Ein ägyptischer Bruch ist eine Summe verschiedener Stammbrüche. Die Greedy-Verfahren, die dieser Rechner benutzt, zieht in jedem Schritt den größten Stammbruch ab, der in den Rest passt. Um einen Bruch größer als 1 zu schreiben, wird zuerst sein ganzer Teil abgetrennt.
4/13 mit der Greedy-Verfahren zerlegen
Jeder Schritt hat zwei Teile: den Nenner wählen und abziehen. Den Nenner erhältst du, indem du den Nenner des Rests durch seinen Zähler teilst und aufrundest.
Beispiel Schritt für Schritt: vom Bruch zu Stammbrüchen
Schreibe 4/13 als Summe verschiedener Stammbrüche.
- Erster Summand: 13 ÷ 4 = 3,25, aufgerundet 4. Du nimmst den Stammbruch mit dem Nenner 4; ein größerer passt nicht mehr.
- Erster Rest: 4/13 − 1/4 = 16/52 − 13/52 = 3/52.
- Zweiter Summand: 52 ÷ 3 = 17,33…, aufgerundet 18. Der Stammbruch ist 1/18.
- Zweiter Rest: 3/52 − 1/18 = 27/468 − 26/468 = 1/468.
- Dritter Summand: Der Rest ist schon ein Stammbruch, du fügst ihn unverändert hinzu, und es bleibt 0.
Ergebnis: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468.
Probe: 1/4 + 1/18 = 11/36, und 4/13 − 11/36 = 144/468 − 143/468 = 1/468, genau der letzte Summand.
Die Nenner 4, 18 und 468 wachsen mit jedem Schritt, daher wiederholt sich kein Summand, und das Verfahren endet, wenn der Rest 0 ist.
Was die Methode bei verschiedenen Brüchen ergibt
| Bruch | Greedy-Zerlegung | Was auffällt |
|---|---|---|
| 2/13 | 1/7 + 1/91 | Zwei Summanden, und der zweite Nenner ist das 13-Fache des ersten |
| 7/15 | 1/3 + 1/8 + 1/120 | Drei Summanden, wachsende Nenner |
| 3/7 | 1/3 + 1/11 + 1/231 | Drei Summanden, und der letzte Nenner ist das 11-Fache von 21 |
Die Tabelle zeigt, dass die Anzahl der Summanden nicht der Größe des Bruchs folgt: 2/13 braucht zwei, 3/7 und 7/15 brauchen drei.
Ein unvollständiges Ergebnis lesen
Bricht die Grenze für die Anzahl der Summanden ab, bevor der Rest 0 ist, ist die erhaltene Summe noch nicht dein Bruch. Addiere den exakten Rest, der darunter steht, und du erhältst wieder den Eingabewert. Wenn du absichtlich eine niedrige Grenze setzt, kannst du die Methode Summand für Summand verfolgen und jeden Rest mit deiner Handrechnung vergleichen.
Um Summanden mit verschiedenen Nennern zu addieren, brauchst du einen gemeinsamen Nenner, und dabei helfen gleichwertige Brüche. Suchst du eine andere Darstellung einer rationalen Zahl, schreiben Kettenbrüche sie mit ineinander verschachtelten Kehrwerten. Der Ratgeber zu Stammbrüchen erklärt, wie man sie vergleicht und ordnet, und der Artikel zur Geschichte der Brüche ordnet ihren Ursprung ein.
Quellen
Wikipedia (deutsch), Artikel Stammbruch: beschreibt die Greedy-Verfahren, die jeweils den größten Stammbruch abzieht, der höchstens so groß wie der Rest ist, sagt, dass sie nicht immer die kürzestmögliche Darstellung liefert (abgerufen am 17. Oktober 2026).
Häufige Fragen
Ist die Zerlegung in ägyptische Brüche eindeutig?
Nein. Ein und derselbe Bruch hat mehrere Summen verschiedener Stammbrüche. Zum Beispiel ist 5/6 = 1/2 + 1/3 und auch 5/6 = 1/2 + 1/4 + 1/12, denn 6/12 + 3/12 + 1/12 = 10/12. Der Rechner wendet immer die Greedy-Verfahren an, deshalb liefert dieselbe Eingabe dasselbe Ergebnis.
Warum endet die Greedy-Verfahren?
In jedem Schritt ist der neue Zähler a·n − d eine ganze Zahl, nicht negativ und kleiner als der bisherige Zähler a. Eine Folge ganzer Zahlen, die immer weiter sinkt, muss bei 0 ankommen, und das geschieht nach höchstens a Schritten. Im durchgerechneten Beispiel sind die Zähler 4, 3, 1 und 0, dann hält das Verfahren an.
Warum heißen sie ägyptische Brüche?
Weil im alten Ägypten Brüche als Summen von Stammbrüchen geschrieben wurden. Der Papyrus Rhind (auch Papyrus Ahmes) stammt von etwa 1650 v. Chr. und wird im British Museum aufbewahrt. Er ist eines der Dokumente, die das zeigen. Den Zusammenhang findest du in der Geschichte der Brüche. Die Greedy-Verfahren heißt auch Sylvester-Algorithmus.
Was ist die kürzeste Zerlegung eines Bruchs?
Dafür gibt es keine einfache Formel, und die Greedy-Verfahren liefert sie nicht immer. Für 5/121 ergibt sie fünf Summanden, und der letzte Nenner hat 25 Ziffern, während 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363 mit dreien auskommt: 11/363 + 3/363 + 1/363 = 15/363 = 5/121. Für eine kürzere Zerlegung musst du andere Kombinationen ausprobieren.