Um calendário precisa repartir a parte que sobra de cada ano em dias extras, e cada calendário a reparte com uma fração diferente.
Exemplo resolvido: quanto se afastam o calendário juliano e o gregoriano
O juliano acrescenta 1 dia a cada 4 anos, ou seja, 1/4 de dia por ano. O gregoriano acrescenta 97 dias a cada 400 anos, ou seja, 97/400. Qual é a diferença por ano e quanto ela soma em 400 anos?
- Procure um denominador comum. 400 é múltiplo de 4, então 1/4 = 100/400.
- Subtraia. 100/400 − 97/400 = 3/400.
- Multiplique por 400 anos. 400 × 3/400 = 3 dias.
- Passe para decimal. 3/400 = 0,0075 dia por ano.
A diferença é de 3/400 de dia por ano, que são 3 dias a cada 400 anos.
Conferência: em 400 anos o juliano conta 100 bissextos e o gregoriano 97. A diferença é 3.
Esses 3 dias são uma média sobre um ciclo completo, não três datas fixas do calendário. Mais adiante se vê quando cada dia de diferença se acumulou.
Por que sobra quase um quarto de dia
A Terra leva cerca de 365,2422 dias para completar o ciclo das estações, o chamado ano tropical. Um calendário de 365 dias deixa um resto de 0,2422, um pouco menos que 1/4. O resto parece pequeno, mas se acumula: em 4 anos quase chega a um dia inteiro, e em um século passa de 24.
Júlio César instituiu em 45 a.C. um dia extra a cada quatro anos. Em 4 anos há 4 × 365 + 1 = 1461 dias, então o ano médio juliano é 1461/4 = 365,25 dias. Como o ano tropical mede 365,2422, o juliano passa do valor em 365,25 − 365,2422 = 0,0078 dia por ano. É pouco, mas a 0,0078 por ano, em 1257 anos (os que se passaram desde o Concílio de Niceia, em 325, até 1582) soma 1257 × 0,0078 = 9,8046 ≈ 9,8 dias (erro menor que 0,02 dia); a fonte fala em cerca de 10 dias de defasagem em 1582.
O valor 365,2422 é uma aproximação. Com mais algarismos, o ano tropical é 365,242189; a diferença para 365,2422 é de cerca de 0,000011 dia, menor que 0,0001, e por isso aqui se escreve com ≈. Para passar qualquer fração desta página para decimal, a calculadora de fração para decimal indica se o decimal termina ou se repete; as três frações que aparecem aqui terminam.
A regra gregoriana e seus 97 bissextos em 400 anos
O calendário gregoriano mantém o dia extra a cada 4 anos e acrescenta uma exceção. Os anos terminados em 00 só são bissextos se forem divisíveis por 400. Dos 100 múltiplos de 4 que existem em 400 anos, três terminam em 00 e não se dividem por 400, então restam 97. Em 400 anos há, portanto, 400 × 365 + 97 = 146 097 dias, e o ano médio gregoriano é 365 + 97/400 = 365,2425 dias.
Para decidir se um ano é bissexto, aplique as perguntas nesta ordem e pare na primeira resposta que decide.
- Se não for divisível por 4, não é bissexto.
- Se for divisível por 4 e não por 100, é bissexto.
- Se for divisível por 100, é bissexto somente se também for por 400.
Se precisar rever quando um número se divide por outro sem fazer a conta, o guia de critérios de divisibilidade reúne as regras do 4, do 100 e do 400.
| Ano | Por 100 | Por 400 | Bissexto? |
|---|---|---|---|
| 2024 | não se divide | não é preciso | Sim |
| 1900 | 19 | 4,75 | Não |
| 2000 | 20 | 5 | Sim |
| 2100 | 21 | 5,25 | Não |
Só os anos terminados em 00 precisam chegar à terceira pergunta, e um quociente decimal como 4,75 ou 5,25 indica que a divisão não é exata.
Quando cada dia de diferença se acumulou
Cada ano que o juliano contava como bissexto e o gregoriano não, a diferença entre as datas cresce um dia. Isso aconteceu em 1700, 1800 e 1900, e voltará a acontecer em 2100. Por isso a diferença foi de 10 dias em 1582, de 11 em 1752 e de 13 em 1918, e não cresceu de forma contínua a 3/400 por ano.
O calendário gregoriano começou a valer em outubro de 1582, e à quinta-feira 4 de outubro seguiu-se a sexta-feira 15. Cada país o adotou em sua própria data, e em cada salto omitiram-se tantos dias quanto a diferença acumulada.
| Lugar | Ano | Salto de data | Dias omitidos |
|---|---|---|---|
| Espanha (Europa e Canárias) | 1582 | de 4 a 15 de outubro | 10 |
| Grã-Bretanha | 1752 | de 2 a 14 de setembro | 11 |
| Rússia | 1918 | de 31 de janeiro a 14 de fevereiro | 13 |
| Grécia | 1923 | de 15 de fevereiro a 1.º de março | 13 |
Os dias omitidos saem de contar os números que são pulados: entre 2 e 14 de setembro ficam de fora do 3 ao 13, que são 11 dias. Segundo o artigo Calendário gregoriano, as Índias espanholas da América o aplicaram um ano depois, em outubro de 1583.
Quanto o gregoriano ainda erra
O ano médio gregoriano, 365,2425, supera o tropical, 365,2422, em 0,0003 dia por ano. Essa diferença, calculada também com o 365,2422 arredondado, soma um dia em 1/0,0003 ≈ 3333 anos (erro menor que 1 ano). As fontes dão números entre 3030 e 3333 anos, conforme o arredondamento do ano tropical (3030, 3323 e 3333 aparecem nelas), então convém ficar com a ordem de grandeza: um dia de erro a cada 3300 anos, aproximadamente.
O juliano errava 26 vezes mais rápido: 0,0078 contra 0,0003. Para ver que fração de uma unidade é cada resto e como eles se comparam, serve a ferramenta de comparar frações.
| Ano | Como se obtém | Dias |
|---|---|---|
| Juliano | 365 + 1/4 | 365,25 |
| Gregoriano | 365 + 97/400 | 365,2425 |
| Tropical | medido, não é uma fração simples | ≈ 365,2422 (erro menor que 0,0001 dia) |
Entre 1/4 e 97/400 só muda a fração de dias extras por ano. O ano tropical não se expressa como uma fração de denominador pequeno, e por isso os calendários escolhem a mais próxima que dê uma regra fácil de aplicar. A subtração feita acima pode ser repetida com a calculadora de subtrair frações, que procura o denominador comum automaticamente. Para rever como se acha um denominador comum, veja o mínimo denominador comum. O artigo sobre por que uma hora tem 60 minutos conta outro caso em que a divisão de uma unidade em partes inteiras decide como medimos o tempo, e as demais leituras deste tipo estão no blog.
Pratique
Três verificações
- 1800 foi bissexto? E 2400?
- Quantos anos bissextos há entre 2001 e 2100, ambos incluídos?
- Se um calendário acrescentasse 1 dia a cada 5 anos, quantos dias somaria em 400 anos?
Ver as respostas
- 1800 não, porque é divisível por 100 e 1800/400 = 4,5. 2400 sim, porque 2400/400 = 6.
- São 24, os múltiplos de 4 entre 2004 e 2096, e 2100 fica de fora por não se dividir por 400.
- 80 dias, porque 400/5 = 80, bem menos que os 97 do gregoriano (e que os 100 do juliano).
Fontes
- Wikipédia em espanhol, Calendario gregoriano: ano médio de 365,2425 dias, 97 bissextos a cada 400 anos, salto de 4 a 15 de outubro de 1582, datas de adoção na Grã-Bretanha, na Rússia e na Grécia, e erro de um dia a cada cerca de 3333 anos, a aplicação nas Índias em outubro de 1583 e a defasagem de 10 dias em relação a Niceia no ano 325 (consultado em 17 de outubro de 2026).
- Wikipédia em espanhol, Año bisiesto: ano tropical de 365,242189 dias, calendário juliano do ano 45 a.C., os casos de 1800, 1900, 2000 e 2100, e erro de um dia a cada 3323 anos (consultado em 17 de outubro de 2026).