Un calendrier doit répartir la part qui reste de chaque année en jours supplémentaires, et chaque calendrier la répartit avec une fraction différente.
Exemple résolu : de combien s'écartent le calendrier julien et le grégorien
Le calendrier julien ajoute 1 jour tous les 4 ans, soit 1/4 de jour par an. Le grégorien ajoute 97 jours tous les 400 ans, soit 97/400. Quel est l'écart par an, et que fait-il en 400 ans ?
- Cherchez un dénominateur commun. 400 est un multiple de 4, donc 1/4 = 100/400.
- Soustrayez. 100/400 − 97/400 = 3/400.
- Multipliez par 400 ans. 400 × 3/400 = 3 jours.
- Passez en décimale. 3/400 = 0,0075 jour par an.
L'écart est de 3/400 de jour par an, soit 3 jours tous les 400 ans.
Vérification : en 400 ans, le julien compte 100 années bissextiles et le grégorien 97. L'écart est de 3.
Ces 3 jours sont une moyenne sur un cycle complet, pas trois dates fixes du calendrier. Plus bas, on voit quand chaque jour d’écart s’est accumulé.
Pourquoi il reste presque un quart de jour
La Terre met environ 365,2422 jours à parcourir le cycle des saisons, ce qu’on appelle l’année tropique. Un calendrier de 365 jours laisse un reste de 0,2422, un peu moins de 1/4. Ce reste paraît petit, mais il s’accumule : en 4 ans il atteint presque un jour entier, et en un siècle il dépasse 24 jours.
Jules César a instauré en 45 av. J.-C. un jour supplémentaire tous les quatre ans. En 4 ans, il y a 4 × 365 + 1 = 1461 jours, donc l’année moyenne julienne vaut 1461/4 = 365,25 jours. Comme l’année tropique mesure 365,2422, le julien dépasse de 365,25 − 365,2422 = 0,0078 jour par an. C’est peu, mais à raison de 0,0078 par an, en 1257 ans (ceux qui séparent le concile de Nicée, en 325, de 1582) cela fait 1257 × 0,0078 = 9,8046 ≈ 9,8 jours (erreur inférieure à 0,02 jour) ; la source parle d’environ 10 jours de décalage en 1582.
La valeur 365,2422 est une approximation. Avec plus de chiffres, l’année tropique vaut 365,242189 ; l’écart avec 365,2422 est d’environ 0,000011 jour, inférieur à 0,0001, et c’est pourquoi on écrit ici ≈. Pour passer en décimale n’importe laquelle des fractions de cette page, le convertisseur de fraction en décimal indique si la décimale se termine ou se répète ; les trois fractions de cette page se terminent.
La règle grégorienne et ses 97 années bissextiles en 400 ans
Le calendrier grégorien conserve le jour supplémentaire tous les 4 ans et ajoute une exception. Les années qui se terminent par 00 ne sont bissextiles que si elles sont divisibles par 400. Parmi les 100 multiples de 4 que compte une période de 400 ans, trois se terminent par 00 sans être divisibles par 400 ; il en reste donc 97. En 400 ans, il y a alors 400 × 365 + 97 = 146 097 jours, et l’année moyenne grégorienne vaut 365 + 97/400 = 365,2425 jours.
Pour savoir si une année est bissextile, posez les questions dans cet ordre et arrêtez-vous à la première réponse qui tranche.
- Si elle n’est pas divisible par 4, elle n’est pas bissextile.
- Si elle est divisible par 4 mais pas par 100, elle est bissextile.
- Si elle est divisible par 100, elle n’est bissextile que si elle l’est aussi par 400.
Pour revoir quand un nombre se divise par un autre sans calcul, le guide des critères de divisibilité rassemble les règles du 4, du 100 et du 400.
| Année | Divisée par 100 | Divisée par 400 | Bissextile ? |
|---|---|---|---|
| 2024 | ne se divise pas | inutile | Oui |
| 1900 | 19 | 4,75 | Non |
| 2000 | 20 | 5 | Oui |
| 2100 | 21 | 5,25 | Non |
Seules les années en 00 doivent aller jusqu’à la troisième question, et un quotient décimal comme 4,75 ou 5,25 montre que la division n’est pas exacte.
Quand chaque jour d’écart s’est accumulé
Chaque année que le julien comptait comme bissextile et le grégorien non, l’écart entre les dates grandit d’un jour. Cela s’est produit en 1700, 1800 et 1900, et se reproduira en 2100. C’est pourquoi l’écart a été de 10 jours en 1582, de 11 en 1752 et de 13 en 1918, et n’a pas augmenté de façon continue de 3/400 par an.
Le calendrier grégorien a été appliqué en octobre 1582, et le jeudi 4 octobre a été suivi du vendredi 15. Chaque pays l’a adopté à sa propre date, et à chaque saut on a omis autant de jours que l’écart accumulé.
| Lieu | Année | Saut de date | Jours omis |
|---|---|---|---|
| Espagne | 1582 | du 4 au 15 octobre | 10 |
| Grande-Bretagne | 1752 | du 2 au 14 septembre | 11 |
| Russie | 1918 | du 31 janvier au 14 février | 13 |
| Grèce | 1923 | du 15 février au 1er mars | 13 |
Les jours omis se trouvent en comptant les numéros sautés : entre le 2 et le 14 septembre, les jours du 3 au 13 disparaissent, soit 11 jours. D’après l’article « Calendario gregoriano », les Indes espagnoles d’Amérique l’ont appliqué un an plus tard, en octobre 1583.
De combien le grégorien se trompe encore
L’année moyenne grégorienne, 365,2425, dépasse l’année tropique, 365,2422, de 0,0003 jour par an. Cet écart, calculé lui aussi avec le 365,2422 arrondi, fait un jour en 1/0,0003 ≈ 3333 ans (erreur inférieure à 1 an). Les sources donnent des chiffres entre 3030 et 3333 ans, selon l’arrondi de l’année tropique (3030, 3323 et 3333 y apparaissent) ; mieux vaut donc retenir l’ordre de grandeur : environ un jour d’erreur tous les 3300 ans.
Le julien se trompait 26 fois plus vite : 0,0078 contre 0,0003. Pour voir quelle part d’une unité représente chaque reste et comment ils se comparent, l’outil comparateur de fractions est utile.
| Année | Comment on l'obtient | Jours |
|---|---|---|
| Julienne | 365 + 1/4 | 365,25 |
| Grégorienne | 365 + 97/400 | 365,2425 |
| Tropique | mesurée, pas une fraction simple | ≈ 365,2422 (erreur inférieure à 0,0001 jour) |
Entre 1/4 et 97/400, seule change la fraction de jours supplémentaires par an. L’année tropique ne s’exprime pas par une fraction à petit dénominateur ; les calendriers choisissent donc la plus proche qui donne une règle facile à appliquer. La soustraction faite plus haut peut se refaire avec la calculatrice de soustraction de fractions, qui cherche le dénominateur commun à votre place. Pour revoir comment on trouve un dénominateur commun, consultez le plus petit dénominateur commun. L’article sur pourquoi une heure compte 60 minutes raconte un autre cas où le partage d’une unité en parties entières décide de notre façon de mesurer le temps, et les autres lectures de ce genre sont dans le blog.
Exercices
Trois vérifications
- 1800 était-elle bissextile ? Et 2400 ?
- Combien d’années bissextiles y a-t-il entre 2001 et 2100, bornes comprises ?
- Si un calendrier ajoutait 1 jour tous les 5 ans, combien de jours cela ferait-il en 400 ans ?
Voir les réponses
- 1800 non, car elle est divisible par 100 et 1800/400 = 4,5. 2400 oui, car 2400/400 = 6.
- Il y en a 24, les multiples de 4 entre 2004 et 2096 ; 2100 est exclue, car elle n’est pas divisible par 400.
- 80 jours, car 400/5 = 80, nettement moins que les 97 du grégorien (et que les 100 du julien).
Sources
- Wikipédia en espagnol, Calendario gregoriano : année moyenne de 365,2425 jours, 97 années bissextiles tous les 400 ans, saut du 4 au 15 octobre 1582, dates d’adoption en Grande-Bretagne, en Russie et en Grèce, erreur d’un jour tous les 3333 ans environ, application aux Indes en octobre 1583 et décalage de 10 jours par rapport à Nicée en 325 (consulté le 17 octobre 2026).
- Wikipédia en espagnol, Año bisiesto : année tropique de 365,242189 jours, calendrier julien de l’an 45 av. J.-C., les cas de 1800, 1900, 2000 et 2100, et erreur d’un jour tous les 3323 ans (consulté le 17 octobre 2026).