Ein Kalender muss den Rest, der in jedem Jahr übrig bleibt, auf Zusatztage verteilen, und jeder Kalender verteilt ihn mit einem anderen Bruch.
Beispiel: Wie weit liegen der julianische und der gregorianische Kalender auseinander?
Der julianische Kalender fügt alle 4 Jahre 1 Tag hinzu, also 1/4 Tag pro Jahr. Der gregorianische fügt alle 400 Jahre 97 Tage hinzu, also 97/400. Wie groß ist der Unterschied pro Jahr, und wie viel ergibt er in 400 Jahren?
- Suche einen gemeinsamen Nenner. 400 ist ein Vielfaches von 4, also ist 1/4 = 100/400.
- Subtrahiere. 100/400 − 97/400 = 3/400.
- Multipliziere mit 400 Jahren. 400 × 3/400 = 3 Tage.
- Wandle in eine Dezimalzahl um. 3/400 = 0,0075 Tage pro Jahr.
Der Unterschied beträgt 3/400 Tag pro Jahr, das sind 3 Tage alle 400 Jahre.
Probe: In 400 Jahren zählt der julianische Kalender 100 Schaltjahre und der gregorianische 97. Der Unterschied ist 3.
Diese 3 Tage sind ein Durchschnitt über einen vollen Zyklus, keine drei festen Daten im Kalender. Weiter unten siehst du, wann sich jeder Tag Unterschied angesammelt hat.
Warum bleibt fast ein Vierteltag übrig?
Die Erde braucht etwa 365,2422 Tage für den Kreislauf der Jahreszeiten, das sogenannte tropische Jahr. Ein Kalender mit 365 Tagen lässt einen Rest von 0,2422, etwas weniger als 1/4. Der Rest wirkt klein, summiert sich aber: In 4 Jahren sind es fast ein ganzer Tag, in einem Jahrhundert mehr als 24.
Julius Caesar führte im Jahr 45 v. Chr. alle vier Jahre einen Zusatztag ein. In 4 Jahren sind das 4 × 365 + 1 = 1461 Tage, das mittlere julianische Jahr ist also 1461/4 = 365,25 Tage lang. Da das tropische Jahr 365,2422 Tage misst, ist das julianische um 365,25 − 365,2422 = 0,0078 Tage pro Jahr zu lang. Das ist wenig, doch bei 0,0078 pro Jahr ergeben 1257 Jahre (vom Konzil von Nicäa im Jahr 325 bis 1582) 1257 × 0,0078 = 9,8046 ≈ 9,8 Tage (Fehler kleiner als 0,02 Tage); die Quelle spricht von rund 10 Tagen Abweichung im Jahr 1582.
Der Wert 365,2422 ist eine Näherung. Mit mehr Stellen ist das tropische Jahr 365,242189; der Unterschied zu 365,2422 beträgt etwa 0,000011 Tage, weniger als 0,0001, und deshalb steht hier ≈. Um einen der Brüche dieser Seite in eine Dezimalzahl umzuwandeln, zeigt der Bruch-in-Dezimalzahl-Rechner, ob die Dezimalzahl endet oder sich wiederholt; die drei Brüche hier ergeben alle abbrechende Dezimalzahlen.
Die gregorianische Regel und ihre 97 Schaltjahre in 400 Jahren
Der gregorianische Kalender behält den Zusatztag alle 4 Jahre bei und fügt eine Ausnahme hinzu. Jahre, die auf 00 enden, sind nur dann Schaltjahre, wenn sie durch 400 teilbar sind. Von den 100 Vielfachen von 4 in 400 Jahren enden drei auf 00 und sind nicht durch 400 teilbar, übrig bleiben 97. In 400 Jahren sind das 400 × 365 + 97 = 146.097 Tage, und das mittlere gregorianische Jahr ist 365 + 97/400 = 365,2425 Tage lang.
Um zu entscheiden, ob ein Jahr ein Schaltjahr ist, stelle die Fragen in dieser Reihenfolge und höre bei der ersten Antwort auf, die entscheidet.
- Ist es nicht durch 4 teilbar, ist es kein Schaltjahr.
- Ist es durch 4, aber nicht durch 100 teilbar, ist es ein Schaltjahr.
- Ist es durch 100 teilbar, ist es nur dann ein Schaltjahr, wenn es auch durch 400 teilbar ist.
Wenn du auffrischen möchtest, wann eine Zahl ohne Rechnen durch eine andere teilbar ist, findest du die Regeln für 4, 100 und 400 im Ratgeber zu den Teilbarkeitsregeln.
| Jahr | Geteilt durch 100 | Geteilt durch 400 | Schaltjahr? |
|---|---|---|---|
| 2024 | nicht teilbar | nicht nötig | Ja |
| 1900 | 19 | 4,75 | Nein |
| 2000 | 20 | 5 | Ja |
| 2100 | 21 | 5,25 | Nein |
Nur Jahre, die auf 00 enden, kommen bis zur dritten Frage, und ein Quotient mit Dezimalstellen wie 4,75 oder 5,25 zeigt, dass die Division nicht aufgeht.
Wann sammelte sich jeder Tag Unterschied an?
In jedem Jahr, das der julianische Kalender als Schaltjahr zählte und der gregorianische nicht, wächst der Abstand zwischen den Daten um einen Tag. Das geschah 1700, 1800 und 1900 und wird 2100 wieder geschehen. Deshalb betrug der Unterschied 10 Tage im Jahr 1582, 11 im Jahr 1752 und 13 im Jahr 1918 und wuchs nicht gleichmäßig mit 3/400 pro Jahr.
Der gregorianische Kalender wurde im Oktober 1582 eingeführt, auf Donnerstag, den 4. Oktober, folgte Freitag, der 15. Oktober. Jedes Land übernahm ihn zu einem eigenen Zeitpunkt, und bei jedem Sprung ließ man so viele Tage aus, wie sich bis dahin angesammelt hatten.
| Ort | Jahr | Datumssprung | Ausgelassene Tage |
|---|---|---|---|
| Spanien (Europa und Kanarische Inseln) | 1582 | vom 4. auf den 15. Oktober | 10 |
| Großbritannien | 1752 | vom 2. auf den 14. September | 11 |
| Russland | 1918 | vom 31. Januar auf den 14. Februar | 13 |
| Griechenland | 1923 | vom 15. Februar auf den 1. März | 13 |
Die ausgelassenen Tage ergeben sich aus den übersprungenen Zahlen: Zwischen dem 2. und dem 14. September fallen die Tage vom 3. bis zum 13. weg, das sind 11 Tage. Laut dem spanischsprachigen Wikipedia-Artikel „Calendario gregoriano“ führten die spanischen Kolonien in Amerika ihn ein Jahr später ein, im Oktober 1583.
Wie falsch liegt der gregorianische Kalender noch?
Das mittlere gregorianische Jahr, 365,2425, liegt um 0,0003 Tage pro Jahr über dem tropischen, 365,2422. Dieser Unterschied, ebenfalls mit dem gerundeten Wert 365,2422 gerechnet, summiert sich in 1/0,0003 ≈ 3333 Jahren zu einem Tag (Fehler kleiner als 1 Jahr). Die Quellen nennen Werte zwischen 3030 und 3333 Jahren, je nachdem, wie das tropische Jahr gerundet wird (3030, 3323 und 3333 kommen in ihnen vor), merke dir also die Größenordnung: etwa ein Tag Fehler in 3300 Jahren.
Der julianische Kalender wich 26-mal schneller von den Jahreszeiten ab: 0,0078 gegenüber 0,0003 Tage pro Jahr. Um zu sehen, welchen Anteil einer Einheit jeder Rest ausmacht und wie sie sich vergleichen, hilft das Werkzeug zum Brüche vergleichen.
| Jahr | So entsteht es | Tage |
|---|---|---|
| Julianisch | 365 + 1/4 | 365,25 |
| Gregorianisch | 365 + 97/400 | 365,2425 |
| Tropisch | gemessen, kein einfacher Bruch | ≈ 365,2422 (Fehler kleiner als 0,0001 Tage) |
Zwischen 1/4 und 97/400 ändert sich nur der Bruchteil der Zusatztage pro Jahr. Das tropische Jahr lässt sich nicht als Bruch mit kleinem Nenner schreiben, deshalb wählen Kalender den nächsten Bruch, der eine einfach anzuwendende Regel ergibt. Die Subtraktion von oben kannst du mit dem Rechner zum Subtrahieren von Brüchen wiederholen, der den gemeinsamen Nenner für dich sucht. Wenn du auffrischen möchtest, wie man einen gemeinsamen Nenner findet, schau beim kleinsten gemeinsamen Nenner nach. Der Artikel Warum hat eine Stunde 60 Minuten? erzählt einen weiteren Fall, in dem die Aufteilung einer Einheit in ganze Teile bestimmt, wie wir Zeit messen. Weitere Lektüre dieser Art findest du im Blog.
Üben
Drei Prüfungen
- War 1800 ein Schaltjahr? Und 2400?
- Wie viele Schaltjahre gibt es von 2001 bis 2100, beide eingeschlossen?
- Wenn ein Kalender alle 5 Jahre 1 Tag hinzufügte, wie viele Tage wären das in 400 Jahren?
Lösungen anzeigen
- 1800 nicht, weil es durch 100 teilbar ist und 1800/400 = 4,5. 2400 ja, weil 2400/400 = 6.
- Es sind 24, die Vielfachen von 4 zwischen 2004 und 2096; 2100 fällt weg, weil es nicht durch 400 teilbar ist.
- 80 Tage, denn 400/5 = 80, deutlich weniger als die 97 des gregorianischen Kalenders (und die 100 des julianischen).
Quellen
- Wikipedia, Gregorianischer Kalender: mittleres Jahr von 365,2425 Tagen, Sprung vom 4. auf den 15. Oktober 1582, Einführung in Großbritannien 1752 und in Russland 1918, Einführung in Griechenland 1923 (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- Wikipedia, Schaltjahr: Einführung des julianischen Kalenders 45 v. Chr. durch Julius Caesar, die Jahrhunderte 1800, 1900 und 2100 ohne Schalttag und 2000 als Ausnahme (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- Wikipedia (Spanisch), Calendario gregoriano: 97 Schaltjahre in 400 Jahren, Einführung in den spanischen Kolonien Amerikas im Oktober 1583, Abweichung von 10 Tagen gegenüber Nicäa im Jahr 325 und ein Fehler von einem Tag in etwa 3333 Jahren (abgerufen am 16. Oktober 2026).
- Wikipedia (Spanisch), Año bisiesto: tropisches Jahr von 365,242189 Tagen und ein Fehler von einem Tag in etwa 3323 Jahren (abgerufen am 16. Oktober 2026).