Der Bruch 355/113 (dreistelliger Nenner) weicht nur um ≈ 2,67 × 10⁻⁷ von π ab, etwa 4740-mal näher als der Bruch 22/7 (≈ 1,26 × 10⁻³). Kein Bruch ist gleich π, aber kein Bruch mit einem Nenner unter 16.604 ist besser. Hier siehst du, welcher Bruch zu dem Nenner passt, den du verwenden kannst, und warum der Bruch mit dem Nenner 113 so gut abschneidet.
Der beste Bruch bei gegebenem Höchstnenner
„Beste“ braucht ein Kriterium. Gemeint ist der Bruch mit dem kleinsten Fehler unter allen Brüchen, deren Nenner nicht größer als eine Grenze N ist. Die Antwort ändert sich von Bereich zu Bereich, und das Werkzeug zum Annähern einer Dezimalzahl durch einen Bruch führt diese Suche mit der Grenze aus, die du wählst.
| Höchstnenner N | Bester Bruch | Fehler gegenüber π |
|---|---|---|
| 7 bis 56 | 22/7 ≈ 3,142857 | ≈ 1,26 × 10⁻³, darüber |
| 99 bis 105 | 311/99 ≈ 3,141414 | ≈ 1,79 × 10⁻⁴, darunter |
| 106 bis 112 | 333/106 ≈ 3,141509 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵, darunter |
| 113 bis 16.603 | 355/113 ≈ 3,141593 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷, darüber |
| 33.102 bis 33.214 | 103993/33102 ≈ 3,14159265 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰, darunter |
Die Tabelle lässt die Grenzen von 1 bis 6 und von 57 bis 98 aus. Zwischen 57 und 98 gewinnen Zwischenbrüche (Nebennäherungsbrüche) wie 289/92, und zwischen 99 und 105 gewinnt 311/99, das kein Näherungsbruch von π ist. Der Bereich, in dem dieser Bruch der beste ist, ist riesig: Über mehr als 16.000 mögliche Nenner hinweg verbessert ihn nichts nennenswert. Der nächste Bruch, der ihn schlägt, 52163/16604, senkt den Fehler nur von ≈ 2,668 × 10⁻⁷ auf ≈ 2,662 × 10⁻⁷. Zwischen 16.604 und 33.101 gewinnen weitere Brüche, und für N = 33.101 ist 103638/32989 der beste (Fehler ≈ 1,49 × 10⁻⁹), nicht 103993/33102, das erst bei N = 33.102 dazukommt. Auch dieser Bruch bleibt nicht der beste: Ab N = 33.215 übertrifft ihn 104348/33215 mit einem Fehler von ≈ 3,32 × 10⁻¹⁰.
Wie weit die beiden bekanntesten auseinanderliegen
Die beiden Brüche lassen sich exakt voneinander abziehen, ohne den Umweg über π.
Gelöstes Beispiel: der Abstand zwischen den beiden
Wie weit liegen die Archimedes-Näherung und der Bruch mit dem Nenner 113 auseinander?
- Suche den gemeinsamen Nenner. 7 und 113 haben keinen gemeinsamen Teiler, also genügt 7 × 113 = 791.
- Erweitere. 22/7 = 2486/791 und der andere Bruch ist 2485/791.
- Subtrahiere die Zähler. 2486 − 2485 = 1.
Der Abstand beträgt 1/791 ≈ 0,00126.
Probe: 3,142857 − 3,141593 = 0,001264, und 1 : 791 ≈ 0,001264.
Die Differenz 1/791 hat ebenfalls die Form 1 durch das Produkt der Nenner (7 × 113). Trotzdem sind die Archimedes-Näherung und der Bruch mit dem Nenner 113 keine benachbarten Näherungsbrüche: Dazwischen liegt 333/106. Benachbart sind dagegen 355/113 und 333/106, und deshalb ist ihre Differenz 1/11.978, mit 11.978 = 106 × 113. Da der erste über π liegt und der zweite darunter, ist π zwischen beiden eingeschlossen. So weißt du, dass der Fehler jedes der beiden kleiner ist als diese Differenz.
Die Näherungsbrüche von π
Ein Näherungsbruch (Konvergent) entsteht, wenn du den Kettenbruch von π, [3; 7, 15, 1, 292, …], abschneidest und den Wert des Stücks berechnest. Die Auslassungspunkte zeigen, dass die Kette nicht endet und sich nicht wiederholt. Der Kettenbruch-Rechner führt dieses Abschneiden für jede rationale Zahl aus.
| Koeffizienten | Näherungsbruch | Fehler gegenüber π | Lage zu π |
|---|---|---|---|
| [3] | 3 | ≈ 1,42 × 10⁻¹ | darunter |
| [3; 7] | 22/7 | ≈ 1,26 × 10⁻³ | darüber |
| [3; 7, 15] | 333/106 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵ | darunter |
| [3; 7, 15, 1] | 355/113 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷ | darüber |
| [3; 7, 15, 1, 292] | 103993/33102 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ | darunter |
Die Näherungsbrüche liegen abwechselnd über und unter π, und der Fehler schrumpft jedes Mal. Der Sprung von 333/106 zum nächsten ist der lohnendste: Der Fehler sinkt von ≈ 8,32 × 10⁻⁵ auf ≈ 2,67 × 10⁻⁷, und der Nenner wächst kaum, von 106 auf 113.
Die 292 und die Genauigkeit des dreistelligen Bruchs
Der Fehler eines Näherungsbruchs beträgt fast 1 geteilt durch das Produkt aus seinem Nenner und dem nächsten Nenner. Für den Bruch mit dem Nenner 113 ist der nächste Nenner der von 103993/33102, und 1 : (113 × 33.102) ≈ 2,67 × 10⁻⁷, was dem tatsächlichen Fehler entspricht. Ein großer Koeffizient lässt den nächsten Nenner stark wachsen: Mit der 292 geht es von 113 auf 33.102, und deshalb liegt der vorherige Näherungsbruch so dicht an π. Bei einem kleinen Koeffizienten, wie der 1 vor der 292, wächst der nächste Nenner nur wenig, und die Verbesserung ist klein.
Mit Messwerten: Ein Kreis mit Durchmesser 1000 hat einen Umfang von 3141,592654 Einheiten. Mit dem Bruch mit Nenner 113 ergibt sich 3141,592920, ein Unterschied von ≈ 0,000267. Mit der Archimedes-Näherung ergibt sich 3142,857143; das sind ≈ 1,26 zu viel.
3,14 ist schlechter als die Archimedes-Näherung
3,14 ist der Bruch 157/50, und weil man es so oft schreibt, wirkt es genauer, als es ist. Sein Fehler beträgt ≈ 1,59 × 10⁻³ und ist damit größer als der Fehler der Archimedes-Näherung (≈ 1,26 × 10⁻³). Es liegt unter π, sie darüber. Zum Wechseln zwischen Dezimalzahlen und Brüchen gibt es die Umrechnung von Bruch in Dezimalzahl und von Dezimalzahl in Bruch. Beide Umrechner machen aus 3,14 exakt 157/50. Der Ratgeber zu endlichen und periodischen Dezimalzahlen erklärt, warum die Dezimalzahl 3,142857 dieser Näherung sich wiederholt und die von π nicht.
Kein Bruch ist gleich π
Johann Heinrich Lambert bewies im 18. Jahrhundert, dass π irrational ist. Irrational heißt: Es gibt keinen Bruch aus ganzen Zahlen, der gleich π ist. Jede Näherung hat also einen Fehler größer als null, und deshalb steht zwischen einem dieser Brüche und π ein ≈ und kein =.
Die deutschsprachige Wikipedia berichtet, dass Archimedes π zwischen 223/71 und der Archimedes-Näherung einschloss, also zwischen 3 10/71 und 3 1/7. Derselbe Artikel schreibt Zu Chongzhi die Brüche 22/7 und 355/113 zu und sagt, dass der zweite erst mehr als neun Jahrhunderte später, im 15. Jahrhundert, erreicht wurde.
Welchen Bruch du nimmst
Zum Überschlagen im Kopf nimmst du 3 oder die Archimedes-Näherung. Für eine Rechnung von Hand mit sechs guten Dezimalstellen den Bruch mit dem Nenner 113. Für ein Programm, das einen sehr genauen Bruch braucht, 103993/33102 (bei Nennern bis 33.214; erlaubst du mehr, ist 104348/33215 besser). Muss das Endergebnis exakt sein, lass das Symbol π im Ausdruck stehen, statt es zu ersetzen. Eine weitere irrationale Zahl, die sich mit Brüchen annähern lässt, ist der Goldene Schnitt, den du im Artikel zu Goldener Schnitt und Fibonacci findest.
Diese Seite stützt sich auf den Artikel Kreiszahl, Abschnitte zur Geschichte und zur Irrationalität, der deutschsprachigen Wikipedia (abgerufen am 17. Oktober 2026).