Pecahan yang mendekati pi: 22/7 dan 355/113

calculadorafracciones.com · https://calculadorafracciones.com/id/blog/pecahan-yang-mendekati-pi/

Tidak ada pecahan yang sama dengan pi, karena pi irasional. Pendekatan sederhana terbaik adalah 355/113, yang galatnya ≈ 2,7 × 10⁻⁷, yaitu sekitar tiga puluhjutaan. Pecahan pi 22/7, jauh lebih sederhana, meleset ≈ 1,26 × 10⁻³ dan berada di atas pi. Di sini pendekatan rasional terbaik diurutkan menurut ketelitian dibandingkan ukurannya, dan aritmetika yang menghasilkannya dijelaskan.

Sebelum membandingkan, tetapkan nilai acuannya. Pi ≈ 3,141592653589793… tidak berhenti dan tidak berulang. Untuk mengukur sebuah pendekatan, kurangi nilai desimalnya dari nilai acuan itu dan simpan jaraknya, apa pun tandanya. Alat untuk mendekati desimal dengan pecahan melakukan perhitungan itu dengan penyebut maksimum: alat mencari pecahan terdekat dan menampilkan galatnya.

Intinya

• 355/113 ≈ 3,14159292 memberi perbandingan ukuran dan galat terbaik di daftar ini: galatnya ≈ 2,7 × 10⁻⁷ dan hanya memakai enam angka seluruhnya.
• 22/7 ≈ 3,14285714 berada di atas pi, dengan galat ≈ 1,26 × 10⁻³.
• 333/106 ≈ 3,14150943 berada di bawah pi, dengan galat ≈ 8,32 × 10⁻⁵.
• 103993/33102 ≈ 3,14159265 menurunkan galat ke ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ dengan harga angka yang sangat besar.
• Keempatnya berasal dari pemotongan pengembangan pi menjadi pecahan berlanjut, [3; 7, 15, 1, 292, …].
• 3,14 = 157/50 tepat sebagai desimal, tetapi lebih jauh dari pi daripada 22/7.

Cara mengukur mutu sebuah pendekatan

Pendekatan rasional dinilai dari jarak antara nilainya dan pi, bukan dari besar angka-angkanya. Pecahan dengan pembilang dan penyebut kecil mudah diingat dan dipakai, tetapi biasanya membawa galat lebih besar. Pertanyaan yang berguna adalah berapa ketelitian yang diperoleh untuk setiap angka yang ditambahkan. Ketika ukuran awalnya berupa desimal dan mencari pecahan eksak tidak masuk akal, kalkulator pembulatan ke pecahan terdekat memilih kelipatan langkah yang kamu tentukan, seperti 1/8 atau 1/16.

Karena itu, bacalah setiap galat bersama ukurannya. 22/7 memakai dua angka satu dan dua digit angka; 333/106 dan 355/113 memakai dua angka tiga digit. Jika galat turun banyak tanpa menggandakan ukuran, pecahan itu menguntungkan. Jika galat hampir tidak membaik sementara angkanya membesar, pecahan itu tidak sepadan.

Ada cara praktis untuk melihatnya. Jika sebuah pecahan menggandakan jumlah penyebut tetapi hanya membagi galat dua kali, ia tidak menambah nilai dibanding pecahan sebelumnya yang lebih sederhana. Yang dicari justru lompatan besar: galat yang terpangkas berkali-kali lipat dengan tambahan satu digit saja. Dalam daftar di bawah, lompatan seperti itu terjadi antara 22/7 dan 355/113.

Keseimbangan inilah yang ditata oleh pecahan berlanjut: setiap konvergen adalah pendekatan terbaik yang mungkin untuk ukuran penyebutnya. Memotong pengembangan pi menghasilkan daftar di bawah ini. Tidak ada pecahan berpenyebut lebih kecil yang bisa mengalahkan sebuah konvergen pada batas galatnya, jadi daftar itu sekaligus peringkat yang bersih.

355/113: pendekatan terbaik dalam daftar

Putusan: 355/113 memberi perbandingan ukuran dan galat terbaik dalam daftar ini. Tidak ada pecahan berpenyebut tiga digit yang sedekat itu dengan pi.

Nilai: 355/113 ≈ 3,14159292, di atas pi.

Galat: ≈ 2,67 × 10⁻⁷, sekitar tiga puluhjutaan. Secara relatif, galatnya ≈ 8,49 × 10⁻⁸ dari nilai pi.

Kekurangan jujur: ini bukan pecahan untuk dihafal. Mengingat enam angka pada pembilang dan penyebut lebih sulit daripada mengingat 22/7, dan kalkulator atau tombol pi memberi ketelitian lebih tanpa usaha. Keunggulannya muncul saat dibutuhkan pecahan eksak berpenyebut bilangan bulat, misalnya saat membuat sesuai proporsi atau membagi jumlah menjadi bagian yang harus berupa bilangan rasional.

Angka itu bukan kebetulan: ia konvergen dari pi, yang menjelaskan mengapa pecahan begitu pendek bisa sejauh itu. Sebaiknya dibaca bersama tetangganya 333/106, yang jatuh di sisi lain.

333/106: ketelitian menengah di sisi lain

Putusan: 333/106 adalah pendekatan tiga digit yang baik, tetapi 355/113 mengalahkannya tanpa memakai lebih banyak digit.

Nilai: 333/106 ≈ 3,14150943, di bawah pi.

Galat: ≈ 8,32 × 10⁻⁵, sekitar delapan puluh tiga persejuta.

Kekurangan jujur: galatnya lebih dari tiga ratus kali galat 355/113, tetapi tetap memakai tiga digit yang sama di atas dan di bawah. Siapa pun yang mengingat pasangan 333/106 tetapi bukan 355/113 membuang ruang yang sama untuk ketelitian jauh lebih kecil. Ia bertahan hanya sebagai tangga antara dalam pecahan berlanjut.

22/7: pendekatan klasik yang mudah diingat

Putusan: 22/7 adalah pendekatan sederhana yang banyak dipakai untuk pi. Berguna untuk menaksir dengan tangan dan di kelas, tetapi tidak teliti.

Nilai: 22/7 ≈ 3,14285714, di atas pi.

Galat: ≈ 1,26 × 10⁻³, sedikit lebih dari satu perseribu.

Kekurangan jujur: galatnya ribuan kali lebih besar daripada galat 355/113. Siapa pun yang memakai 22/7 untuk hitungan panjang membawa simpangan itu ke setiap langkah. Kekuatan sebenarnya berbeda: ia muat di kepala dan memungkinkan perbandingan mental dengan 3,14.

Ada satu alasan praktis lagi mengapa 22/7 bertahan. Dalam banyak soal, jawaban akhir tidak perlu lebih teliti daripada dua atau tiga angka penting, dan pada tingkat itu galat 22/7 tenggelam oleh pembulatan angka lain. Selama kesalahan yang ditimbulkan lebih kecil daripada ketelitian yang diminta soal, pecahan sederhana sudah cukup. Yang berbahaya adalah memakainya untuk hitungan berlapis, tempat galat kecil menumpuk sampai mengubah angka penting terakhir.

Mengapa 22/7 begitu dikenal?

22/7 muncul di buku dan soal karena ia pendekatan pertama berangka dua digit yang jelas memperbaiki 3. Mudah diperiksa: 22 dibagi 7 memberi 3,142857…, dengan blok 142857 berulang. Desimal itu berulang, dan konversi pecahan ke desimal mendeteksi periodenya dengan tepat. Blok 142857 berulang tanpa henti, sedangkan angka-angka pi tidak membentuk periode apa pun: karena itu tidak ada pecahan, termasuk 22/7, yang bisa sama dengan pi.

Apakah 3 berguna sebagai pendekatan pi?

Putusan: 3 adalah pendekatan bilangan bulat dan hanya berguna untuk taksiran sangat kasar.

Nilai: 3, di bawah pi.

Galat: ≈ 1,42 × 10⁻¹, sekitar empat belas perseratus.

Kekurangan jujur: galatnya sangat besar dibanding semua yang lain dan terlihat pada setiap pengukuran nyata. Meski begitu, ia menjadi tangga pertama pengembangan pecahan berlanjut dan acuan untuk mengurutkan pendekatan berikutnya.

103993/33102: ketelitian ekstrem dengan harga ukuran

Putusan: 103993/33102 adalah yang paling teliti dalam daftar dan juga paling sulit dipegang.

Nilai: 103993/33102 ≈ 3,14159265, di bawah pi.

Galat: ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰, sekitar enam persepuluh miliar.

Kekurangan jujur: ia memakai sebelas angka seluruhnya dan hampir tidak ada yang mengingatnya. Ia hanya masuk akal jika sebuah program membutuhkan pecahan eksak yang sangat dekat dengan pi dan tidak boleh memakai bilangan irasional. Untuk semua penggunaan kertas dan pensil, 355/113 adalah investasi ingatan yang lebih baik.

Perhatikan bahwa ketelitian tambahannya juga punya batas. Bahkan 103993/33102 bukan pi; ia hanya mendekati dengan galat ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰. Menambah digit lagi akan terus memperkecil galat, tetapi tidak pernah mencapai nol, karena pi irasional. Di titik ini keuntungannya lebih bersifat teknis daripada praktis: nilai itu berguna ketika sebuah program butuh penyebut bulat, bukan ketika seseorang menghitung dengan tangan.

Konvergen dari pecahan berlanjut pi

Setiap pecahan dalam daftar adalah konvergen dari pi. Konvergen diperoleh dengan memotong pengembangan pecahan berlanjut pi dan menyimpan koefisien pertamanya. Pengembangannya dimulai begitu: pi = [3; 7, 15, 1, 292, …]. Titik-titik menandakan rantainya berlanjut tanpa henti, karena pi irasional.

Cara membacanya adalah merangkai kebalikan: 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …)))). Memotong sebelum setiap koefisien menghasilkan pecahan berbeda; setiap potongan adalah konvergen.

Urutan daftar itu penting: setiap konvergen melompat di atas atau di bawah pi secara bergantian. 22/7 di atas, 333/106 di bawah, 355/113 di atas, dan 103993/33102 di bawah. Pergantian itu sifat konvergen: masing-masing menutup celah yang ditinggalkan konvergen sebelumnya dari sisi lain. Kalkulator pecahan berlanjut menampilkan rantai ini langkah demi langkah untuk setiap bilangan rasional dan menyusun ulang pecahan dari koefisiennya.

Ada baiknya berhenti pada koefisien 292, karena ia bukan angka biasa dan menjadi kunci seluruh kejutan ini.

Mengapa 355/113 begitu bagus?

355/113 begitu teliti karena koefisien berikutnya pada pecahan berlanjut pi adalah 292, bilangan besar. Dalam pecahan berlanjut, koefisien besar berarti pendekatan sebelumnya sudah sangat dekat dan lompatan barunya kecil.

Dengan kata lain: memotong pengembangan tepat sebelum angka 292 menempatkan 355/113 pada celah yang hampir ditutup oleh rantai itu. Jika koefisiennya kecil, misalnya 1, konvergen sebelumnya akan jauh lebih jauh dan yang baru harus bekerja lebih keras untuk mendekat.

Karena itu 355/113 tampak seperti hadiah: enam angka yang berkinerja seperti pecahan yang jauh lebih besar. Pecahan pertama yang jelas memperbaikinya adalah 103993/33102, dengan sebelas angka. Sebelum itu, hanya 52163/16604 yang mengalahkannya, dan hanya tipis (galat ≈ 2,66 × 10⁻⁷). Lompatan ukurannya besar karena koefisien 292 sudah menghabiskan hampir semua ketelitian yang mudah.

Coba ini: seberapa jauh 355/113 meleset?

Misalkan kamu memakai 355/113 sebagai ganti pi untuk menghitung keliling lingkaran berdiameter 1 000 satuan. Panjang sebenarnya adalah pi × 1 000 ≈ 3 141,592654. Dengan 355/113 hasilnya 3 141,592920. Selisihnya ≈ 0,000267 satuan, kurang dari sepertiga perseribu. Sebagai perbandingan, dengan 22/7 keliling yang sama kelebihan ≈ 1,26 satuan.

3,14 bukan pecahan dari pi

3,14 adalah desimal 157/50, pecahan eksak, tetapi bukan pendekatan pi yang baik dalam pengertian daftar ini. Galatnya ≈ 1,59 × 10⁻³ dan berada di bawah pi, lebih jauh daripada 22/7.

Kebingungan itu lazim karena 3,14 dipakai setiap hari. Menulis 3,14 praktis, dan sebagai desimal ia hanya dua digit: ia penyederhanaan dari nilai sebenarnya, bukan nilainya. Kalkulator desimal ke pecahan mengubah 3,14 menjadi 157/50 dengan tepat; yang tidak bisa dilakukannya adalah mengubah 3,14 itu menjadi pi, karena tidak ada bilangan rasional yang sama dengan pi. Untuk memahami mengapa bilangan irasional tidak pernah menutup desimalnya, panduan tentang desimal berhingga dan berulang membantu: pengembangan yang tidak berhenti dan tidak berulang bukan milik bilangan rasional mana pun.

Perbandingan langsung memperjelas urutannya.

Tabel itu memperlihatkan dua hal. Pertama, 3,14 lebih jauh daripada 22/7, meskipun 22/7 punya pembilang dan penyebut lebih besar. Kedua, galat turun sangat cepat pada awalnya lalu sulit diturunkan lagi: dari 22/7 ke 355/113 galat terpangkas ribuan kali, tetapi dari 355/113 ke pecahan berikutnya hampir menggandakan jumlah digit.

Coba ini: urutkan tiga pendekatan

Urutkan ketiganya dari paling teliti ke paling tidak teliti: 22/7, 333/106, dan 157/50. Jawaban: 333/106 (galat ≈ 8,32 × 10⁻⁵), lalu 22/7 (≈ 1,26 × 10⁻³), dan terakhir 157/50 (≈ 1,59 × 10⁻³). Perhatikan bahwa 3,14 berada di urutan terakhir meski paling lazim ditulis.

Apakah tidak ada pecahan yang tepat sama dengan pi?

Tidak ada pecahan yang tepat sama dengan pi, karena pi irasional. Johann Heinrich Lambert membuktikan pada 1761 bahwa pi tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Setiap pecahan adalah bilangan rasional, dan pi bukan; jarak antara pecahan mana pun dan pi tidak pernah nol, hanya mengecil.

Itu tidak mengurangi nilai pendekatannya. Yang berubah adalah cara membacanya: 355/113 tidak “sama dengan” pi, melainkan mendekatinya sampai galat ≈ 2,7 × 10⁻⁷. Karena itu lambang yang benar antara pecahan dan desimal pembulatannya adalah ≈, bukan =. Konversi pecahan ke desimal menjaga perbedaan antara kesamaan eksak dan tampilan yang dibulatkan.

Catatan sejarah: Archimedes dan Zu Chongzhi

Archimedes mengurung pi di antara dua pecahan: 223/71 < pi < 22/7. Batas bawahnya, 223/71 ≈ 3,140845, di bawah, dan batas atasnya, 22/7, di atas; keduanya mengurung nilai sebenarnya. Berabad kemudian, pendekatan 355/113 dikaitkan dengan matematikawan Tiongkok Zu Chongzhi, pada abad ke-5.

Mengapa pecahan berlanjut mengurutkan dengan baik

Pecahan berlanjut bukan keanehan: ia metode yang memberi pendekatan terbaik untuk setiap ukuran. Konvergen adalah pecahan dengan penyebut terkecil yang mungkin yang mendekati pi dalam batas galatnya. Tidak ada pecahan yang lebih sederhana yang lebih baik.

Karena itu daftar di atas sekaligus peringkat. Jika dibutuhkan pecahan pi dan hanya tersedia dua digit per angka, pasangan terbaik adalah 22/7. Dengan tiga digit, yang terbaik adalah 355/113. Alat untuk mendekati desimal dengan pecahan menerapkan gagasan yang sama dengan penyebut maksimum dan menampilkan galat pilihannya.

Coba ini: pecahan mana yang muat dengan penyebut maksimum 10?

Dengan penyebut maksimum 10, pecahan terbaik yang mendekati pi adalah 22/7, karena 7 ≤ 10. Galatnya ≈ 1,26 × 10⁻³. Dengan penyebut maksimum 100, yang terbaik adalah 311/99 ≈ 3,14141, dan dengan maksimum 200 masuklah 355/113 dan menang dengan ≈ 2,67 × 10⁻⁷. Batasnya menentukan hasilnya.

Mana yang dipilih sesuai keperluan

Pilihan bergantung pada seberapa banyak ketelitian yang dibutuhkan dan seberapa besar ruang untuk mengingat atau menulis pecahannya.

1. Untuk menaksir di kepala: 3, atau 22/7 untuk sedikit mengasah.
2. Untuk hitungan tangan dan jawaban yang bisa disajikan: 22/7, asalkan dicatat bahwa itu pendekatan.
3. Untuk ketelitian tertinggi dengan sedikit angka: 355/113, keseimbangan terbaik antara ukuran dan galat.
4. Untuk pecahan eksak yang sangat dekat dengan pi di dalam program: 103993/33102, saat bilangan irasional tidak dapat dipakai.

Peringatan cakupan: pecahan ini berguna untuk memperlakukan pi seakan rasional dalam hitungan tertentu. Ia tidak mengubah pi menjadi bilangan rasional, dan tidak boleh dipakai untuk “membuktikan” kesamaan dengan pi. Jika hasilnya bergantung pada ketepatan, sebutkan galatnya atau pertahankan lambang pi.

Batasan lain menyangkut penulisan jawaban. Menyebut 355/113 sebagai “pi” tanpa keterangan menyesatkan, karena nilainya bukan pi. Yang benar adalah menulis bahwa 355/113 ≈ pi dengan galat ≈ 2,7 × 10⁻⁷, atau menulis nilai desimal pi sampai beberapa angka lalu menandainya sebagai pembulatan. Bedanya penting saat hasil dipakai lagi: galat yang tidak disebut bisa terakumulasi pada hitungan berikutnya, sedangkan lambang ≈ mengingatkan pembaca bahwa ada sisa yang tidak nol.

Pertanyaan umum

Pecahan apa yang paling baik mendekati pi?

355/113 adalah yang terbaik di antara pendekatan sederhana: galatnya ≈ 2,7 × 10⁻⁷ dengan hanya enam angka. Untuk mengalahkannya dengan jelas, harus melompat ke 103993/33102, dengan sebelas angka, yang menurunkan galat ke ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰.

Mengapa 22/7 tidak tepat sama dengan pi?

Karena 22/7 bilangan rasional dan pi irasional. Nilai 22/7 adalah ≈ 3,14285714, dengan blok desimal berulang, dan berada di atas pi. Selisihnya ≈ 1,26 × 10⁻³, kecil untuk menaksir tetapi tidak nol.

Apa itu konvergen dari pi?

Itu pecahan yang diperoleh dengan memotong pengembangan pecahan berlanjut pi, [3; 7, 15, 1, 292, …], sebelum setiap koefisien. Setiap konvergen adalah pendekatan terbaik yang mungkin untuk ukuran penyebutnya. Yang pertama adalah 3, 22/7, 333/106, 355/113, dan 103993/33102.

Mengapa 355/113 begitu dekat meski angkanya pendek?

Karena koefisien berikutnya pada pecahan berlanjut pi adalah 292, nilai yang besar. Koefisien besar menandakan pendekatan sebelumnya sudah sangat dekat, sehingga konvergen yang terbentuk tepat sebelumnya mewarisi ketelitian itu tanpa menuntut angka yang sangat besar.

Apakah 3,14 pecahan dari pi?

Tidak. 3,14 adalah desimal eksak 157/50, tetapi lebih jauh dari pi daripada 22/7: galatnya ≈ 1,59 × 10⁻³. Ia dipakai demi kemudahan menulis, bukan karena pendekatan rasional yang baik.

Siapa yang membuktikan pi irasional?

Johann Heinrich Lambert membuktikannya pada 1761. Sebelumnya, Archimedes sudah mengurung pi antara 223/71 dan 22/7 tanpa membuktikan irasionalitasnya. Pendekatan 355/113 dikaitkan dengan matematikawan Tiongkok Zu Chongzhi, pada abad ke-5.

Penutup: pecahan pi yang layak diingat

Jika hanya satu pecahan pi yang diingat, 22/7 paling mudah, tetapi pilihan terbaik adalah 355/113: enam angka yang membiarkan galat di ≈ 2,7 × 10⁻⁷. Keduanya konvergen dari pecahan berlanjut pi, dan rantai itu menjelaskan mengapa pecahan begitu pendek bekerja begitu baik. Tidak ada yang sama dengan pi, karena pi irasional, tetapi 355/113 cukup dekat untuk hampir semua keperluan yang membutuhkan bilangan rasional.