Nessuna frazione è uguale a pi greco, perché pi greco è irrazionale. La migliore approssimazione semplice è 355/113, il cui errore è ≈ 2,7 × 10⁻⁷, cioè circa tre decimilionesimi. La frazione di pi greco 22/7, molto più semplice, sbaglia di ≈ 1,26 × 10⁻³ e sta sopra pi greco. Qui le migliori approssimazioni razionali sono ordinate per precisione rispetto alla dimensione, e l’aritmetica che le produce viene spiegata.
Prima di confrontare, fissiamo il valore di riferimento. Pi greco ≈ 3,141592653589793… non termina e non si ripete. Per misurare un’approssimazione, si sottrae il suo valore decimale a quel riferimento e si tiene la distanza, qualunque sia il segno. Lo strumento per approssimare un decimale con una frazione esegue proprio questo calcolo entro un denominatore massimo: trova la frazione più vicina e mostra l’errore.
L’essenziale
- 355/113 ≈ 3,14159292 offre il miglior rapporto tra dimensione ed errore della lista: l’errore è ≈ 2,7 × 10⁻⁷ e usa solo sei cifre in tutto.
- 22/7 ≈ 3,14285714 sta sopra pi greco, con un errore di ≈ 1,26 × 10⁻³.
- 333/106 ≈ 3,14150943 sta sotto pi greco, con un errore di ≈ 8,32 × 10⁻⁵.
- 103993/33102 ≈ 3,14159265 abbassa l’errore a ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ al prezzo di numeri enormi.
- Tutte e quattro nascono dal troncare lo sviluppo di pi greco in frazione continua,
[3; 7, 15, 1, 292, …]. - 3,14 = 157/50 è esatto come decimale, ma è più lontano da pi greco di 22/7.
Come si misura la qualità di un’approssimazione
Un’approssimazione razionale si giudica dalla distanza tra il suo valore e pi greco, non dalla dimensione dei suoi numeri. Una frazione con numeratore e denominatore piccoli è comoda da ricordare e da usare, e allo stesso tempo porta di solito più errore. La domanda utile è quanta precisione si guadagna per ogni cifra aggiunta. Quando la misura di partenza è un decimale e non ha senso cercare una frazione esatta, la calcolatrice di arrotondamento alla frazione più vicina sceglie il multiplo del passo indicato, come 1/8 o 1/16.
Perciò ogni errore va letto accanto alla sua dimensione. 22/7 spende due numeri di una e due cifre; 333/106 e 355/113 spendono due numeri di tre cifre. Se l’errore cala molto senza gonfiare la dimensione, la frazione è un buon affare. Se l’errore migliora appena mentre i numeri crescono, non vale la pena.
Proprio questo equilibrio è ciò che ordina una frazione continua: ogni convergente è la migliore approssimazione possibile per la dimensione del suo denominatore. Troncare lo sviluppo di pi greco dà la lista che segue.
355/113: la migliore approssimazione della lista
Verdetto: 355/113 offre il miglior rapporto tra dimensione ed errore di questa lista. Nessuna frazione con denominatore di tre cifre si avvicina tanto a pi greco.
Valore: 355/113 ≈ 3,14159292, sopra pi greco.
Errore: ≈ 2,67 × 10⁻⁷, circa tre decimilionesimi. In termini relativi, l’errore è ≈ 8,49 × 10⁻⁸ del valore di pi greco.
Svantaggio onesto: non è una frazione da mandare a memoria. Ricordare sei cifre tra numeratore e denominatore è più difficile che ricordare 22/7, e una calcolatrice o il tasto di pi greco danno più precisione senza sforzo. Il suo vantaggio compare quando servono frazioni esatte con denominatore intero, per esempio per costruire secondo una proporzione o per dividere una quantità in parti che devono essere numeri razionali.
Il numero non è un caso: è un convergente di pi greco, il che spiega come mai una frazione così corta arrivi così lontano. Va letta accanto alla vicina 333/106, che cade dall’altro lato.
333/106: precisione intermedia dall’altro lato
Verdetto: 333/106 è una buona approssimazione di tre cifre, ma 355/113 la supera senza usare più cifre.
Valore: 333/106 ≈ 3,14150943, sotto pi greco.
Errore: ≈ 8,32 × 10⁻⁵, circa ottantatré milionesimi.
Svantaggio onesto: commette più di trecento volte l’errore di 355/113 e usa comunque le stesse tre cifre sopra e sotto. Chi ricorda la coppia 333/106 ma non 355/113 spende lo stesso spazio per molta meno precisione. Sopravvive solo come gradino intermedio della frazione continua.
22/7: l’approssimazione classica e facile da ricordare
Verdetto: 22/7 è un’approssimazione semplice e molto usata di pi greco. Serve per stimare a mano e in classe, ma non è precisa.
Valore: 22/7 ≈ 3,14285714, sopra pi greco.
Errore: ≈ 1,26 × 10⁻³, poco più di un millesimo.
Svantaggio onesto: il suo errore è migliaia di volte maggiore di quello di 355/113. Chi usa 22/7 per un calcolo lungo si porta dietro quello scarto a ogni passo. La sua vera forza è un’altra: sta in testa e permette di confrontare mentalmente con 3,14.
Perché 22/7 è così conosciuta?
22/7 compare nei libri e negli esercizi perché è la prima approssimazione con numeri di due cifre che migliora chiaramente il 3. È facile verificarlo: 22 diviso 7 dà 3,142857…, con il blocco 142857 che si ripete. Quel decimale è periodico, e la conversione da frazione a decimale rileva il periodo esatto. Il blocco 142857 si ripete senza fine, mentre le cifre di pi greco non formano alcun periodo: per questo nessuna frazione, nemmeno 22/7, può essere uguale a pi greco.
Il 3 funziona come approssimazione di pi greco?
Verdetto: 3 è l’approssimazione intera e serve solo per stime molto grossolane.
Valore: 3, sotto pi greco.
Errore: ≈ 1,42 × 10⁻¹, circa quattordici centesimi.
Svantaggio onesto: l’errore è enorme rispetto a tutte le altre e si nota in qualsiasi misura reale. Serve comunque come primo gradino dello sviluppo in frazione continua e come riferimento per ordinare le approssimazioni seguenti.
103993/33102: precisione estrema al prezzo della dimensione
Verdetto: 103993/33102 è la più precisa della lista e anche la più scomoda da maneggiare.
Valore: 103993/33102 ≈ 3,14159265, sotto pi greco.
Errore: ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰, circa sei decimiliardesimi.
Svantaggio onesto: usa undici cifre in tutto e quasi nessuno la ricorda. Ha senso solo se un programma ha bisogno di una frazione esatta molto vicina a pi greco e non può usare il numero irrazionale. Per qualsiasi uso con carta e penna, 355/113 è un investimento di memoria migliore.
I convergenti della frazione continua di pi greco
Ogni frazione della lista è un convergente di pi greco. Un convergente si ottiene tagliando lo sviluppo in frazione continua di pi greco e tenendo i primi coefficienti. Lo sviluppo comincia così: pi greco = [3; 7, 15, 1, 292, …]. I puntini indicano che la catena continua senza fine, perché pi greco è irrazionale.
Il modo di leggerlo è concatenare i reciproci: 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …)))). Tagliare prima di ogni coefficiente produce una frazione diversa; ogni taglio è un convergente.
[3; 7, 15, 1] → 3, 22/7, 333/106, 355/113; il coefficiente 292 dà 103993/33102.
L’ordine della lista conta: ogni convergente salta sopra o sotto pi greco in modo alternato. 22/7 sta sopra, 333/106 sotto, 355/113 sopra e 103993/33102 sotto. Questa alternanza è una proprietà dei convergenti: ognuno tappa il vuoto lasciato dal precedente dall’altro lato. La calcolatrice di frazioni continue mostra questa catena passo per passo per qualsiasi razionale e ricostruisce la frazione dai suoi coefficienti.
Vale la pena soffermarsi sul coefficiente 292, perché non è un numero comune ed è la chiave di tutta la sorpresa.
Perché 355/113 è così buona?
355/113 è così precisa perché il coefficiente successivo della frazione continua di pi greco è 292, un numero grande. In una frazione continua, un coefficiente grande significa che l’approssimazione precedente era già molto vicina e che il nuovo salto è piccolo.
Detto altrimenti: tagliare lo sviluppo appena prima del 292 colloca 355/113 in un vuoto che la catena lascia quasi chiuso. Se il coefficiente fosse piccolo, come un 1, il convergente precedente sarebbe molto più lontano e il nuovo dovrebbe sforzarsi di più per avvicinarsi.
Perciò 355/113 sembra un regalo: sei cifre che rendono come frazioni molto più grandi. La prima frazione che la migliora in modo chiaro è 103993/33102, con undici cifre. Prima di essa, solo 52163/16604 la supera, e di pochissimo (errore ≈ 2,66 × 10⁻⁷). Il salto di dimensione è enorme perché il coefficiente 292 aveva già esaurito quasi tutta la precisione facile.
Provalo: quanto si discosta 355/113?
Supponi di usare 355/113 invece di pi greco per calcolare la lunghezza di una circonferenza di 1 000 unità di diametro. La lunghezza reale è pi greco × 1 000 ≈ 3 141,592654. Con 355/113 dà 3 141,592920. La differenza è ≈ 0,000267 unità, meno di un terzo di millesimo. Per confronto, con 22/7 la stessa circonferenza darebbe ≈ 1,26 unità in più.
3,14 non è una frazione di pi greco
3,14 è il decimale 157/50, una frazione esatta, ma non è una buona approssimazione di pi greco nel senso di questa lista. Il suo errore è ≈ 1,59 × 10⁻³ e sta sotto pi greco, più lontano di 22/7.
La confusione è frequente perché 3,14 si usa ogni giorno. Scrivere 3,14 è comodo, e come decimale ha solo due cifre: è una semplificazione del valore vero, non il suo valore. La calcolatrice da decimale a frazione trasforma 3,14 in 157/50 esattamente; ciò che non può fare è trasformare quel 3,14 in pi greco, perché nessun razionale lo è. Per capire perché un numero irrazionale non chiude mai il suo decimale, aiuta la guida su decimali finiti e periodici: uno sviluppo che non termina né si ripete non è quello di alcun razionale.
Il confronto diretto chiarisce l’ordine.
157/50 = 3,14; pi greco ≈ 3,14159265; 22/7 ≈ 3,14285714
| Frazione | Valore decimale | Errore rispetto a pi greco | Sopra o sotto? |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | ≈ 1,42 × 10⁻¹ | sotto |
| 157/50 | 3,14 | ≈ 1,59 × 10⁻³ | sotto |
| 22/7 | ≈ 3,14285714 | ≈ 1,26 × 10⁻³ | sopra |
| 333/106 | ≈ 3,14150943 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵ | sotto |
| 355/113 | ≈ 3,14159292 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷ | sopra |
| 103993/33102 | ≈ 3,14159265 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ | sotto |
La tabella rende visibili due cose. La prima è che 3,14 è più lontano di 22/7, anche se 22/7 ha numeratore e denominatore maggiori. La seconda è che l’errore cala molto in fretta all’inizio e poi diventa difficile da abbassare: passare da 22/7 a 355/113 divide l’errore per migliaia, ma passare da 355/113 alla frazione successiva quasi raddoppia le cifre.
Provalo: ordina tre approssimazioni
Ordina queste tre dalla più precisa alla meno precisa: 22/7, 333/106 e 157/50. Risposta: 333/106 (errore ≈ 8,32 × 10⁻⁵), poi 22/7 (≈ 1,26 × 10⁻³) e infine 157/50 (≈ 1,59 × 10⁻³). Nota che 3,14 finisce ultima anche se è quella scritta più spesso.
Nessuna frazione è esattamente pi greco?
Nessuna frazione è esattamente pi greco, perché pi greco è irrazionale. Johann Heinrich Lambert dimostrò nel 1761 che pi greco non può essere scritto come quoziente di due numeri interi. Ogni frazione è un numero razionale, e pi greco non lo è; la distanza tra una qualsiasi frazione e pi greco non è mai zero, diventa solo più piccola.
Questo non toglie valore alle approssimazioni. Cambia la lettura: 355/113 non “è” pi greco, se ne avvicina fino a ≈ 2,7 × 10⁻⁷. Perciò il simbolo corretto tra una frazione e il suo decimale arrotondato è ≈, mai =. La conversione da frazione a decimale conserva questa distinzione tra uguaglianza esatta e vista arrotondata.
Una nota storica: Archimede e Zu Chongzhi
Archimede racchiuse pi greco tra due frazioni: 223/71 < pi greco < 22/7. Il suo estremo inferiore, 223/71 ≈ 3,140845, sta sotto, e quello superiore, 22/7, sopra; insieme racchiudono il valore reale. Secoli dopo, l’approssimazione 355/113 è attribuita al matematico cinese Zu Chongzhi, nel V secolo.
Perché la frazione continua ordina così bene
La frazione continua non è una curiosità: è il metodo che dà le migliori approssimazioni per ogni dimensione. Un convergente è la frazione con il denominatore più piccolo possibile che si avvicina a pi greco entro il suo errore. Nessuna frazione più semplice fa meglio.
Perciò la lista qui sopra è anche una classifica. Se serve una frazione di pi greco e si hanno solo due cifre per numero, la coppia migliore è 22/7. Con tre cifre, la migliore è 355/113. Lo strumento per approssimare un decimale con una frazione applica la stessa idea entro un denominatore massimo e mostra l’errore di quella che sceglie.
Provalo: quale frazione entra con denominatore massimo 10?
Con denominatore massimo 10, la migliore frazione che approssima pi greco è 22/7, perché 7 ≤ 10. Il suo errore è ≈ 1,26 × 10⁻³. Con denominatore massimo 100, la migliore è 311/99 ≈ 3,14141, e con massimo 200 entra 355/113 e vince con ≈ 2,67 × 10⁻⁷. Il limite decide il risultato.
Quale scegliere secondo l’uso
La scelta dipende da quanta precisione serve e da quanto spazio c’è per ricordare o scrivere la frazione.
- Per stimare a mente: 3, oppure 22/7 per affinare un po’.
- Per un calcolo a mano e una risposta presentabile: 22/7, purché si annoti che è un’approssimazione.
- Per la massima precisione con poche cifre: 355/113, il miglior equilibrio tra dimensione ed errore.
- Per una frazione esatta molto vicina a pi greco dentro un programma: 103993/33102, quando il numero irrazionale non può essere usato.
Un avviso di portata: queste frazioni servono a trattare pi greco come se fosse razionale in un calcolo concreto. Non trasformano pi greco in un numero razionale e non vanno usate per “dimostrare” uguaglianze con pi greco. Se il risultato dipende dall’esattezza, indica l’errore o conserva il simbolo di pi greco.
Domande frequenti
Qual è la migliore frazione che approssima pi greco?
355/113 è la migliore delle approssimazioni semplici: il suo errore è ≈ 2,7 × 10⁻⁷ con sole sei cifre. Per superarla nettamente bisogna saltare a 103993/33102, con undici cifre, che abbassa l’errore a ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰.
Perché 22/7 non è esattamente pi greco?
Perché 22/7 è un numero razionale e pi greco è irrazionale. Il valore di 22/7 è ≈ 3,14285714, con un blocco decimale periodico, e sta sopra pi greco. La differenza è ≈ 1,26 × 10⁻³, piccola per stimare ma diversa da zero.
Cosa sono i convergenti di pi greco?
Sono le frazioni che si ottengono tagliando lo sviluppo in frazione continua di pi greco, [3; 7, 15, 1, 292, …], prima di ogni coefficiente. Ogni convergente è la migliore approssimazione possibile per la dimensione del suo denominatore. I primi sono 3, 22/7, 333/106, 355/113 e 103993/33102.
Perché 355/113 si avvicina tanto con numeri così corti?
Perché il coefficiente successivo della frazione continua di pi greco è 292, un valore grande. Un coefficiente grande indica che l’approssimazione precedente era già molto vicina, quindi il convergente formato subito prima eredita quella precisione senza richiedere numeri enormi.
3,14 è una frazione di pi greco?
No. 3,14 è il decimale esatto 157/50, ma è più lontano da pi greco di 22/7: il suo errore è ≈ 1,59 × 10⁻³. Si usa per comodità di scrittura, non perché sia una buona approssimazione razionale.
Chi ha dimostrato che pi greco è irrazionale?
Johann Heinrich Lambert lo dimostrò nel 1761. In precedenza Archimede aveva racchiuso pi greco tra 223/71 e 22/7 senza dimostrarne l’irrazionalità. L’approssimazione 355/113 è attribuita al matematico cinese Zu Chongzhi, nel V secolo.
Conclusione: la frazione di pi greco da ricordare
Se se ne deve ricordare solo una, la frazione di pi greco 22/7 è la più facile, ma la scelta migliore è 355/113: sei cifre che lasciano l’errore a ≈ 2,7 × 10⁻⁷. Entrambe sono convergenti della frazione continua di pi greco, e quella catena spiega perché una frazione così corta funziona così bene. Nessuna eguaglia pi greco, perché pi greco è irrazionale, ma 355/113 si avvicina abbastanza per quasi ogni uso in cui serve un numero razionale.
355/113 offre il miglior rapporto tra precisione e dimensione della lista: errore ≈ 2,67 × 10⁻⁷.