Untuk memahami mengapa satu jam terdiri dari 60 menit, kita perlu melihat faktornya. Penjelasan yang lazim adalah bahwa 60 lebih mudah dibagi daripada 100: ia punya dua belas faktor (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60) dibanding sembilan pada 100. Sifat itu membuat 1/2, 1/3, 1/4, dan pecahan jam lain jatuh pada menit yang bulat. Kebiasaan ini berasal dari sistem basis 60 yang dipakai di Babilonia.
Yang penting
- 60 punya dua belas faktor: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60.
- 100 punya sembilan: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, dan 100.
- Pecahan 1/n jam memberi menit bulat jika n membagi 60.
- 1/3 dari 100 bukan bilangan bulat: 100 ÷ 3 = 33,333…, sebuah desimal berulang.
- 360 = 6 × 60: karena itu setengah putaran adalah 180 derajat dan seperempatnya 90.
- 12 dan 24 juga punya banyak faktor: masing-masing 6 dan 8.
Daftar faktor suatu bilangan diperoleh dengan menguji bilangan bulat mana yang membaginya tanpa sisa, dan alat pecahan jam ke menit mengubah pecahan jam menjadi menit bulat. Sebelum memakainya, ada baiknya memahami mengapa 60 dan 100 tidak berperilaku sama.
Mengapa satu jam terdiri dari 60 menit
Penjelasan yang lazim adalah keterbagian: 60 punya dua belas faktor dan 100 hanya sembilan. Semakin banyak faktor pada bilangan yang menjadi satuan, semakin banyak pecahan sederhana dari satuan itu yang memberi hasil eksak.
Faktor (pembagi) suatu bilangan adalah bilangan bulat yang membaginya tanpa sisa. Angka 4 adalah faktor 60 karena 60 ÷ 4 = 15; angka 9 bukan, karena 60 ÷ 9 = 6,666… Kelipatan adalah hasil perkalian bilangan itu: 60, 120, 180. Untuk mengetahui berapa faktor suatu bilangan, tidak perlu menguji sampai bilangan itu: cukup faktorisasi primanya. Metode itu muncul di bawah dan dipakai oleh alat faktorisasi prima.
| Bilangan | Faktor | Jumlah |
|---|---|---|
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | 12 |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
Tabel itu menunjukkan perbedaannya secara sekilas: pada 100 tidak ada 3, 6, 12, dan 15, yang merupakan faktor 60. Ketiadaan itulah yang merusak beberapa pecahan jam yang umum dipakai.
Berapa faktor dari 60 dan 100?
60 memiliki tepat dua belas faktor dan 100 memiliki sembilan. Faktor dari 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60; faktor dari 100 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, dan 100. Perbedaannya tampak kecil, tetapi jatuh tepat pada angka yang umum dipakai saat membagi jam.
Dengan 60, kita bisa membuat sepertiga, seperenam, seperduabelas, dan seperlimabelas tanpa desimal. Dengan 100, tidak: 3, 6, dan 12 tidak ada dalam daftarnya, sehingga pecahan 1/3, 1/6, dan 1/12 dari 100 tidak memberi bilangan bulat. Skema di bawah menempatkan kedua daftar berdampingan.
Faktor dari 60 juga faktor dari 60 menit, dan faktor dari 100 akan menjadi faktor dari 100 menit. Karena itu bilangan yang dipilih sebagai satuan bukan detail: ia menentukan pecahan mana yang mudah. Untuk memeriksa daftar serupa, alat faktor suatu bilangan menghindarkan pengujian manual.
Pecahan jam mana yang menghasilkan menit bulat
Semua pecahan 1/n dengan n adalah faktor 60 bersifat eksak: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/10, 1/12, 1/15, 1/20, dan 1/30. Masing-masing sama dengan bilangan bulat menit karena perkaliannya dengan 60 tidak menyisakan sisa.
| Pecahan jam | Perhitungan | Menit |
|---|---|---|
| 1/2 | 1/2 × 60 | 30 |
| 1/3 | 1/3 × 60 | 20 |
| 1/4 | 1/4 × 60 | 15 |
| 1/5 | 1/5 × 60 | 12 |
| 1/6 | 1/6 × 60 | 10 |
| 1/10 | 1/10 × 60 | 6 |
| 1/12 | 1/12 × 60 | 5 |
| 1/15 | 1/15 × 60 | 4 |
| 1/20 | 1/20 × 60 | 3 |
| 1/30 | 1/30 × 60 | 2 |
Mereka disebut pecahan satuan karena pembilangnya 1. Pecahan yang bukan satuan dihitung dengan cara sama: 2/3 jam adalah 2 × 20 = 40 menit, dan 3/4 jam adalah 3 × 15 = 45 menit.
1/3 × 60 min = 20 min
1/n × 60 eksak setiap kali n membagi 60.
Bagaimana menghitung pecahan dari satu jam?
Kalikan pecahan itu dengan 60, jumlah menit seluruhnya. Mencari 3/4 jam adalah pecahan dari suatu jumlah: bagi 60 dengan 4 lalu ambil 3 bagian, yaitu 15 × 3 = 45 menit. Pecahan dari suatu jumlah melakukan operasi itu dengan pecahan dan jumlah tak negatif mana pun, bukan hanya dengan 60.
Mengapa 1/3 dari 100 bukan bilangan bulat?
Karena 3 bukan faktor dari 100. Saat 100 dibagi 3, hasilnya 33 dan tersisa 1, yaitu 100/3 = 33 + 1/3 = 33,333…, sebuah desimal berulang yang angka 3-nya tidak berhenti. Sisa itulah yang menghalangi penyebutan 33 menit eksak.
Perbedaannya dengan 60 langsung terlihat: 60 ÷ 3 = 20, tanpa sisa. Karena itu sepertiga jam tepat 20 menit, sedangkan sepertiga dari 100 menit tidak punya jawaban dalam menit bulat. Hal yang sama berlaku untuk 1/6 dan 1/12 dari 100, yang memberi 16,666… dan 8,333…, sementara dengan 60 memberi 10 dan 5.
1/3 × 60 = 20 min; 1/3 × 100 = 33,333… min.
| Pecahan | Dari 60 | Dari 100 |
|---|---|---|
| 1/2 | 30 min | 50 min |
| 1/3 | 20 min | 33,333… |
| 1/4 | 15 min | 25 min |
| 1/6 | 10 min | 16,666… |
| 1/12 | 5 min | 8,333… |
Salah satu cara menulis desimal berulang sebagai pecahan eksak ada di panduan desimal berhingga dan berulang; untuk arah sebaliknya, pecahan ke desimal menunjukkan berapa angka yang muncul. Perbandingan antara 20 dan 33,333… menunjukkan keunggulan praktis basis 60.
Sistem seksagesimal: dari Babilonia ke jam
Penggunaan angka 60 berasal dari matematika Babilonia, yang berhitung dalam basis 60. Sistem itu adalah asal dari 60 menit dalam satu jam, 60 detik dalam satu menit, dan 360 derajat dalam satu putaran penuh. Tidak ada satu penemu yang dapat disebut: ini warisan budaya yang terus dipertahankan.
Sistem seksagesimal mengelompokkan jumlah per enam puluh. Keunggulannya sama seperti yang sudah terlihat pada faktor: 60 terbagi menjadi setengah, sepertiga, seperempat, seperlima, seperenam, sepersepuluh, seperduabelas, seperlimabelas, seperduapuluh, dan sepertigapuluh tanpa merusak satuan. Bagian keterbagian dan penyebut merangkum konteks faktor dan kelipatan.
Mengapa derajat juga berjumlah 360?
Karena 360 = 6 × 60, sehingga satu putaran penuh memakai basis yang sama dengan jam. Kesamaan itu membagi keliling menjadi pecahan yang mudah: setengah putaran adalah 180 derajat, sepertiga 120, seperempat 90, seperenam 60, dan seperduabelas 30. Semua hasil itu bilangan bulat.
Alasan 360 bekerja baik adalah faktorisasinya: 360 = 2³ × 3² × 5, yang memberi 24 faktor. Dengan begitu banyak faktor, hampir setiap pecahan putaran yang umum ditulis dalam derajat bulat. Setiap faktor dari 360 juga merupakan pecahan putaran dengan bilangan bulat derajat: 1/8 putaran adalah 45 derajat dan 1/9 putaran adalah 40 derajat. Pembahasan dengan radian dan pecahan putaran lain ada di panduan pecahan putaran: sudut.
12 dan 24: basis lain dengan banyak faktor
12 dan 24 juga bilangan yang sangat mudah dibagi. 12 punya faktor 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, seluruhnya enam; 24 menambah 8 dan 24, hingga delapan faktor. Setengah, sepertiga, seperempat, dan seperenam dari 24 selalu bulat.
| Bilangan | Faktor | Jumlah |
|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | 12 |
Setengah dari 24 adalah 12 dan seperempat dari 24 adalah 6, keduanya bulat. Tabel pecahan, desimal, dan persen memudahkan mengubah pecahan itu ke penulisan lain bila perlu.
Ketika jam 100 menit pernah dicoba
Pada masa Revolusi Prancis, waktu desimal dengan 10 jam per hari secara resmi diperkenalkan pada 1793 dan ditinggalkan tak lama kemudian, pada 1795. Meski begitu, matematika sudah memperingatkan satu kesulitan: 100 punya sembilan faktor dibanding dua belas pada 60.
Peristiwa itu menunjukkan bahwa satuan tidak dipilih hanya karena kemudahan penulisan. Sistem desimal sangat baik untuk menghitung dan untuk harga, karena memakai sepuluh lambang, tetapi untuk membagi jam menjadi sepertiga atau seperenam ia kurang lentur daripada 60. Penerapan pecahan merangkum kasus lain ketika satuan menentukan mudah atau sulitnya perhitungan.
Mengapa bekerja: faktor prima dan pembagi
Banyaknya faktor dihitung dari faktorisasi prima. Karena 60 = 2² × 3 × 5, setiap faktor dibentuk dengan memilih pangkat 2 (0, 1, atau 2), pangkat 3 (0 atau 1), dan pangkat 5 (0 atau 1): ada 3 × 2 × 2 = 12 kombinasi. Untuk 100 = 2² × 5², kombinasinya 3 × 3 = 9.
Metodenya umum: tambahkan satu pada setiap pangkat lalu kalikan hasilnya. Pada 360 = 2³ × 3² × 5, perhitungannya (3+1)(2+1)(1+1) = 24. Prosedur ini menjawab berapa faktor suatu bilangan tanpa mendaftar satu pun, dan terhubung dengan faktorisasi yang dilakukan alat faktorisasi prima.
Coba sendiri: tiga pemeriksaan
- Berapa menit 5/6 jam? Jawab: 5/6 × 60 = 50 menit. Karena 6 membagi 60, hasilnya eksak: 5 × 10 = 50.
- Dan 2/5 jam? Jawab: 12 × 2 = 24 menit eksak. Angka 5 adalah faktor 60 karena 60 ÷ 5 = 12, jadi 1/5 adalah 12 menit.
- Apakah 1/8 jam bilangan bulat menit? Jawab: bukan. 60 ÷ 8 = 7,5 menit, desimal yang bukan bilangan bulat. Angka 8 bukan salah satu faktor 60, karena itu 1/8 jam tidak dapat ditulis hanya dengan menit bulat.
Misalkan kamu membagi jam menjadi 100 bagian
Misalkan sebuah jam memiliki 100 menit per jam. Seperempat dan seperlima tetap mudah, karena 4 dan 5 membagi 100: 1/4 menjadi 25 menit dan 1/5 menjadi 20. Sebaliknya, sepertiga menjadi 33,333… menit, seperenam 16,666…, dan seperduabelas 8,333…, semuanya desimal berulang.
Dengan jam 60 menit, pecahan yang sama memberi 20, 10, dan 5 menit bulat. Contoh itu menunjukkan bahwa masalahnya bukan jamnya, melainkan bilangan yang dipilih sebagai satuan. Mengganti 60 dengan 100 memperbaiki hitungan kelipatan sepuluh dan memperburuk hitungan kelipatan tiga.
Batasan penjelasan ini
Penjelasan ini menjawab mengapa jam dibagi menjadi 60 menit, tetapi tidak mengajarkan cara membaca jam atau menjumlahkan waktu dalam jam dan menit; hal itu berada di luar cakupan artikel tentang keterbagian ini.
Penjelasan ini juga tidak menyatakan bahwa 60 adalah satu-satunya basis yang masuk akal: 12, 24, dan 360 juga dipakai dan bekerja baik karena alasan yang sama. Pilihannya bergantung pada pecahan yang penting. Upaya Prancis pada 1793 dan 1795 adalah peristiwa kemudian, bukan saat kebiasaan itu lahir.
Kesimpulan: mengapa satu jam 60 menit
Penjelasan yang lazim untuk 60 menit adalah bahwa 60 punya dua belas faktor dan 100 hanya sembilan. Berkat itu, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/10, 1/12, 1/15, 1/20, dan 1/30 jam adalah menit bulat, dan tidak muncul desimal berulang seperti 33,333… yang akan dihasilkan 100. Bilangan 60 yang sama juga ada di balik 60 detik dalam satu menit dan, dikalikan 6, di balik 360 derajat satu putaran.
Pertanyaan yang sering diajukan
Siapa yang memutuskan satu jam 60 menit?
Tidak ada orang tertentu yang dapat disebut sebagai pengambil keputusan. Angka 60 menit dalam satu jam berasal dari sistem seksagesimal matematika Babilonia, yang menyebar ke budaya lain dan bertahan dalam pengukuran waktu. Ini warisan yang terkumpul, bukan penemuan dengan satu penulis.
Berapa faktor 60 dan apa saja?
60 punya dua belas faktor: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60. Faktor itu diperoleh dari faktorisasi 2² × 3 × 5: tiga pilihan untuk pangkat 2, dua untuk pangkat 3, dan dua untuk pangkat 5, yaitu 3 × 2 × 2 = 12.
Mengapa 100 menit tidak akan berfungsi sama baik?
Karena 100 punya sembilan faktor dan kehilangan 3, 6, dan 12. Dengan 100, sepertiga adalah 33,333… menit dan seperenam 16,666…, desimal berulang. Dengan 60, sebaliknya, sepertiga adalah 20 menit dan seperenam 10, keduanya bilangan bulat.
Berapa menit 1/12 jam?
5 menit. Karena 12 adalah faktor 60, hitungan 60 ÷ 12 = 5 tidak bersisa. Gagasan yang sama memberi 1/15 jam = 4 menit, 1/20 = 3 menit, dan 1/30 = 2 menit. Semuanya pecahan satuan jam dengan hasil eksak.
Dari mana datangnya 360 derajat satu putaran?
Dari basis 60 yang sama. Satu putaran penuh adalah 360 derajat karena 360 = 6 × 60, dan faktorisasi 2³ × 3² × 5 memberinya 24 faktor. Karena itu setengah putaran 180 derajat, sepertiga 120, seperempat 90, dan seperenam 60, semuanya bilangan bulat.
Apakah pernah dipakai jam 100 menit?
Ya, pada masa Revolusi Prancis: waktu desimal dengan 10 jam per hari diperkenalkan secara resmi pada 1793 dan ditinggalkan tak lama kemudian, pada 1795. Sistem itu tidak bertahan, dan pengukuran waktu kembali ke jam 60 menit yang sudah dipakai.