Al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior salen las fracciones 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8… y todas se acercan al número áureo φ ≈ 1,618034. Se acercan alternando: una queda por encima de φ y la siguiente por debajo. La resta de dos razones seguidas lo demuestra con una fracción exacta.
Los cocientes de la sucesión de Fibonacci
La sucesión empieza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 y cada término es la suma de los dos anteriores. La biografía de Fibonacci en MacTutor sitúa su problema de los conejos, que genera estos números, en el Liber abaci, publicado en 1202. El cociente de un término entre el anterior es una razón, y escrita como fracción conserva su valor exacto.
| Razón | Valor decimal (≈) | Razón − φ (≈) |
|---|---|---|
| 2/1 | 2,000000 | +0,381966 |
| 3/2 | 1,500000 | −0,118034 |
| 5/3 | 1,666667 | +0,048633 |
| 8/5 | 1,600000 | −0,018034 |
| 13/8 | 1,625000 | +0,006966 |
| 21/13 | 1,615385 | −0,002649 |
| 34/21 | 1,619048 | +0,001014 |
| 55/34 | 1,617647 | −0,000387 |
El signo de la última columna cambia en cada fila y su tamaño se reduce en cada paso a poco más de la tercera parte (≈ 0,38 del anterior). Los decimales son aproximaciones redondeadas a seis cifras. Como 21/13 es 1,615384… con el bloque 615384 repitiéndose, escribir 21/13 = 1,615385 sería una falsa igualdad. La guía de decimales exactos y periódicos explica esa diferencia.
Por qué las razones alternan: la resta de dos razones seguidas
La alternancia sale de restar razones consecutivas con denominador común. Basta con una pareja para ver el mecanismo.
Ejemplo resuelto: 8/5 − 13/8
Resta dos razones de Fibonacci seguidas y decide cuál de las dos es mayor.
- Busca el denominador común. El mínimo común múltiplo (MCM) de 5 y 8 es 40.
- Convierte. 8/5 = 64/40 y 13/8 = 65/40.
- Resta los numeradores. 64 − 65 = −1, así que la diferencia es −1/40.
- Interpreta el signo. Es negativa, luego la segunda razón es la mayor.
La diferencia es −1/40 = −0,025.
Comprobación. 1,6 − 1,625 = −0,025.
Los dos numeradores se diferencian en una unidad, y eso no es casualidad. Con F(n) para el término n de la sucesión, la identidad de Cassini dice que F(n+1)² − F(n) · F(n+2) = (−1)ⁿ. De ahí que
F(n+1)/F(n) − F(n+2)/F(n+1) = (−1)ⁿ / (F(n) · F(n+1)).
En el ejemplo, n = 5, F(5) = 5 y F(6) = 8, así que el denominador es 40 y el signo es negativo. Para 21/13 y 34/21 es −1/273, y para 34/21 y 55/34 es +1/714. El numerador vale siempre ±1 y su signo se invierte en cada paso, por eso las razones saltan de un lado de φ al otro. Como el denominador crece, los saltos se encogen y φ queda atrapado entre dos razones vecinas.
De dónde sale φ = (1 + √5)/2
Cada razón se obtiene de la anterior: F(n+2)/F(n+1) = 1 + 1/(F(n+1)/F(n)). Si las razones se acercan a un número L, entonces L = 1 + 1/L, es decir L² = L + 1. Esa ecuación tiene una solución positiva, φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034, y es el valor al que apuntan las razones. La misma igualdad φ = 1 + 1/φ explica que φ sea irracional con un desarrollo muy regular, como se ve a continuación.
La fracción continua de φ está hecha de unos
Si sustituyes φ dentro de su propio denominador una y otra vez, aparece φ = [1; 1, 1, 1, …], con una parte entera 1 y una cadena infinita de unos. Los convergentes de esa fracción continua son 1, 2, 3/2 y las demás razones de la tabla, exactamente las razones de Fibonacci. Puedes expandir cualquiera de ellas en la herramienta de fracciones continuas.
La Wikipedia en español presenta esta fracción continua como la más simple de todas y señala que da la convergencia más lenta, de modo que φ es el número peor aproximable por racionales. El contraste con π lo explica el tamaño de los coeficientes: en π = [3; 7, 15, 1, 292, …] el coeficiente 292 hace que 355/113 sea una aproximación excelente, como cuentan las fracciones que aproximan π. En φ todos los coeficientes son 1, y ninguna razón da un salto parecido. Para buscar la fracción sencilla más próxima a un decimal dado usa la calculadora de aproximar un decimal a fracción.
Ninguna razón vale exactamente φ, porque φ es irracional y toda razón es un cociente de enteros. Dos aproximaciones que se acercan por lados opuestos de un límite aparecen también en la serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, aunque allí todas las sumas parciales quedan por debajo.
Practica
- Resta 3/2 − 5/3 y di cuál es mayor. Después comprueba el resultado con la fórmula de Cassini.
- Calcula 89/55 − 144/89 sin pasar a decimales.
- Usa la calculadora para comparar fracciones con 144/89 y 233/144. ¿Cuál queda por encima de φ?
Ver las respuestas
- 3/2 − 5/3 = 9/6 − 10/6 = −1/6, luego 5/3 es mayor. Con n = 3, F(3) = 2 y F(4) = 3, la fórmula da (−1)³/(2 · 3) = −1/6.
- 89² = 7921 y 55 · 144 = 7920, así que el numerador es 1 y el denominador 55 · 89 = 4895. La diferencia es 1/4895.
- 144/89 ≈ 1,617978 queda por debajo de φ y 233/144 ≈ 1,618056 por encima. Es el patrón de la tabla, con la resta 144/89 − 233/144 = −1/12816.
Fuentes
- Wikipedia en español, artículo Número áureo: valor de φ, límite de las razones de Fibonacci con alternancia por encima y por debajo, φ = 1 + 1/φ y fracción continua de unos con la convergencia más lenta (consultado el 16 de octubre de 2026).
- J. J. O’Connor y E. F. Robertson, Fibonacci, MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews, en inglés: el Liber abaci de 1202 y el problema de los conejos (consultado el 16 de octubre de 2026).