Questo glossario definisce i termini di base delle frazioni e collega ciascuno alla guida o allo strumento che lo usa. Le condizioni sui denominatori e sui segni fanno parte delle definizioni: ometterle può cambiare il risultato.
Scrittura e valore
- Frazione: quoziente a/b di due interi, con b ≠ 0. Può rappresentare una parte, un rapporto o un numero sulla retta.
- Numeratore: intero scritto sopra la linea di frazione; indica quante unità frazionarie si considerano. In 3/5, il numeratore è 3.
- Denominatore: intero non nullo scritto sotto la linea; indica in quante parti uguali è divisa l’unità. In 3/5, il denominatore è 5.
- Linea di frazione: tratto orizzontale od obliquo che separa numeratore e denominatore; indica anche una divisione: 3/4 = 3 ÷ 4. Per scriverla in un documento, vedi come scrivere le frazioni in Word.
- Frazione unitaria: frazione con numeratore 1, come 1/9. I tipi di frazione la confrontano con le altre classi.
- Frazione decimale: frazione con denominatore uguale a una potenza di 10, come 3/100 = 0,03.
- Frazione propria: con numeratore e denominatore positivi, ha numeratore minore del denominatore e valore tra 0 e 1, come 3/5.
- Frazione impropria: con numeratore e denominatore positivi, ha numeratore maggiore o uguale al denominatore e valore almeno 1, come 7/4.
- Frazione apparente: ha un numeratore multiplo del denominatore e quindi equivale a un intero: 12/4 = 3. 4/4 = 1 è sia apparente sia impropria secondo la definizione precedente.
- Numero misto: scrittura di un intero più una frazione propria, come 2 1/3 = 7/3. Il segno in −1 1/2 riguarda l’intero valore: equivale a −3/2.
- Frazioni equivalenti: scritture diverse dello stesso numero, come 2/3 = 4/6; moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso intero non nullo conserva il valore.
- Proprietà invariantiva e semplificazione: moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero non nullo dà una frazione equivalente (2/3 = 4/6); semplificare significa dividerli per un divisore comune (4/6 = 2/3). Nessuna delle due operazioni cambia il valore. Vedi frazioni equivalenti e semplificare le frazioni.
- Frazioni con lo stesso denominatore o con denominatori diversi: 1/5 e 3/5 hanno lo stesso denominatore e si sommano subito; 1/5 e 1/3 hanno denominatori diversi e richiedono prima un denominatore comune. Vedi somma di frazioni.
- Frazione complessa: frazione che contiene un’altra frazione al numeratore, al denominatore o in entrambi, come (1/2)/(3/4) = 2/3. Vedi frazioni complesse.
- Frazione ridotta ai minimi termini: forma in cui numeratore e denominatore non hanno divisori comuni maggiori di 1; per la forma canonica, il denominatore è positivo. Per esempio, 12/20 = 3/5.
Divisibilità e denominatori comuni
- Fattore: intero che divide un altro intero senza resto. In 12 = 3 × 4, 3 e 4 sono fattori di 12.
- Divisore comune: intero positivo che divide esattamente ciascuno dei numeri considerati. 6 divide sia 48 sia 18.
- Criterio di divisibilità: regola che dice se un intero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione; 2340 è divisibile per 3 perché 2 + 3 + 4 + 0 = 9. Vedi criteri di divisibilità.
- Massimo comune divisore (MCD): maggiore divisore comune positivo. MCD(48, 18) = 6; la calcolatrice del massimo comune divisore mostra il calcolo.
- Minimo comune multiplo (m.c.m.): minore multiplo comune positivo di interi non nulli. m.c.m.(6, 8) = 24; consulta il minimo comune multiplo per altri valori.
- Denominatore comune: denominatore multiplo di ciascun denominatore dell’operazione. Per sommare 1/6 e 1/4, 12 è un denominatore comune perché 1/6 = 2/12 e 1/4 = 3/12. Vedi minimo comune denominatore.
Decimali e insiemi numerici
- Numero razionale: numero scrivibile come rapporto di interi con denominatore non nullo. La sua scrittura decimale termina oppure ripete un blocco di cifre.
- Decimale finito: scrittura con un numero limitato di cifre decimali; 0,125 = 1/8 è un’uguaglianza esatta.
- Decimale periodico: scrittura in cui un blocco di cifre si ripete senza fine; 0,(3) = 1/3.
- Approssimazione: valore vicino usato con una precisione dichiarata. 0,333 può approssimare 1/3, ma 0,333 ≠ 1/3.
- Numero irrazionale: numero reale che non si può scrivere come rapporto di due interi; √2 è irrazionale perché la sua scrittura decimale non termina né si ripete periodicamente.
La calcolatrice di frazioni mantiene il valore razionale esatto mentre mostra le altre scritture. Per capire perché un decimale finito non equivale sempre al periodo che approssima, leggi decimali finiti e periodici.
Quattro diagrammi per collegare i termini
Un glossario è utile quando ogni termine spiega un passaggio diverso. Numeratore e denominatore descrivono la scrittura; l’equivalenza descrive il valore; MCD e mcm servono a compiti diversi; decimale finito e periodico descrivono la forma decimale. I diagrammi collegano ogni parola a un esempio verificabile.
Usare ogni termine per il compito che descrive
Il massimo comune divisore è il più grande divisore comune positivo: per 12 e 20 è 4, quindi 12/20 si riduce a 3/5. Il minimo comune multiplo è il più piccolo multiplo comune positivo: per 4 e 6 è 12, utile per esprimere 3/4 e 1/6 in dodicesimi. Un denominatore comune può essere qualsiasi multiplo condiviso; il minimo comune multiplo di solito mantiene più piccoli i numeri, ma funziona anche un altro multiplo comune.
| Termine | Domanda a cui risponde | Esempio esatto |
|---|---|---|
| Frazioni equivalenti | Stesso valore? | 2/3 = 4/6 |
| Frazione ridotta ai minimi termini | Nessun fattore comune maggiore di 1? | 3/5 |
| Numero misto | Intero più frazione propria? | 2 3/4 = 11/4 |
| Reciproco | Quale forma scambia numeratore e denominatore? | Reciproco di 3/5 = 5/3 |
Una precisazione sulle classificazioni
Le etichette “propria” e “impropria” si riferiscono qui a frazioni positive: 3/5 è propria perché è compresa tra 0 e 1; 11/4 è impropria perché supera 1. Una frazione apparente equivale a un intero, come 12/4 = 3. Per i numeratori negativi le convenzioni possono variare; per confrontare valori negativi è più chiara la retta numerica.
Verificare il vocabolario
- In 7/9, il numeratore è 7 e il denominatore 9. 2) Riduci 18/24 con il MCD 6: 3/4. 3) Trova un denominatore comune per 1/4 e 1/6: il mcm 12 dà 3/12 e 2/12. 4) Classifica 8/4: è impropria e apparente perché vale 2. Ogni risposta indica una relazione diversa.
Distingui segno, numero misto e reciproco
Una frazione può avere il numeratore negativo, il denominatore negativo o entrambi. Con denominatore diverso da zero, −3/4 = 3/(−4) = −(3/4), mentre (−3)/(−4) = 3/4. Il segno negativo riguarda l’intera frazione. Sulla retta numerica, −3/4 è a sinistra dello zero e 3/4 a destra. In questa guida, le categorie propria e impropria riguardano i valori positivi; non classificano un valore negativo guardando solo il numeratore.
Un numero misto indica una somma: 2 3/4 = 2 + 3/4 = 11/4. Se l’intero numero misto è negativo, −2 3/4 = −(2 + 3/4) = −11/4; non significa −2 + 3/4. Il reciproco scambia numeratore e denominatore: il reciproco di 3/5 è 5/3 e il prodotto vale 1. L’opposto mantiene lo stesso valore assoluto e cambia segno: l’opposto di 3/5 è −3/5. “Reciproco” e “opposto” indicano operazioni diverse.
Perché alcuni decimali razionali terminano e altri si ripetono
Riduci prima la frazione. Se il denominatore ridotto ha solo i fattori 2 e 5, il decimale termina: 3/40 = 0,075 perché 40 = 2³ × 5. Se resta un altro fattore primo, il decimale è periodico: 5/12 = 0,41(6), poiché 12 contiene il fattore 3. Il periodo può iniziare dopo alcune cifre, non necessariamente subito dopo la virgola.
Anche un decimale finito è razionale: 0,125 = 125/1000 = 1/8. Un decimale periodico è esatto se si indica il periodo, come 0,(3) = 1/3. Scrivere 0,333 senza barra o puntini di sospensione dà un decimale finito che approssima 1/3, non lo stesso valore.
Esercizi sui termini collegati
- Trasforma 2 5/6 in frazione impropria: 2 × 6 + 5 = 17, quindi 17/6.
- Riduci −18/24. Il MCD positivo è 6; dividendo entrambi i termini per 6 ottieni −3/4.
- Il reciproco di 4/7 è 7/4; il suo opposto è −4/7.
- Il MCD di 12 e 20 è 4, che riduce 12/20 a 3/5. Il mcm di 4 e 6 è 12, denominatore comune utile per sommare o confrontare le frazioni.
Prima di usare un termine, chiarisci quale domanda risolve: il MCD riduce, il mcm costruisce un denominatore comune, il reciproco inverte la frazione e l’opposto ne cambia il segno.
Collega ogni definizione al passaggio che aiuta a svolgere
Riconoscere un termine in un’operazione aiuta a scegliere il passaggio successivo. Per sommare 3/4 e 1/6, il mcm di 4 e 6 è 12; scrivi 3/4 = 9/12 e 1/6 = 2/12, poi ottieni 11/12. Per ridurre 12/20, usa il MCD 4 e dividi entrambi i termini, ottenendo 3/5. Un denominatore comune permette di sommare parti della stessa grandezza; il MCD scrive lo stesso valore con termini più piccoli.
Verifica un’equivalenza senza ridurre: per sapere se 7/10 e 14/20 hanno lo stesso valore, confronta i prodotti incrociati 7 × 20 e 10 × 14. Entrambi valgono 140, quindi le frazioni sono equivalenti. Il metodo verifica l’uguaglianza, ma da solo non dice quale forma è ridotta.
Anche il reciproco ha una condizione: esiste come frazione solo per un valore diverso da zero. Non si può formare il reciproco di 0 né usarlo per dividere per zero. Il reciproco di 2/3 è 3/2 perché (2/3)(3/2)=1; l’opposto di 2/3 è −2/3 perché la loro somma è 0.
Ripasso rapido
- 9/12 e 3/4 sono equivalenti; 3/4 è ridotta.
- 15/5 è apparente e impropria e vale l’intero 3.
- 7/8 è positiva, propria e compresa tra 0 e 1.
- 0/7 vale 0; 7/0 non è definito.
Accosta una definizione a un esempio e a un controesempio. In questo modo diventano chiare le condizioni del termine, invece di memorizzare solo una frase.