585 (consultado em 16 de outubro de 2026).
- Wikipédia em espanhol, Óbelo: ÷ na Teutsche Algebra, 1659 (consultado em 16 de outubro de 2026).