Wähle „Bruch entwickeln“, um Koeffizienten und Näherungsbrüche zu erhalten, oder „Aus Koeffizienten wiederherstellen“ für den umgekehrten Weg. Schreibe den Bruch als a/b (ganze Zahlen, gemischte Zahlen und abbrechende Dezimalzahlen gehen auch) oder die Koeffizienten als a0;a1,a2,…, zum Beispiel 2;3,1,4. Wie sich diese Form von der Summe aus Stammbrüchen unterscheidet, steht unter weitere Darstellungen von Brüchen.
Beispiel: 43/19 entwickeln
Schreibe diesen Bruch als Kettenbruch und bestimme seine Näherungsbrüche.
- Erste Division. 43 = 2 × 19 + 5, also ist der erste Koeffizient 2.
- Den Rest umkehren. Jetzt wird 19 durch 5 geteilt: 19 = 3 × 5 + 4, der Koeffizient ist 3.
- Wiederholen. 5 = 1 × 4 + 1 liefert den Koeffizienten 1.
- Bis Rest 0. 4 = 4 × 1 + 0 liefert den Koeffizienten 4, und das Verfahren endet.
- Brich die Liste nach jedem Koeffizienten ab, dann erhältst du die Näherungsbrüche: 2, 2 + 1/3, 2 + 1/(3 + 1/1) und mit allen vier Koeffizienten den ganzen Bruch.
Ergebnis: 43/19 = [2; 3, 1, 4], mit den Näherungsbrüchen 2, 7/3, 9/4 und dem Bruch selbst.
Probe: von innen nach außen 1 + 1/4 = 5/4; 3 + 4/5 = 19/5; 2 + 5/19 = 43/19.
So berechnest du die Näherungsbrüche
Mit den Koeffizienten a0, a1, a2 … genügt eine Rekursion, um jeden Näherungsbruch zu erhalten, ohne die verschachtelten Brüche aufzulösen. Man startet mit p₋₁/q₋₁ = 1/0 und p₀/q₀ = a0/1, danach gilt pk = ak · pk−1 + pk−2 und qk = ak · qk−1 + qk−2. Alle Rechnungen sind ganzzahlig und exakt.
| k | Koeffizient | pk und qk | Näherungsbruch |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 und 1 | 2 |
| 1 | 3 | 3 · 2 + 1 = 7 und 3 · 1 + 0 = 3 | 7/3 |
| 2 | 1 | 1 · 7 + 2 = 9 und 1 · 3 + 1 = 4 | 9/4 |
| 3 | 4 | 4 · 9 + 7 = 43 und 4 · 4 + 3 = 19 | 43/19 |
Jede Zeile braucht nur die beiden vorherigen, und die letzte liefert wieder Zähler und Nenner des Ausgangsbruchs. Damit ist die Entwicklung bestätigt.
Wie gut sind die Näherungsbrüche?
Jeder Näherungsbruch p/q, außer dem ersten bei a1 = 1, ist besser als jeder andere Bruch mit Nenner kleiner oder gleich q. Die Ausnahme ist echt: 11/4 beginnt mit 2, aber 3 liegt näher an 2,75 und hat denselben Nenner. Beim Wert aus dem Beispiel, ≈ 2,2632 (auf vier Nachkommastellen gerundet), liegt 7/3 um 4/57 ≈ 0,070 daneben, und mit Nenner 1, 2 oder 3 gibt es nichts Besseres: 5/2 etwa liegt 0,237 entfernt. Der Näherungsbruch 9/4 liegt nur 1/76 ≈ 0,013 daneben und schlägt jeden Bruch mit Nenner bis 4.
Die Näherungsbrüche liegen abwechselnd auf beiden Seiten des Werts: 2 liegt darunter, der nächste darüber, 9/4 wieder darunter. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen können noch Brüche liegen, die näher am Wert sind als der erste, die Zwischenbrüche; diese Liste enthält sie nicht. Für die Suche mit einer vorgegebenen Nennergrenze nimmst du Dezimalzahl durch Bruch annähern. Ein berühmtes Beispiel für dieses Verfahren sind die Brüche, die π annähern.
Der deutsche Wikipedia-Artikel Kettenbruch hält fest, dass rationale Zahlen endlichen Kettenbrüchen entsprechen und irrationale Zahlen unendlichen, und nennt die Teilentwicklungen Näherungsbrüche oder Konvergenten (abgerufen am 17. Oktober 2026).
Kettenbrüche einiger Werte
Die Tabelle versammelt Fälle, die du im Rechner nachprüfen kannst, mit den Näherungsbrüchen der Reihe nach.
| Wert | Kettenbruch | Näherungsbrüche |
|---|---|---|
| 3/5 | [0; 1, 1, 2] | 0, 1, 1/2, 3/5 |
| 11/4 | [2; 1, 3] | 2, 3, 11/4 |
| 13/8 | [1; 1, 1, 1, 2] | 1, 2, 3/2, 5/3, 13/8 |
| 41/29 | [1; 2, 2, 2, 2] | 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 |
Zwei Muster fallen auf: 13/8 ist ein Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, und seine Liste besteht fast nur aus Einsen. 41/29 ist ein Näherungsbruch von √2 = [1; 2, 2, 2, …], dessen Näherungsbrüche 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 … lauten. Keiner davon ist gleich √2, denn √2 ist irrational und der Rechner nimmt nur rationale Zahlen an.
Negative Zahlen
Bei einer negativen Zahl wird mit Abrundung dividiert, die nach unten rundet und den Rest positiv lässt. Schneidet man stattdessen in Richtung null ab, ergibt sich etwas anderes, nämlich ein negativer Koeffizient nach dem ersten, den der Rechner nicht annimmt.
Wie es weitergeht
Die Koeffizienten sind die Quotienten des euklidischen Algorithmus, den der Ratgeber zum euklidischen Algorithmus erklärt. Zum Vergleich mit der Summe aus Stammbrüchen helfen weitere Darstellungen von Brüchen und der Rechner für ägyptische Brüche. Den Dezimalwert eines Näherungsbruchs findest du mit Bruch in Dezimalzahl. Einen Ausdruck mit Zählern ungleich 1, etwa 1 + 2/(3 + 4/5), berechnest du unter Bruchterme berechnen.
Häufige Fragen
Warum beginnen manche Kettenbrüche mit 0 oder bestehen nur aus einem Koeffizienten?
Der erste Koeffizient ist der ganzzahlige Teil. Ein Bruch zwischen 0 und 1 wie 3/10 beginnt mit 0 und wird zu 0; 3, 3, denn 3/10 = 1/(3 + 1/3). Eine ganze Zahl wie 6 lässt keinen Rest, ihre Entwicklung besteht also nur aus 6, und ihr einziger Näherungsbruch ist die 6 selbst.
Warum entspricht eine Liste, die auf 1 endet, einer anderen mit um 1 erhöhtem vorletztem Koeffizienten?
Weil an + 1/1 = an + 1 ist: Ein letzter Koeffizient 1 wird zum vorherigen addiert. Die Liste 3; 1, 1 ergibt 3 + 1/(1 + 1/1) = 3 + 1/2 = 7/2, und die Liste 3; 2 ergibt ebenfalls 3 + 1/2 = 7/2. Beide Listen sind derselbe Bruch; der Rechner zeigt nur die zweite.
Wie nähere ich mit Näherungsbrüchen eine Dezimalzahl wie 3,14 an?
Schreibe 3,14 als 157/50 und entwickle den Bruch: 3; 7, 7. Der mittlere Näherungsbruch ist 22/7; er liegt 1/350 von 3,14 entfernt, und kein Bruch mit Nenner bis 7 kommt näher. Der letzte, 157/50, ist exakt. Für eine beliebige Nennergrenze nimmst du Dezimalzahl durch Bruch annähern.