Una frazione egizia esprime un numero come somma di frazioni unitarie, ciascuna con numeratore 1 e denominatori tutti distinti: 2/5 = 1/3 + 1/15. Questo calcolatore separa prima la parte intera e applica poi l’algoritmo greedy, attribuito a Fibonacci: a ogni passaggio sceglie la frazione unitaria più grande che non supera il resto corrente.
Come usare la calcolatrice di frazioni egizie
- Scrivi un razionale non negativo in «Numero razionale non negativo», per esempio
4/13. Sono accettati anche interi, decimali, numeri misti e decimali periodici; le parti numeriche possono avere fino a 100 cifre. - Imposta «Numero massimo di termini» tra 0 e 25. Il valore predefinito è 25.
- Premi «Calcola». Il risultato mostra «Somma ottenuta: 1/4 + 1/18 + 1/468», «Somma parziale esatta: 4/13» e «Scomposizione completa.».
- Leggi l’ultima riga: «Ricostruzione verificata: 4/13 + 0 = 4/13.» Se un limite viene raggiunto prima della fine, la riga «Scomposizione incompleta. Resto esatto» indica quanto manca.
Ogni denominatore unitario generato può avere al massimo 1000 cifre e l’elaborazione ha un limite di tre secondi; il pulsante «Annulla» la interrompe prima. Lo zero produce una somma vuota di valore 0 e gli input negativi non sono ammessi.
Come funziona l’algoritmo greedy?
L’algoritmo separa la parte intera e poi toglie una alla volta le frazioni unitarie più grandi possibili:
- Separa la parte intera. Per 7/4 vale 1 e il resto è 3/4.
- Per un resto positivo
a/dcalcola n = ⌈d/a⌉, cioè d ÷ a arrotondato per eccesso. Per 3/4, ⌈4/3⌉ = 2. - Aggiunge 1/n alla somma e lo sottrae dal resto: 3/4 − 1/2 = 1/4.
- Ripete con il nuovo resto finché è zero o finché si raggiunge un limite. Qui 1/4 è già unitaria, quindi 7/4 = 1 + 1/2 + 1/4.
Ogni sottrazione usa frazioni esatte, senza arrotondamenti decimali. Poiché il numeratore del resto diminuisce a ogni passaggio, il procedimento si ferma sempre.
Esempi svolti
Esempio svolto: 4/13
Il metodo greedy sceglie a ogni passaggio la frazione unitaria più grande che non supera il resto corrente. Per 4/13, i passaggi sono tre:
| Resto attuale | Frazione unitaria scelta | Nuovo resto |
|---|---|---|
| 4/13 | 1/4 | 3/52 |
| 3/52 | 1/18 | 1/468 |
| 1/468 | 1/468 | 0 |
La somma completa è 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468. La verifica con denominatore comune 468 dà 117/468 + 26/468 + 1/468 = 144/468 = 4/13. I denominatori crescono e i termini unitari sono distinti.
Con un limite di termini o una parte intera
Con limite di un termine, il calcolo si ferma dopo 1/4: la somma parziale è 1/4 e il resto esatto 3/52; la loro somma ridà 4/13. Con limite 0 la somma parziale è 0 e il resto è tutto 4/13.
Con una parte intera, 7/4 dà 1 + 1/2 + 1/4: l’intero 1 compare per primo, seguito dalle due frazioni unitarie.
Come si legge una scomposizione incompleta?
Quando resta un resto, vale valore inserito = somma parziale + resto; i soli termini mostrati non costituiscono l’uguaglianza completa. Con limite dei termini pari a zero non viene aggiunta nessuna frazione unitaria: la somma parziale è la parte intera e il resto coincide con la parte frazionaria non ancora scomposta.
Tabella di scomposizioni greedy
| Frazione | Scomposizione greedy | Termini |
|---|---|---|
| 2/3 | 1/2 + 1/6 | 2 |
| 3/4 | 1/2 + 1/4 | 2 |
| 5/6 | 1/2 + 1/3 | 2 |
| 6/7 | 1/2 + 1/3 + 1/42 | 3 |
| 3/7 | 1/3 + 1/11 + 1/231 | 3 |
| 7/15 | 1/3 + 1/8 + 1/120 | 3 |
| 19/20 | 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/180 | 4 |
| 4/17 | 1/5 + 1/29 + 1/1233 + 1/3039345 | 4 |
L’ultima riga mostra quanto crescono in fretta i denominatori: in soli quattro termini l’ultimo ha già sette cifre.
Il risultato greedy è l’unica scomposizione possibile?
No. Un numero razionale può avere rappresentazioni diverse come somma di frazioni unitarie, e il metodo greedy ottimizza ogni passaggio separatamente, non il risultato finale: non garantisce né il minor numero di termini né i denominatori più piccoli. Il calcolatore restituisce la scomposizione determinata dal metodo greedy e dal limite impostato, non tutte quelle possibili.
Per 5/121 la differenza è ancora più evidente: cinque termini, l’ultimo con un denominatore di 25 cifre, mentre 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363 ne usa solo tre, piccoli.
Quando usarla e quando no
Usala per scoprire la storia delle frazioni, esplorare il metodo greedy in classe o controllare una scomposizione fatta a mano.
Scegli un altro approccio in questi casi:
- Scomposizione più corta o con denominatori piccoli: il metodo greedy non la cerca; bisogna provare altre combinazioni a mano.
- Scrivere un razionale come catena di reciproci: usa le frazioni continue.
- Cambiare solo il denominatore di una frazione: usa le frazioni equivalenti, oppure riduci la frazione ai minimi termini.
La guida su frazioni continue ed egizie confronta questi due modi di scrivere lo stesso razionale.
Domande frequenti
Come si usa la calcolatrice di frazioni egizie?
Scrivi la frazione in «Numero razionale non negativo», lascia «Numero massimo di termini» a 25 e premi «Calcola». Per 4/13 il risultato mostra «Somma ottenuta: 1/4 + 1/18 + 1/468», la somma parziale esatta 4/13 e «Scomposizione completa.». Se un limite interrompe il calcolo prima della fine, compare anche il resto esatto.
A che cosa serve il numero massimo di termini?
Ferma la scomposizione dopo un numero fissato di frazioni unitarie, da 0 a 25. Con 4/13 e limite 2 si ottiene 1/4 + 1/18 e resta esattamente 1/468. Con limite 0 viene separata solo la parte intera e tutto il valore resta da scomporre. Così puoi seguire l’algoritmo un passaggio alla volta.
Si può scomporre in frazioni egizie una frazione maggiore di 1?
Sì. La calcolatrice separa prima la parte intera e scompone solo la parte frazionaria. Così 7/4 = 1 + 1/2 + 1/4 e il numero misto 2 1/3 dà 2 + 1/3. La parte intera compare per prima e non conta come frazione unitaria.
Quali numeri accetta la calcolatrice di frazioni egizie?
Qualsiasi razionale non negativo: interi, frazioni come 7/15, decimali come 0,75, numeri misti come 2 1/3 e decimali periodici come 0,(3). Per esempio 0,75 dà 1/2 + 1/4. I numeri negativi vengono rifiutati, perché una somma di frazioni unitarie positive non può essere negativa.
Come sceglie ogni frazione unitaria l’algoritmo greedy?
Prende la frazione unitaria più grande che non supera il resto: 1/n, dove n è il denominatore diviso il numeratore, arrotondato per eccesso. Per il resto 3/52, 52 ÷ 3 = 17,(3), quindi n = 18. Poi sottrae: 3/52 − 1/18 = 1/468 e ricomincia con il nuovo resto.
Perché l’algoritmo greedy termina sempre?
Perché il numeratore del resto diminuisce a ogni passaggio. Se il resto è a/d e si toglie 1/n con n = ⌈d/a⌉, il nuovo numeratore a·n − d è sempre minore di a. Un intero positivo non può diminuire all’infinito: in al massimo a passaggi il resto arriva a 0.
Da dove viene il nome frazioni egizie?
Gli scribi dell’antico Egitto scrivevano le frazioni come somme di frazioni unitarie distinte, con l’eccezione di 2/3. Il papiro di Rhind contiene una tabella che scompone 2/n per i valori dispari di n fino a 101. Il metodo greedy usato qui è attribuito a Fibonacci, che lo descrisse nel Liber abaci del 1202.
Una frazione ha una sola scomposizione in frazioni egizie?
No, ogni razionale ne ammette infinite. Il metodo greedy dà 19/20 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/180, mentre 19/20 = 1/2 + 1/4 + 1/5 usa meno termini e denominatori più piccoli. Lo strumento mostra solo la scomposizione greedy, che è deterministica: lo stesso valore dà sempre lo stesso risultato.
Perché alcuni denominatori diventano enormi?
Perché il metodo greedy non cerca denominatori piccoli: prende solo la frazione unitaria più grande possibile a ogni passaggio. Per 5/121 produce cinque termini e l’ultimo ha un denominatore di 25 cifre. Esiste però una scomposizione più semplice: 1/33 + 1/121 + 1/363 = 11/363 + 3/363 + 1/363 = 15/363 = 5/121.
Che cosa significa «Scomposizione incompleta» nel risultato?
Significa che l’algoritmo si è fermato prima che il resto arrivasse a 0, per il limite dei termini, per la lunghezza dei denominatori o per il limite di tempo. La calcolatrice mostra la somma parziale esatta e il resto esatto e verifica che la loro somma ridia il valore inserito. La somma parziale da sola non è uguale alla tua frazione.
Come si controlla a mano una somma di frazioni egizie?
Porta tutti i termini allo stesso denominatore e somma. Per 1/4 + 1/18 + 1/468 il m.c.m. dei denominatori è 468: 117/468 + 26/468 + 1/468 = 144/468. Dividendo per 36 per semplificare la frazione si ritrova 4/13, il valore di partenza.
Perché 2/5 = 1/5 + 1/5 non è una frazione egizia?
Perché i denominatori di una frazione egizia devono essere distinti. 1/5 + 1/5 vale 2/5, ma ripete un termine. Il metodo greedy dà 2/5 = 1/3 + 1/15: 1/2 è troppo grande, perché supera 2/5, quindi la prima frazione unitaria è 1/3 e il resto vale 1/15.
Che cosa restituisce lo strumento per una frazione unitaria, un intero o lo zero?
Una frazione unitaria resta com’è, in un solo termine: 1/7 dà 1/7. Un intero ha solo la parte intera: 3 dà 3, senza frazioni unitarie. Lo zero dà la somma vuota, mostrata come 0. In tutti e tre i casi la scomposizione è completa fin dall’inizio.
L’algoritmo greedy può ripetere lo stesso denominatore?
No, garantisce termini distinti. Ogni resto è più piccolo della frazione unitaria appena scelta, quindi il denominatore successivo è sempre maggiore del precedente. Per 4/13 i denominatori 4, 18 e 468 crescono a ogni passaggio.
Ci sono altri modi di scomporre un numero razionale?
Sì. Le frazioni continue lo scrivono come una catena di reciproci, mentre le frazioni equivalenti cambiano solo la scrittura, non il valore. La guida sulle frazioni unitarie spiega che cosa sono e come confrontarle.