Una frazione continua rappresenta un numero con interi e reciproci annidati; i suoi convergenti sono i valori ottenuti fermandosi dopo ciascun coefficiente. Una frazione egizia rappresenta invece un numero come somma di frazioni unitarie, cioè frazioni con numeratore 1 e denominatori distinti. Le due forme possono descrivere lo stesso razionale, ma le operazioni e i numeri intermedi sono diversi.
Come leggere una frazione continua
La scrittura [2; 2, 2, 2] significa 2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)). Si parte dall’ultimo coefficiente e si procede verso sinistra. Con numeratori e denominatori interi, una frazione continua semplice finita rappresenta un numero razionale.
Per sviluppare 29/12, applica divisioni intere successive:
- 29 = 2 × 12 + 5
- 12 = 2 × 5 + 2
- 5 = 2 × 2 + 1
- 2 = 2 × 1 + 0
I quozienti danno 29/12 = [2; 2, 2, 2]. Fermandosi dopo ogni coefficiente, i convergenti sono 2/1, 5/2, 12/5 e 29/12. I primi sono approssimazioni razionali; solo il convergente finale ricostruisce esattamente il valore dell’espansione completa. La calcolatrice di frazioni continue mostra i coefficienti, i convergenti e la ricostruzione.
Costruire una frazione egizia
Ogni termine di una somma egizia ha forma 1/k, con k intero positivo, e i denominatori sono distinti. Un metodo possibile è quello greedy: per il resto positivo n/d scegli 1/k con k = ceil(d/n), la frazione unitaria più grande che non supera il resto; sottraila e ripeti.
Esempio: 5/7. Il metodo greedy aggiorna il resto dopo ogni frazione unitaria:
| Resto attuale | Frazione unitaria scelta | Nuovo resto |
|---|---|---|
| 5/7 | 1/2 | 3/14 |
| 3/14 | 1/5 | 1/70 |
| 1/70 | 1/70 | 0 |
Quindi:
5/7 = 1/2 + 1/5 + 1/70.
Con denominatore comune 70, la verifica è 35/70 + 14/70 + 1/70 = 50/70 = 5/7. I denominatori 2, 5 e 70 sono distinti. La calcolatrice di frazioni egizie applica questo metodo e mantiene il resto esatto.
Se il numero supera 1, separa prima la parte intera: 17/6 = 2 + 5/6 = 2 + 1/2 + 1/3. Lo zero può essere rappresentato con la somma vuota, di valore zero; gli input negativi non sono ammessi dal calcolatore.
Due scritture dello stesso numero
Il valore 3/5 ha la forma continua [0; 1, 1, 2], perché 1/(1 + 1/(1 + 1/2)) = 3/5. I suoi convergenti sono 0, 1, 1/2 e 3/5. La forma egizia è 3/5 = 1/2 + 1/10: portando i termini ai decimi si ottiene 5/10 + 1/10 = 6/10 = 3/5.
Nella forma continua i coefficienti descrivono una catena di reciproci; nella forma egizia i denominatori descrivono addendi da sommare. Per questo non si possono scambiare le due liste. Anche una stessa frazione può avere più decomposizioni egizie: il metodo greedy ne determina una, non l’unica.
Leggi i coefficienti come passaggi distinti
In una frazione continua semplice, ogni coefficiente dopo il primo si trova dentro un reciproco. Parti da destra e mantieni le parentesi: in [2; 3, 1, 4], il tratto finale 1 + 1/4 diventa 5/4; quello precedente è 3 + 4/5 = 19/5; all’inizio, 2 + 5/19 dà 43/19. L’ultimo convergente di una lista finita restituisce esattamente quel razionale.
La forma canonica termina con un coefficiente maggiore di 1, tranne quando la lista ha un solo coefficiente. Per esempio, [2; 3, 1, 4] e [2; 3, 1, 3, 1] hanno lo stesso valore, ma la prima è canonica. Non leggere i tagli intermedi come addendi: sono reciproci annidati, non la somma 2+3+1+4.
Calcola i convergenti senza confonderli con gli addendi
La frazione si può ricostruire anche con una ricorrenza. Per i coefficienti a₀, a₁, …, inizia con p₋₂ = 0, p₋₁ = 1, q₋₂ = 1 e q₋₁ = 0; poi calcola pₙ = aₙpₙ₋₁ + pₙ₋₂ e qₙ = aₙqₙ₋₁ + qₙ₋₂. Per [2; 3, 1, 4], i convergenti successivi sono 2/1, 7/3, 9/4 e 43/19. Per esempio, l’ultimo numeratore è 4 × 9 + 7 = 43 e il denominatore è 4 × 4 + 3 = 19.
Verifica due termini vicini con i prodotti incrociati: 7 × 4 − 9 × 3 = 1 e 9 × 19 − 43 × 4 = −1. La relazione conferma che sono termini consecutivi della stessa espansione; non significa che si debbano sommare. La divisione euclidea verifica il percorso inverso da 43/19 ai coefficienti. Usa la ricorrenza per controllare una lista lunga, ricordando che ogni convergente è una frazione esatta.
Perché ogni sottrazione resta esatta e termina
Per un resto proprio positivo a/b, scegli k = ⌈b/a⌉. Allora 1/k non supera a/b ed è la frazione unitaria più grande che vi sta; il nuovo resto è a/b − 1/k = (ak − b)/(bk). Se non è zero, il numeratore ak − b è positivo e minore di a, perché k è il minimo intero che raggiunge b/a. Ridurre la frazione può solo diminuire questo numeratore. Per un razionale positivo, quindi, i resti esatti arrivano infine a zero: a ogni passaggio diminuisce un intero positivo.
Per 4/13, k = 4 lascia 3/52; poi k = 18 lascia 1/468; l’ultima frazione unitaria annulla esattamente il resto. Poiché ogni nuovo resto è minore di 1/k, la frazione unitaria successiva, se serve, ha un denominatore maggiore di k. Così si spiega perché i denominatori sono distinti senza cambiare né arrotondare il valore.
Un ultimo coefficiente 1 cambia la lista, non il razionale
La divisione intera può produrre una lista diversa per lo stesso numero quando l’ultimo coefficiente è 1. Per esempio, 5 = 2 × 2 + 1 e 2 = 2 × 1 + 0, quindi 5/2 = [2; 2] = 2 + 1/2. Anche [2; 1, 1] vale 2 + 1/(1 + 1) = 5/2. La forma canonica è [2; 2], con ultimo coefficiente maggiore di 1. In generale, una parte finale …, b, 1 si può riunire in …, b + 1.
Cambia anche il taglio intermedio: [2; 1] = 3, mentre [2; 2] passa direttamente da 2 a 5/2. Nel confronto, ricostruisci ogni valore completo e controlla separatamente che cosa rappresentano i convergenti precedenti.
Verifica la rappresentazione completa e i limiti
- Ricostruzione: invertendo i passaggi da destra, [2; 3, 1, 4] torna a 43/19.
- Taglio intermedio: [2; 3] = 2 + 1/3 = 7/3; è un convergente, non il valore finale 43/19.
- Somma unitaria: 1/4 + 1/18 + 1/468 = (117+26+1)/468 = 144/468 = 4/13.
- Resto: se una decomposizione si ferma prima della fine, scrivi valore originale = somma parziale + resto; non presentare la somma parziale come uguaglianza completa.
Lo strumento per frazioni continue accetta razionali esatti e liste finite; non rileva il periodo infinito di un irrazionale. La decomposizione egiziana qui riguarda razionali non negativi, separa prima la parte intera e usa il metodo greedy. Se raggiunge un limite sul numero dei termini o sulla dimensione degli interi, conserva il resto esatto e indica che il risultato è incompleto.
Limiti degli strumenti
La modalità per le frazioni continue lavora con razionali esatti o liste finite di coefficienti; i convergenti precedenti al finale non sono necessariamente uguali al valore completo. Il calcolatore limita l’input a 100 cifre e l’espansione a 200 coefficienti. Per approssimare un decimale con un denominatore massimo, usa approssimare un decimale con una frazione.
La decomposizione egizia può essere interrotta dal limite di 25 termini, dalla lunghezza massima dei denominatori o dal tempo di elaborazione. Se resta una parte non scomposta, il risultato corretto è valore iniziale = somma parziale + resto; la somma parziale da sola non è ancora l’uguaglianza completa.